广东深圳市红岭中学2024-2025学年高二（上）数学第13周阶段性训练模拟练习
一．选择题（共6小题）
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝4，则a17+a18+a19+a20＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．椭圆C：＝1（a＞b＞0）中，A为上顶点，F为左焦点，过原点O作AF的平行线与椭圆C在第一象限交于点B，若|OB|＝，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列{an}的通项公式an＝2n﹣2025，其前n项和为Sn，则Sn取最小值时n的值为（ ）
A．1012 B．1013 C．1014 D．1015
4．已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．＝1
B．
C．＝1
D．
5．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示，则＝（ ）
A．++ B．++
C．++ D．++
6．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，且与C的左、右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）7．当实数m变化时，关于x，y的方程（m2+1）x2+my2＝m（m2+1）可以表示的曲线类型有（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
（多选）8．已知圆C过点（4，2），（2，0），（6，0），点M在线段y＝x（0≤x≤4）上运动，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，以AB为直径作圆C'，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝4
B．.△MAB面积的最小值为2
C．圆C'的面积的最小值为π
D．切点A、B的连线过定点（3，1）
（多选）9．已知圆O：x2+y2＝1，点P是直线l：x﹣y﹣2＝0上一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A和B，线段AB的中点为M，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则这样的点P只有一个
B．四边形AOBP面积的最小值为1
C．直线AB恒过点
D．平面内存在一定点Q，使得线段QM的长度为定值
（多选）10．已知点M（﹣1，0）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，过抛物线C的焦点F作直线l交C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则（ ）
A．抛物线C的方程是y2＝4x
B．y1y2＝﹣4
C．当时，|AB|＝9
D．∠AMF＝∠BMF
三．填空题（共3小题）
11．已知F为椭圆的右焦点，P是椭圆上一动点，点M为
圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝1上一动点，则|PM|+|PF|的最大值是 ．
12．已知平面内的动点P到两定点A（2，0），B（4，0）的距离分别为|PA|和|PB|，且，则点P到直线3x﹣4y+6＝0的距离d的取值范围为 ．
13．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，点在椭圆的内部，椭圆上存在点P使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
四．解答题（共7小题）
14．正项数列{an}满足a1＝1，﹣＝1（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）n≥2，n∈N*时．
①证明：an+1＞1+；
②证明：﹣1．
15．如图，椭圆离心率为，椭圆C的左右项点分别为A、B，上顶点为P．点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上有一动点R（x0，y0）（y0＜0），连接PR和QR分别交x轴于C和D，请问是否存在实数k，使得．若存在，求出k值，若不存在，说明理由．
16．已知椭圆经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作倾斜角的直线l，直线l交椭圆C于点A，B，求△OAB面积．
已知平面直角坐标系xOy下，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线方程：x＝﹣1．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若抛物线E上两点A，B满足，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
18．已知数列{an}满足an+1＝2an+6 2n，a1＝4．
（1）证明数列为等差数列，并求an；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
19．已知椭圆过点，左焦点为，过点N（1，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，动点M在直线x＝4上，直线AM、BM、NM的斜率分别为k1、k2、k3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3恒成立，如果存在，请求出λ的值，如果不存在，请说明理由．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若矩形MNPQ各边均与椭圆C相切，
①证明：矩形MNPQ的对角线长为定值；
②求矩形MNPQ周长的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12，S20﹣S16……也成等差数列，
其首项S4＝1，第二项S8﹣S4＝3，则其公差d＝3﹣1＝2，
则S20﹣S16＝1+2（5﹣1）＝9，故a17+a18+a19+a20＝9．
故选：C．
2．【解答】解：设∠AFO＝∠BOx＝θ，
则cosθ＝，sinθ＝，又|OB|＝，
∴，
＝，
∴B为（，），又点B在椭圆上，
∴，
∴，
∴，
∴椭圆C的离心率为．
故选：B．
3．【解答】解：由an＝2n﹣2025，当1≤n≤1012时，an＜0；
当n≥1013时，an＞0，
则Sn取最小值时n的值为1012．
故选：A．
4．【解答】解：设动圆的圆心为M（，x，y），动圆的半径为r，
因为动圆与圆及圆都外切，
所以|MF1|＝1+r，|MF2|＝3+r，
所以，|MF2|﹣|MF1|＝2，
故M的轨迹是以F1（﹣4，0），F2（4，0）为焦点的双曲线的左支，a＝1，c＝4，
又b2＝c2﹣a2＝15，
则轨迹方程为＝1，x≤﹣1．
故选：B．
5．【解答】解：∵M是四面体OABC的棱BC的中点，MN＝ON，
∴＝（+），＝＝（+），
∵AP＝AN，
∴＝+＝+＝+（﹣）
＝+×（+）
＝++，
故选：A．
6．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，则根据题意可得直线OP的倾斜角为2θ，
设直线l的斜率为k，直线OP的斜率为k′，
则k＝tanθ，k′＝tan2θ＝＝，
根据点差法易得，
∴，∴，
解得，∴k＝±．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
7．【解答】解：（m2+1）x2+my2＝m（m2+1），
当m＝0时，方程为x2＝0，即直线x＝0；
当m＞0时，方程为+＝1，又m2+1﹣m＝（m﹣）2+＞0，可得方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆；
当m＜0时，方程为+＝1，可得方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
故选：ACD．
8．【解答】解：由于圆C过点（4，2），（2，0），（6，0），则圆心在直线x＝4上，
设为C（4，c），则（4﹣2）2+c2＝（4﹣4）2+（c﹣2）2，解得c＝0，
故圆C：（x﹣4）2+y2＝4，故A正确；
设线段y＝x（0≤x≤4）为OD，
由于|AB|＝2|AC|sin∠ACM＝4sin∠ACM，结合图形可知△OCD为等腰直角三角形，
当MC⊥OD，即M在线段OD的中点时，∠ACB最小，则∠ACM最小，此时|AB|最小，
此时点M到直线AB的距离最小，故此时△MAB面积的最小，
由点到线的距离公式可得|MC|的最小值为＝2，
由切线长定理可得|MB|＝|MA|＝＝2＝|AC|＝|BC|，
可得四边形AMBC是正方形，所以△MAB的面积＝×2×2＝2，故B正确；
由于|AB|＝2|AC|sin∠ACM＝4sin∠ACM，结合图形可知△OCD为等腰直角三角形，
当MC⊥OD，即M在线段OD的中点时，∠ACB 最小，则∠ACM最小，此时AB最小，
最小值为，此时以AB为直径作圆C′，圆的最小面积为；故C错误；
设M（a，a），则|MA|＝＝，
以M为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝（a﹣4）2+a2﹣4，
化为普通方程为x2﹣2ax+y2﹣2ay＝﹣8a+12，
与圆C的一般式方程为x2﹣8x+12+y2＝0，
两圆方程相减可得AB所在直线方程为﹣2ax﹣2ay+8a+8x﹣24＝0，
所以﹣2a（x+y﹣4）+8x﹣24＝0，所以AB过x+y﹣4＝0与8x﹣24＝0的交点（3，1），
所以切点A、B的连线过定点（3，1），故D正确．
故选：ABD．
9．【解答】解：圆心O到直线l：x﹣y﹣2＝0的距离d＝．
对于A，若，则四边形PAOB是边长为1的正方形，
|OP|＝，此时OP与直线垂直，所以点P只有一个，故A正确；
对于B，当四边形AOBP是正方形时，面积最小，最小值为1，故B正确；
对于C，设点P（a，b），则a﹣b﹣2＝0，
以OP为直径的圆的方程为：x（x﹣a）+y（y﹣b）＝0，即x2+y2﹣ax﹣by＝0，
所以直线AB的方程为：ax+by﹣1＝0，因为a﹣b﹣2＝0，
所以令x＝，y＝﹣，所以直线过定点N（，﹣），故C错误；
对于D，因为M为AB的中点，所以OM垂直AB，当Q（，﹣）为ON的中点时，
|MQ|＝＝，故D正确．
故选：ABD．
10．【解答】解：因为点M（﹣1，0）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，
所以抛物线的准线方程为：x＝﹣1，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，故A正确；
设过点F（1，0）的直线l的方程为：x＝my+1，
由，得y2﹣4my﹣4＝0，
y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．故B正确；
对于C，当时，有y1＝﹣2y2，
因y1y2＝﹣4．故y1＝2，y2＝﹣，所以x1＝2，x2＝，
所以AB|＝x1+x2+2＝，故C错误；
对于D，kAM＝＝，kBM＝，
而kAM+kBM＝+＝
＝＝0，所以∠AMF＝∠BMF．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
11．【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，
∵椭圆中，a＝2，b＝，c＝1，∴F′（﹣1，0），
又圆E（x﹣3）2+（y﹣3）2＝1的圆心E（3，3），半径r＝1，
∴|EF′|＝＝5，
∵P是椭圆上一动点，点M为圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝1上一动点，
∴|PM|+|PF|≤|PE|+r+|PF|，
又|PE|+r+|PF|＝|PE|+r+2a﹣|PF′|＝|PE|﹣|PF′|+r+2a≤|EF′|+r+2a＝5+1+4＝10，
当且仅当P，F′，E三点共线时，等号成立，
故|PM|+|PF|的最大值是10．
故答案为：10．
12．【解答】解：设动点为P（x，y），由题意得，
整理得，即，
所以动点P的轨迹是半径为，圆心为的圆，
根据圆心到直线3x﹣4y+6＝0的距离，
可知点P到此直线的距离的取值范围是[d﹣r，d+r]，即．
故答案为：．
13．【解答】解：∵点在椭圆的内部，
∴，∴a2＜2（a2﹣c2），
∴，∴e＜，
又椭圆上存在点P使得成立，
即椭圆上存在点P使得2a﹣|PF2|+|PQ|＜3c，
又|PQ|﹣|PF2|≥﹣|QF2|＝﹣，当且仅当P，Q，F2三点共线时，等号成立，
∴2a﹣＜3c，∴，∴，
综合可得e∈（，）．
故答案为：（，）．
四．解答题（共7小题）
14．【解答】解：（1）由题意，，且a1＝1，
则数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以＝1+（n﹣1）×1＝n，
由{an}为正项数列，则．
证明：（2）①当n＝2时，＝＝，
所以当n＝2时，成立；
当n≥3时，成立；
综上所述，．
②要证明，
即证明．
由①结论得，
所以（n≥2，n∈N*），
则有，
各式相加得，
即，得证．
15．【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，
所以，
即4c2＝3a2，
因为c2＝a2﹣b2，
所以a2＝4b2，①
因为点在椭圆上，
所以，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝1，
则椭圆C的方程为；
（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），P（0，1），|AB|＝4，
当x0＝0，y0＝﹣1时，点C与原点O重合，
此时直线QR的方程为，
即y＝x﹣1，
令y＝0，
解得x＝1，
即D（1，0），
所以|AC|＝2，|DB|＝2﹣1＝1，|CD|＝1，
则；
当，时，DR⊥x轴，，
此时直线，
即y＝﹣x+1，
令y＝0，
解得x＝1，
即C（1，0），
所以|AC|＝1+2＝3，，，
则；
当x0≠0且时，
直线PR的方程为，即，
令y＝0，
解得，
即，
此时直线Q，
令y＝﹣0，
解得，
即D（，0），
则，，
＝，
则k＝＝＝，
因为点R在椭圆上，
所以，
即，
则k＝＝＝，
综上，存在实数k＝，使得．
16．【解答】解：（1）椭圆经过点．
则，解得a2＝4，
故椭圆C的标准方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
过点作倾斜角的直线l，
则直线的斜率为k＝1，
则直线l的方程为y＝，
联立，化简整理可得，，
由韦达定理可知，，，
|AB|＝＝＝，
原点O到直线AB的距离d＝，
故△OAB面积为＝．
17．【解答】解：（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线方程：x＝﹣1，
则，解得p＝2，
故抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB的方程为x＝my+n，
联立，化简整理可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
Δ＝16m2+16n＞0，即m2+n＞0，
由韦达定理可知，y1y2＝﹣4n，
x1x2＝，
，
则，即n＝2，
故AB的方程为x＝my+2，恒过定点（2，0）．
18．【解答】（1）证明：已知数列{an}满足an+1＝2an+6 2n，
则，
又，
即数列是以2为首项，3为公差的等差数列，
则，
即；
（2）解：由（1）可得，①
则，②
由①﹣②可得：﹣（3n﹣1）×2n+1，
即，
即．
19．【解答】解：（1）由题意知，，解得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，直线l的斜率不可能为0，设其方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
则k1＝，k2＝，k3＝，
联立，得（t2+4）y2+2ty﹣3＝0，
所以y1+y2＝，y1y2＝，
所以k1+k2＝+＝+＝＝
＝＝＝＝2k3，
故存在实数λ，使得k1+k2＝λk3恒成立，此时λ＝2．
20．【解答】解：（1）因为椭圆C的右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，
所以椭圆过点，
因为椭圆C过点，
所以，
解得，
则椭圆C的方程为；
（2）①证明：当MN的斜率为0时，|MN|＝2a＝4，|PQ|＝2b＝2，
则矩形MNPQ的对角线；
当MN的斜率不存在时，|MN|＝2b＝2，|PQ|＝2a＝4，
则矩形MNPQ的对角线；
当MN的斜率存在且不为0时，
不妨设直线MN的方程为y＝kx+t1，直线PQ的方程为y＝kx+t2，t1≠t2，
联立，消去y并整理得，
此时，
解得，
同理得，
所以两平行线MN和PQ的距离，
两平行线MQ和NP的距离，
所以矩形MNPQ的对角线，
综上，矩形MNPQ的对角线的长为定值，定值为；
②由①知，不妨设，，，
此时矩形MNPQ的周长，
易知当时，sin（）取得最大值，即矩形MNPQ周长取得最大值，最大值为．
声明：试
