高中学校2024级高二年级期中联合考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D C A C C ABD ACD
题号 11
答案 BCD
12．
13．/
14．/
15．(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3
(2)
16．(1)，中位数是分
(2)
17．（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以平面的一个法向量，
又，所以，因为平面，所以平面.
（2）因为平面，所以是平面的一个法向量，
又因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)
19．（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（3）设，即，则.
从而.
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.
答案第1页，共2页高中学校2024级高二年级期中联合考试
数学试题
一、单选题(每题 5 分，共 40 分)
1．向量 a
2x,1,3 ,b 1, 2y,9 ，若 a ∥ b，则（ ）
A． x y 1 x
1 , y 1 x 1 3 1B． C． , y D． x , y
2
2 2 6 2 6 3
2．直线 3x y 3 0的倾斜角为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
3 6 4 3
3．已知空间向量 a 1,2,0 ,b (0, 1,1),c (2,3,m) ，若 a,b,c共面，则实数m （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球
C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球
5．如图所示，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C
1
1D1中，E为BC的中点，CF CC1，则3
异面直线 EF与 B1D1所成角的余弦值为（ ）
2
A． B 3．
3 6
B．C 3 26 4 21． D．
26 21
6．如图，在平行六面体 ABCD A B C D 中， AB 5, AD 3, AA 7， BAD 60 ，
BAA DAA 45 ，则 AC 的长为（ ）
A． 98 56 2 B． 98 56 2
C． 89 56 2 D． 89 56 2
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABBQIAggAAABJAARhCUwVACgIQkgAACQgGxEAIMAAACRFABAA=}#}
7．已知直线斜率为 k，且 3 3 k ，那么倾斜角 的取值范围是（ ）
3
π π 2π π 2π
A 0, , ．
6
B． 0, , π
2 3 3 3
0,
π 2π , π π π 2π 0,
6 3 3
,
C． D． 2 3
8．如图所示，四面体 ABCD的体积为V ，点M 为棱 BC的中点，点E,F分别为线段DM 的
三等分点，点N为线段 AF 的中点，过点 N的平面 与棱 AB, AC, AD分
V
别交于O,P,Q，设四面体 AOPQ的体积为V ，则 的最小值为（ ）
V
1 1 1 1A． 4 B． C． D．8 16 27
二、多选题(全对得 6 分，部分正确得部分分，有错选 0 分，共 18 分)
9．若 a,b ,c 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
3c
A． a， 2b， B
． a b ，b c， c a
C． a 2b ， 2b 3c，3a 9c D
． a b c，b， c
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1,2,3，
从甲罐 乙罐中分别随机抽取 1个小球，记事件 A “抽取的两个小球标号之和大于 5”，事件
B “抽取的两个小球标号之积小于 6”，则下列说法正确的是（ ）
A 1．事件A发生的概率为 4 B．事件
A,B相互独立
5
C．事件 A,B是互斥事件 D．事件 A B发生的概率为
6
11．如图，DE是正三角形 ABC的一条中位线，将V ADE沿DE折起，构成四棱锥 A1 BCDE，
F 为 A1C的中点，则（ ）
A． BF //平面 A1DE B． AA1 平面 A1BC
C．若平面 A1ED 平面 ABC，则在某个特定的坐标系下，A1E
1 3
的一个方向向量可以为 ,0,
2 2
D．若 A1E CD，则在某个特定的坐标系下，平面 EA1D的一个法向量可以为
m
6 3
0, ,
3 6
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题(每题 5 分，共 15 分)
12．在空间直角坐标系中，点 A 0,1,0 ，点 B 5, 4,3 ，点C 2,0,1 ，则 AB在CA方向上的
投影向量的坐标为 .
13．已知直线 l经过 1,0 ， 2, 3 两点，直线 l的斜率是直线 m的斜率的三倍，则直线 m
的倾斜角是 ．
PH 1
14．如图所示，若 P为平行四边形 ABCD所在平面外一点，H 为棱 PC上的点，且 ，
HC 2
AG
点G在 AH上，且 m，若G， B， P，D四点共面，则实数m的值是 ．
AH
四、解答题(15 题 13 分，16-17 题每题 15 分，18-19 题每题 17 分)
15．已知 A 2,3 ， B 4,1 ，C 0, 3 ．
(1)求直线 AB和 AC的斜率；
(2)若点 D在线段 BC（包括端点）上移动时，求直线 AD的斜率的变化范围．
16．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.
现从中随机选出 100名学生的成绩（满分为 100分），按分数分为
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，共 6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求m的值，并求这 100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)若认定评分在 uliu 内的学生为“运动爱好者”，评分在 iulhuu 内的学生为“运动达人”，
现采用分层抽样的方式从不低于 80分的学生中随机抽取 6名学生参加运动交流会，大会上
需要从这 6名学生中随机抽取 2名学生进行经验交流发言，求抽取的 2名发言者中恰好“运
动爱好者”和“运动达人”各 1人的概率.
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17．如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD为矩形，且 AA1 AB 2AD, E, F分
别为C1D1,DD1的中点.
(1)证明： AF //平面 A1EB .
(2)求平面 A1B1B与平面 A1BE 夹角的余弦值.
18．在一个盒子中有 2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，
乙后取，然后甲再取，……，每次取 1个，取后不放回，直到 2个白球都被取出来后就停止
取球．
(1)求 2个白球都被乙取出的概率；
(2)求 2个白球都被甲取出的概率；
(3)求将球全部取出才停止取球的概率
19．如图，PD 平面 ABCD,AD CD,AB//CD,PQ//CD，AD CD DP 2PQ 2AB 2，
点 E,F ,M 分别为 AP,CD,BQ的中点.
(1)求证：EF //平面CPM ；
(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的正弦值；
π
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM 所成的角为 ，求 N到平面CPM 的距
6
离.
试卷第 4页，共 4页
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答案第 1页，共 1页
{#{QQABBQIAggAAABJAARhCUwVACgIQkgAACQgGxEAIMAAACRFABAA=}#}
