2024—2025学年度第一学期素养形成第二次能力训练
初三数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是偶数，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件
2．将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线为（ ）
A． B． C． D．
3．天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（ ）
A．明天全市将有的地方会下雨 B．明天全市将有的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨
4．下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
5．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在秋季的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．关于二次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象与轴不相交 B．其图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．函数的最小值为7
7．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．在寒假到来之际，王强计划从平遥古城、皇城相府、壶口瀑布、雁门关四个旅游景点中任意选择一个去游玩．如图，他将这四个旅游景点的图片制作成四张卡片（除内容外，其余完全相同）．并将这四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取一张，恰好抽到平遥古城的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．二次函数的顶点坐标为______．
12．一个不透明的袋子中装有5个白球和3个黄球，这些球除颜色外均相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率为______．
13．如图，某景区有，两个入口，，，三个出口，周末小亮到该景区游玩，他们从入口进，从出口出的概率是______．
14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从拋出到落地需要______．
15．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题7分）已知二次函数．
（1）求出该二次函数图像的对称轴和顶点坐标；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，两出该函数的图像．
17．（本题7分）某校开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，卡片除图案外其他均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．
（1）小倩随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家华罗庚邮票图案的概率是______．
（2）小玲随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率．
18．（本题11分）因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校决定开展体育社团活动，分别有：A．足球社团，B．篮球社团，C．跑步社团，D．铅球社团，每位学生只能选其中一项作为社团活动．为了解学生对以上社团的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制成如图所示的不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了______名学生，图2中所在扇形的圆心角的度数为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学各随机选择一个社团参加，请用画树状图或列表的方法，求甲乙两位同学选择同一个社团的概率．
19．（本题10分）拱桥是指由拱形结构成的桥梁，它是中国古代建筑中的重要形式之一，在中国的古代建筑史上占据着重要的地位，因其独特的结构和精美的外观而受到广泛的赞誉和喜爱．图1是一座拱桥，此拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为时，水面离桥洞的最大距离为，如图2，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）请求出该拱桥所在抛物线的表达式；
（2）现河水上涨，水面离桥洞的最大距离为，求此时拱桥内水面的宽度．
20．（本题8分）阅读下列材料，完成后面任务．
利用二次函数的图象解不等式
我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以结合前面的学习经验来解决这个问题．
第一步：画出二次函数的图象．
列表如下：
… －2 －1 0 1 2 3 4 …
… 5 0 －3 －4 －3 0 5 …
描点、连线，如图所示．
第二步：确定二次函数的图象与轴的交点．
由图像可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和．
第三步：确定不等式的解集．
由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，此时，即，
不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为．
（1）利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．公理化思想
（2）利用该函数的图象直接写出不等式的解集．
（3）利用该函数的图象直接写出不等式的解集．
21．（本题8分）作为《黑神话 悟空》的创意来源之一，山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注，吸引大量游客前来旅游打卡，小军和小勇准备到山西旅游打卡，他们选了四处影点．门票价格分別为30元、50元、60元、100元，他们决定用转盘游戏决定地点．如图是一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上30元、50元、60元、100元．（当指针落在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向某一区域内为止）
（1）若转动转盘一次，则指针落在30元区域的概率为______．
（2）小军和小勇每人转动转盘一次，当转盘停止时，记下各自指针所指区域内对应的金额，请用画树状图或列表法求两次所得金额之和小于100元的概率．
22．（本题11分）某文具店要经营一种新上市的文具，进价为每个10元，试营销阶段发现每天的销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不少于14元，且不高于20元，其部分对应数据如下表所示：
销售单价（元） … 11 12 13 …
月销售量（个） … 150 140 130 …
（1）求与之间的函数关系式．
（2）当该文具销售单价定为多少元时，销售该文具每天所获的利润最大？最大利润为多少元？
23．（本题13分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为4米．宽度为8米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式；
（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”．使点，在抛物线上，点，在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
初三数学参考答案（能力训练二）
一、选择题（共30分）
1—5 ADCBA 6—10 CBDCA
二、填空题（共15分）
11．（0，1） 12． 13． 14．4
15．x＝2或5
16．解：（1）y＝x2－4x＋3
＝x2－4x＋4－4＋3
＝(x－2)2－1
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
顶点坐标为（2，－1）
（2）
y＝x2－4x＋3
17．解（1）
（2）
共有6种机会均等的结果，其中小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的情况有4种.
∴小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率为
18．（1）50 108°
（2）
（3）
共有16种机会均等的结果，其中甲乙两位同学选择同一个社团的情况有4种
∴甲乙两位同学选择同一个社团的概率为
19．（1）由题意可知OA＝OB＝5m，
∴A（5，0），B（－5，0），顶点C（0，5）
设该拱桥所在抛物线的表达式为y＝ax2＋5，
把A（5，0）代入，得0＝52a＋5，
解得：a＝
∴该拱桥所在抛物线的表达式为
（2）把y＝5－3＝2代入，得：
解得：
答：此时拱桥内水面的宽度为
20．（1）A
（2）－2＜x＜4（3）x≠1
21．解：（1）
30元 50元 60元 100元
30元 60元 80元 90元 130元
50元 80元 100元 110元 150元
60元 90元 110元 120元 160元
100元 130元 150元 160元 200元
（2）
共有16种机会均等的结果，其中两次所得金额之和小于100元的情况有5种.
∴两次所得金额之和小于100元的概率为
22．（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b
解得：
所以y与x的函数关系式为y＝－10x＋260
（2）设销售该文具每天所获的利润为w元.
＝－10（x－18）2＋640
∵－10＜0，14≤x≤20
∴当x＝18时，w最大为640
答：当该文具销售单价定为18元时，销售该文具每天所获的利润最大，最大利润为640元
23．解：（1）由题意得：点M（8，0），顶点P（，4）即（4，4）
设抛物线的解析式为y＝a（x－4）2＋4．
把M（8，0）代入，得0＝42a＋4，
解得：a=
∴这条抛物线的函数解析式为
（2）当x＝4－1－1.8＝时，
∴能同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆．
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
设OB＝m，则BC＝8－2m，AB＝CD＝
设w＝AB＋AD＋DC，
则w＝
∵
∴当时，
w有最大值，为
答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是10米．
