成都七中初中学校2025届九年级上十二月质量检测
数 学
（满分150分，120分钟完成） 姓名__________
A卷（满分100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列方程中，关于的一元二次方程的是
A． B． C． D．
2. 下列说法中，错误的是
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．平行四边形对角相等
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的主视图是
A． B．
C． D．
4. 关于x的方程有实数根，则a满足的条件是（ ）
A．a≥1 B. a≥3 C. a＞3且a≠5 D. a≠5
5．已知是锐角，，则的值是
A． B． C． D．
6．关于反比例函数，下列说法正确的是
A．图象分布在第一、二象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大
C．函数图象关于轴对称 D．函数图象与直线有两个交点
7. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点，在近岸取点，，使得，，在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点，并测得，．如果，则河宽为
A． B． C． D.
8.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9. 若方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为 .
10.已知，在反比例函数图象上，则与的大小关系为 ．
11. 如图，l1∥l2∥l3，，DF＝10，那么DE＝ .
12. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为 ．
13. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ．
三、解答题（共48分）
14．计算（12分）（1）+sin60o （2） x2+10x﹣2＝0
15.（8分）某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“：非遗博览园；：武侯祠；：杜甫草堂；：大熊猫繁育基地；：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人，在扇形统计图中，地点所对应的圆心角是 度；
（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；
（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
16．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
（1）求证：四边形BGDE是菱形：
（2）若∠EDG＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求△DGC的面积．
17．（8分）如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，
18. (10分)如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）连接，，点为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点的坐标；
（3）已知为轴上一点，作直线关于点中心对称的直线，交反比例函数的图象于点，，若，求的值．
B卷（满分50分）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则的取值范围是 ．
21. 有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现 将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程有正整数解的概率为 ．
22. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，，分别在， 边上取点，，将矩形沿直线翻折，使得点的对应点恰好落在射线上，点的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ．
23. 如图，菱形OABC中，∠OCB＝60°，点C坐标为（﹣2，0），过点D（2，0）作直线l分别交AO、OB于点G、F，交BC于E，点E在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，若△BEF和△ODG（即图中两阴影部分）的面积之比为4：3，则k值为 ．
二、解答题
24. （8分）某水果经销商以10元千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量（千克）与每千克降价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的关系式；
（2）若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？
25. （10分）如图①，在中，于点，，，，点是 上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接．
（1）当矩形是正方形时，求出的长；
（2）设的面积为，矩形的面积为，令，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点的直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点，求面积的最小值，并说明理由．
26．（12分）如图，在中，，，，将沿着方向平移得到△．
（1）如图1，当四边形为菱形时，求此时菱形的面积；
（2）如图2，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在△平移过程中，求的最小值；
（3）如图3，将绕着点逆时针旋转得到线段，且将沿边翻折得到，当△为等腰三角形时，求平移的距离．
参考答案：
一、选择题
1-4.A C C B 5-8.B D C D
二、填空题
9.10 10.y1
14.（1）+6 （2）x=-5
15.（1）200 36 （2）略 （3）
16. （1）证明：在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，
∴∠ABD＝∠DBG，
∵EG垂直平分BD，
∴DG＝BG，DE＝EB，
∴∠DBG＝∠GDB，∠ABD＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，
∴BE∥DG，DE∥GB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
又∵DE＝EB，
∴四边形BGDE是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形BGDE是菱形，
∴∠ABC＝∠EDG＝30°，DE＝DG＝BG＝6，DG∥EB，
∴∠ABC＝∠DGC＝30°，
又∵DH⊥BC，
∴，，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝3，
∴GC＝GH+HC＝33，
∴S△DGCGC DH（33）×3．
17.解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∴∠CFB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠AFC＝90°，
∵∠DAE＝∠CAF，
∴△ADE∽△ACF，
∴，
∴，
解得：CF＝3.6，
在Rt△CBF中，∠CBF＝72°，
∴BC3.8（米），
∴石坝坝顶C与坝脚B之间的距离约为3.8米．
18.解：（1）把点A（1，a）代入y＝2x+3中得，a＝2+3＝5，
∴点A（1，5），
把点A（1，5）代入y得，k＝5，
∴反比例函数的表达式为y，
由，得或，
∴B（，﹣2）；
（2）延长BO，交反比例函数的图象于点C，则OB＝OC，
∴S△ABC＝2S△ABO，
∵S△ABP＝2S△ABO，
∴P点与C点重合，
∵B（，﹣2），
∴C（，2），
∴P（，2），
作CD∥AB，交y轴于D，
设直线CD为y＝2x+b，
把C（，2）代入得，2＝5+b，解得b＝﹣3，
∴直线CD为y＝2x﹣3，
由一次函数y＝2x+3可知E（0，3），
∴DE＝6，
将直线y＝2x+3向上平移6个单位得到y＝2x+9，
由解得或，
∴P（，10），
综上，点P的坐标为（，2）或（，10）；
（3）设直线CD为y＝2x+b，则E（x1，2x1+b），F（x2，2x2+b），
由消去y得，2x+b，
整理得2x2+bx﹣5＝0，
∴x1，x2是方程2x2+bx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2，x1x2，
∴EF
，
∵，
∴4，
∴10＝16，
∴b，
∴直线CD为y＝2x，
令y＝0，则x，
由y＝2x+3可知直线y＝2x+3与x轴的交点为（，0），
∴T（±，0），
∴t的值为或．
B卷
一、填空题
19.10 20.3
24.解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，60），（4，90）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+50（0≤x＜10）．
（2）依题意得：（20﹣x﹣10）（10x+50）＝440，
整理得：x2﹣5x﹣6＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣1（不合题意，舍去），
当x＝6时，y＝10×6+50＝110．
答：该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．
25. 解：（1）设EF＝m．
∵BC＝14，BD＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，
∵AD＝8，
∴AD＝DC＝8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴ACAD＝8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，
∴∠AHE＝∠FGC＝90°，
∵∠DAC＝∠C＝45°，
∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，
∴AH＝EH＝m，CG＝FG＝m，
∴3m＝8，
∴m，
∴EF．
（2）∵四边形EFGH是矩形，
∴EF∥AC，
∴∠DEF＝∠DAC，∠DFE＝∠C，
∵∠DAC＝∠C，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，
∴AE＝CF＝8﹣x，
∴EHAE（8﹣x），EFDEx，
∴y，
∴y（0＜x＜8）．
（3）如图②中，由（2）可知点P在y上，
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
把P（a，）代入得到，ka+b，
∴bka，
∴y＝kxka，
∴N（0，ka），M（a，0），
∴ONka，OM＝a
∴△MON的面积 ON OM（6﹣a2k） （6+2 ）＝6，
∴△MON的面积的最小值＝6．
解法二：过点P作PR⊥OM于M，PQ⊥ON于Q．设P（a，b），
由△NQP∽△NOM，
∴，设k，
∴MO，NQ＝kON，ON，
∴S△MON OM ON ，
∴k时，△OMN的面积的最小值为6．
26. 解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴AB，
∵四边形AA′B′B为菱形，
∴BB′＝AB＝4，
∴菱形AA′B′B的面积为：B′B AC＝4；
（2）如图1，作DE⊥AA′于E，
∴∠DEA＝∠C＝90°，
∵AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∵△ABC沿着CB方向平移得到△A′B′C′，
∴AA′∥CC′，
∴∠ACA′＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠DAB＝∠CAA′，
∴∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE≌△ABC（AAS），
∴DE＝BC＝4，
∴点E与BC平行，距离AA′为4的直线m上，
作点A′关于m的对称点F，连接B′F，交m于点D′，
当点D在D′处时则DA′+DB′最小，最小值是B′F的长，
在Rt△B′C′F中，C′F＝DF+DA′+A′C′＝10，由勾股定理得，
B′F2，
∴DA′+DB′的最小值为：2；
（3）如图2，作C″V⊥AD于V，作C″X⊥AA′于X，设AA′于C″B交于点W，
由（2）知，
∠DAW＝∠BAC，
∵△ABC沿边AB翻折得到△ABC′′，
∴∠BAC″＝∠BAC，∠ABC＝∠ABC″，AC″＝AC＝4，BC″＝BC＝8，
∴∠DAW＝∠BAC″，
∴∠DAC″＝∠BAW，
∵AA′∥BC，
∴∠BAW＝∠ABC，
∴∠BAW＝∠ABC″，
∴AW＝BW，
在Rt△AWC″中，AC″＝4，C″W＝BC″﹣BW＝8﹣AW，
∴AW2﹣（8﹣AW）2＝AC″2＝42，
∴AW＝5，
∴C″W＝3，
∴AX，C″X，
∵∠AVC″＝∠C＝90°，
∴△AC″V∽△BAC，AD＝AB＝4，
∴，
∴，
∴AV，C″V，
∴DV＝AD﹣AV＝4，
∴C″D4，
当A′C″＝C″D＝4时，
A′X，
∴AA′＝AX+A′X，
如图3，当A′C″＝A′D时，即A′C″2＝A′D2，
∴A′X2+C″X2＝DE2+A′E2，
设AA′＝x，则A′X＝x，A′E＝x﹣4，
∴（x）2，
∴x＝40，
∵DC″＜DE，
∴DC″≠A′D，
综上所述：当△A′DC′′为等腰三角形时，△ABC平移的距离为：或40．
√
3
+
9
．
