2024杭州各区九年级期末复习
1．已知二次函数y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1），则下列表述正确的是（ ）
A．若m＜0，抛物线的开口向下
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴一定有两个交点
D．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
2．已知A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2023的值为 ．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．若该函数图象的顶点坐标为（n，p），则 ．
4．若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，a≠0）的图象经过点（a，c），则（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．b＞0 D．b＜0
5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
6．由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（ ）
A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位
B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位
C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位
D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位
7．将二次函数y＝x2的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点（1，﹣4），则b的值为 ．
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b），设该函数的最小值为k，（ ）
A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜﹣1
B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＞﹣1
C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3
D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3
10．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
11．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
12．已知点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t，若n＜0＜m，则t的取值范围为 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2+bx+c的图象上．
（1）若y1＝y3，求b的值．
（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．
14．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ．
15．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A（0，3），B（1，0），C（3，0），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为 ．
16．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出平面直角坐标系中的四点：A（0，2），B（2，3），C（2，1），D（3，1）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2分别计算a1+b1+c1，a2+b2+c2的值，其中较大值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
17．已知实数x，y满足2x2+13x+y﹣8＝0，则x+y的最大值为 ．
18．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2．（a为常数，且a≠0）
（1）若函数图象过点（1，0），求a的值；
（2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝18，求a的值．
19．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线y2＝x2﹣3x+2是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
抛物线y1（x﹣1）2﹣2与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B．
①求a：b：c的值．
②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，m＞n，且m﹣n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围．
20．如图，将一个含30°角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为100°，∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则∠BEC＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 °．
22．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（ ）
A．3m＝4n B．4m＝3n C．m+n＝7 D．m+n＝180°
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（ ）
A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270°
24．如图，BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，△ABC外接圆的圆心O为AB的中点，延长DB，AC交于点F．若∠BAC＝30°，BF＝6，则△ABC的周长为 ．
25．如图，四边形ABCD是半圆⊙O的内接四边形，AB是直径，AD＝4．
（1）设⊙O的半径为r，用含r的代数式表示线段BD；
（2）若，求⊙O的半径．
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，其中AD＞CD，已知对角线AC过点O，对角线BD与CO相交于点E，且AD＝BD．若∠BDC＝2∠DBC，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
27．如图，在⊙O中，M为半径OA上一点．过M作弦BC⊥OA，交⊙O于B，C两点．连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E．已知EB＝ED．
（1）求证：60°；
（2）探究线段CE，EM长度之间的数量关系，并证明．
28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
29．《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝ ．
30．如图，在⊙O中，弦AB是直径，点C，D是⊙O上的两点，连结AC，OD，且满足AC∥OD．
（1）若的度数为80°，求∠A的度数．
（2）求证：．
（3）连结BD，若AC＝6，AB＝10，求BD的长．
31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，且∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明．
（2）若，AD＝1．
①求线段DC的长．
②求的值．
32．已知，线段AB＝8，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
33．已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 ．
34．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧过点A（1，3），点B（2，3），点C（2，1），以点A和点D（4，2）为端点的线段与该圆弧相交于点E，则的长为 ．
35．在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中，点A，B，C均在格点上．
（1）用直尺作出△ABC的外接圆圆心O．
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长．
36．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则 ．
37．如图，△ACD是圆内接三角形，点B是圆上一点，连结AB，BD，BD与AC交于点E，且满足AB＝AC，∠BAC＝∠CAD．若CD＝2，AD＝3，则CE＝ ．
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BAD，连接BD交AC于点E．
（1）求证：△ABC∽△BEC．
（2）若AB＝AC，设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，BE＝6，EC＝4，求的值．
（3）求证：AC2＝BC2+AB AD．
39．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若，用含n的代数式表示．
40．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点P是△ABC内一个动点，且∠BPC＝135°．
（1）试找出与∠ACP相等的角，并说明理由；
（2）如图2，连接AP并延长交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连接CQ．
①求证△ACP∽△AQC；
②求的最小值；
（3）在如图2的条件下，若BP＝PC，求证：．
41．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（ ）
A． B． C． D．
42．教科书的宽与长之比为黄金比，若教科书的长为m厘米，则宽为 厘米（用含m的代数式表示）．
43．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点． ，AB＝9，则ED的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E为AB边上两点（点D在点E的右侧），满足∠DCE＝45°，则AB边上的高为 ；设AD＝x，BE＝y．用含x的代数式表示y＝ ．
45．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B．若CD＝5，，则AC＝（ ）
A．6 B． C． D．
46．如图，AD是△ABC的角平分线，在边AC上取点E，使AD2＝AB×AE．
（1）求证：△ABD∽△ADE．
（2）若∠ADB＝64°，∠C＝42°，求∠CDE的度数．
47．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
48．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长．
49．如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C．
（1）求证：FC BE＝DE2；
（2）若AB＝3，AC＝2，求AE的长．
50．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，若点C，B′，D′恰好在同一直线上，且BC＝2，则AB的长为 ．
51．如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F，若EF＝2，则DE的长为（ ）
A．6 B． C． D．
52．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．若AB＝20，BC＝10，DE＝5，则BF＝（ ）
A．15 B．16 C． D．
53．如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B，C重合），F是CD延长线上一点，且DF＝BE，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△AEF为等腰直角三角形．
（2）过点A作EF的垂线，与直线EF，BC分别交于G，H两点，记∠DFE＝α，EF交AD于点I．
①当α＝30°，AI＝2，求线段AE的长．
②设，△AGI的面积记作S1，△HGE的面积记作S2，用含k的代数式表示．
54．综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理： ．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD，∠CAB， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴90°． ∴180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论： ．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想： ．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级评价标准得分☆☆根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径2分☆☆☆☆根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论4分☆☆☆☆☆创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径5分
你的解答是：…
55．【综合与实践】
【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB（AP＞PB），且，则我们称点P为线段AB的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”．
如图2，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．若AC＝3，BC＝5，求AB的长．
【探索研究方法】如图3，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．
若∠BAC＝90°，小滨同学过点A作AD⊥BC于点D，发现了两个结论：
①AB2＝BD×BC；
②点D是边BC的黄金分割点；
请给出证明．
【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题：
如图4，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．若BC＝2，∠A＝90°∠C，求AB的长．
56．综合与实践：
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．
如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连结BD，CE．
（1）探究发现
旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
（3）延伸思考
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，分别取AB，BC的中点D，E、作△BDE．将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．当边AB平分线段DE时，求tan∠ECB的值．
57．综合与实践：问题情境：求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6且x1﹣x2＝x2﹣x3＝x3﹣x4＝x4﹣x5＝x5﹣x6，再分别算出相应的y值．列表得：
x的值 x1 x2 x3 x4 x5 x6
y＝x2+x﹣1的值 1 0.71 0.44 0.19 0.04 ﹣0.25
操作判断：（1）求x1的值；
实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．如：0.71﹣1＝﹣0.29，0.44﹣0.71＝﹣0.27，得到如下数据：﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25，﹣0.15，﹣0.29，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少？
问题解决：（3）对于一般的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数值变化进行如表研究：（d≠0）
x的值 x x+d x+2d x+3d x+4d x+5d
y＝ax2+bx+c的值 y1 y2 y3 y4 y5 y6
将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论．
2024杭州各区九年级期末复习
1．已知二次函数y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1），则下列表述正确的是（ ）
A．若m＜0，抛物线的开口向下
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴一定有两个交点
D．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
【思路点拔】利用二次函数的性质对A、B选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与x轴的交点情况，于是可对C选项进行判断；通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断．
【解答】解：对于y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1），
当m+1＜0，即m＜﹣1时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意；
当m+1＞0，即m＞﹣1，则x＞0时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意；
抛物线y＝（m+1）x2+1（m≠﹣1）的顶点坐标为（0，1），当m+1＞0时，抛物线开口向上，此时抛物线与x轴没有公共点，，所以C选项不符合题意；
当x＝0时，y＝（m+1）x2+1＝1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），所以D选项符合题意．
故选：D．
2．已知A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2023的值为 2023 ．
【思路点拔】根据二次函数图象的对称性得出x＝x1+x2，然后将其代入函数关系式求得y＝2023．
【解答】解：∵A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，
∴A、B关于对称轴x对称，
则，
∴x1+x2，
∵x＝x1+x2，
∴y＝a （）2+b （）+2023＝2023．
故答案为：2023．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．若该函数图象的顶点坐标为（n，p），则 9 ．
【思路点拔】根据抛物线的对称性求得二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的另一个交点坐标为（4n，0），则y＝a（x+2n）（x﹣4n）＝a（x﹣n）2﹣9an2，由该函数图象的顶点坐标为（n，p）可知n，p＝﹣9an2，代入求得即可．
【解答】解：∵函数图象的顶点坐标为（n，p），
∴对称轴为直线x＝n，
∵二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2n，0）．
∴二次函数y＝ax2+2x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象与x轴的另一个交点坐标为（4n，0）．
∴y＝a（x+2n）（x﹣4n）＝a（x﹣n）2﹣9an2，
∴p＝﹣9an2，
∴9an，
∴n，
∴9，
故答案为：9．
4．若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，a≠0）的图象经过点（a，c），则（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．b＞0 D．b＜0
【思路点拔】利用抛物线的对称性求得，解得b＝﹣a2＜0．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，a≠0）的图象经过点（a，c），
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴，
∴b＝﹣a2＜0，
故选：D．
5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
【思路点拔】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：C．
6．由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（ ）
A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位
B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位
C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位
D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位
【思路点拔】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【解答】解：由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，平移方式是先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，
故选：A．
7．将二次函数y＝x2的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点（1，﹣4），则b的值为 5 ．
【思路点拔】先求出平移后的解析式，再把（1，﹣4）代入解析式求值即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝x2﹣b，
∵抛物线经过点（1，﹣4），
∴﹣4＝1﹣b，
解得b＝5，
故答案为：5．
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】根据二次函数的性质得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m+1，然后根据两点到对称轴的距离判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线xm+1，
∵该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），且m+1﹣m＜m+4﹣（m+1），
∴q＞5，
故选：D．
9．已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b），设该函数的最小值为k，（ ）
A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜﹣1
B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＞﹣1
C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3
D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3
【思路点拔】利用抛物线解析式求得对称轴，即可求得函数的最小值k＝4（a）（b）＝﹣（a﹣b）2，然后根据a、b的取值，判断|a﹣b|的值，从而判断k的大小．
【解答】解：由二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b）可知对称轴为直线x，
∴函数的最小值k＝4（a）（b）＝﹣（a﹣b）2，
若2＜a＜3，2＜b＜3，则|a﹣b|＜1，
所以﹣1＜k＜0，
若2＜a＜3，3＜b＜4，则|a﹣b|＜2，
所以﹣4＜k＜0，
故选项B正确，选项A、C、D错误．
故选：B．
10．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
【思路点拔】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
11．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
【思路点拔】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
12．已知点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t，若n＜0＜m，则t的取值范围为 t ．
【思路点拔】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由n＜0＜m即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2t，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，n＜0＜m，
∴3＜2t＜5，
∴t．
故答案为：t．
13．在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2+bx+c的图象上．
（1）若y1＝y3，求b的值．
（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．
【思路点拔】（1）由y1＝y3可得抛物线对称轴为直线x，构建方程可得结论．
（2）由抛物线经过（﹣2，0）可得4﹣2b+c＝0，分别将（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）代入解析式，根据y2＜y1＜y3及b的取值范围求解．
【解答】解：（1）当y1＝y3时，（﹣1，y1），（2，y3）关于对称轴对称，
∴，
∴b＝﹣1．
（2）将（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c得4﹣2b+c＝0，
将（1，y2）代入y＝x2+bx+c得y2＝1+b+c，
将（﹣1，y1）代入y＝x2+bx+c得y1＝1﹣b+c，
∵y2＜y1，
∴1+b+c＜1﹣b+c，
∴b＜0，
将（2，y3）代入y＝x2+bx+c得y3＝4+2b+c，
∵y1＜y3，
∴1﹣b+c＜4+2b+c，
∴b＞﹣1，
∵4﹣2b+c＝0，
∴y3＝4+2b+c＝4b，
∴﹣4＜4b＜0，即﹣4＜y3＜0．
14．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 （2，1） ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ．
【思路点拔】把解析式配方解答即可求得顶点坐标；根据题意，当x＝4时，函数有最小值，得到关于a的方程，解方程求得a的值．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+4a+1＝a（x﹣2）2+1，
∴此函数的顶点坐标是（2，1），
若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，
∴x＝4时，y＝16a﹣16a+4a+1＝a﹣1，
∴a，
故答案为：（2，1），．
15．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A（0，3），B（1，0），C（3，0），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为 3 ．
【思路点拔】比较a的大小，通过正负先排除开口向下的情况，根据|a|越大，开口越小，确定过点A，点B，点D三点的二次函数的a的值最大．
【解答】解：由图可知，
过点A，C，D和过点B，C，D的二次函数开口向下，a＜0，故排除开口向下这种情况，
∵|a|越大，开口越小，
∴当a＞0时，开口小的那个a最大，
由图可知，过点A，点B，点D三点的二次函数的a的值最大．
把A（0，3），B（1，0），D（2，3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得a＝3．
故答案为：3．
16．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出平面直角坐标系中的四点：A（0，2），B（2，3），C（2，1），D（3，1）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2分别计算a1+b1+c1，a2+b2+c2的值，其中较大值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【思路点拔】根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、B、D三点的抛物线当x＝1时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解．
【解答】解：∵B、C的横坐标相同，
∴抛物线不会经过A、B、C或B、C、D三点，
∴抛物线经过可能经过A、B、D或者A、C、D，
如图，经过A、B、D三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大，
把A（0，2），B（2，3），D（3，1）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为yx2x+2，
当x＝1时，y2，
故较大值为，
故选：A．
17．已知实数x，y满足2x2+13x+y﹣8＝0，则x+y的最大值为 26 ．
【思路点拔】由题意可得y＝﹣2x2﹣13x+8，代入x+y中，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵2x2+13x+y﹣8＝0，
∴y＝﹣2x2﹣13x+8，
∴x+y＝x+（﹣2x2﹣13x+8）＝﹣2（x+3）2+26．
∵﹣2＜0，
∴当x＝﹣3时，x+y有最大值，最大值为26．
故答案为：26．
18．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2．（a为常数，且a≠0）
（1）若函数图象过点（1，0），求a的值；
（2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝18，求a的值．
【思路点拔】（1）把点（1，0）代入解析式即可求得a的值；
（2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为（2，2﹣4a），即可求得x＝2时，y＝2﹣4a，进而求得当x＝5时，y＝5a+2，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象过点（1，0），
∴a﹣4a+2＝0，
∴a；
（2）∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴抛物线的顶点为（2，2﹣4a），
∴x＝2时，y＝2﹣4a，
当x＝5时，y＝25a﹣20a+2＝5a+2，
当a＞0时，当2≤x≤5时，M＝5a+2，N＝2﹣4a，
∵M﹣N＝18，
∴5a+2﹣（2﹣4a）＝18，
∴a＝2；
当a＜0时，当2≤x≤5时，N＝5a+2，M＝2﹣4a，
∵M﹣N＝18，
∴2﹣4a﹣（5a+2）＝18，
∴a＝﹣2；
∴a的值为2或﹣2．
19．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线y2＝x2﹣3x+2是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
抛物线y1（x﹣1）2﹣2与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B．
①求a：b：c的值．
②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，m＞n，且m﹣n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围．
【思路点拔】【概念理解】求出抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，即可知抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
【尝试应用】①求出抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），代入y2＝ax2+bx+c得：，解得，故a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，可得抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a），而抛物线的顶点为（1，﹣2），a，可知抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；即可得m﹣n（x0﹣1）2﹣2﹣（2ax0﹣3a）＝（a）（2a﹣1）x0+3a，根据m﹣n的值始终不大于2，有2，即解得a≤1，而A（0，），B（0，﹣3a）；故AB（﹣3a）＝3a，从而可得线段AB长的取值范围是0＜AB．
【解答】解：【概念理解】抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在y1＝2（x﹣1）（x﹣2）中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；
在中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线与x轴有相同的交点，
又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
【尝试应用】①在中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），
把（3，0）和（﹣1，0）代入y2＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
∴a：b：c的值为1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a），
∵抛物线的顶点为（1，﹣2），a，
∴﹣4a＜﹣2，
∴抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；
∴m（x0﹣1）2﹣2，n2ax0﹣3a，
∴m﹣n（x0﹣1）2﹣2﹣（2ax0﹣3a）＝（a）（2a﹣1）x0+3a，
∵m﹣n的值始终不大于2，
∴2，
整理得：2a2﹣3a+1≤0，
解得a≤1，
∵a，
∴a≤1；
在中，令x＝0得y，
∴A（0，），
在y2＝ax2﹣2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a，
∴B（0，﹣3a）；
∴AB（﹣3a）＝3a，
∵a≤1；
∴0＜3a，
∴线段AB长的取值范围是0＜AB．
20．如图，将一个含30°角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为100°，∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则∠BEC＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【思路点拔】根据题意可知点C在以AB为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出∠ACD，再利用三角形的外角的性质就可以求出答案．
【解答】解：根据题意可知点C在以AB为直径的圆上，
设圆心为O，连接OD，则∠AOD＝100°，
∴∠ACD∠AOD＝50°，
∴∠BEC＝∠ACD+∠CAE＝50°+30°＝80°．
故选：A．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 120 °．
【思路点拔】连接OD，根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD＝120°，
故答案为：120．
22．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（ ）
A．3m＝4n B．4m＝3n C．m+n＝7 D．m+n＝180°
【思路点拔】根据圆内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，所以∠A+∠C所占的份数一定和∠B+∠D所占的份数相等，则m+n＝7．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∵∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，
∴m+n＝7．
故选：C．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（ ）
A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270°
【思路点拔】由∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，得∠DAE＝∠DCB，所以∠DAE＝∠DAC＝∠DBC，则∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，因为DA＝DF，所以∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，可证明△DAF∽△DBC，得∠ADB＝∠BDC，再由∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，推导出∠ACB＝∠BAC，所以∠BDC＝∠BAC（180°﹣α），则∠DBC＝∠DCB（180°﹣∠BDC）＝45°α，因为∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝135°α，所以β＝135°α，则α+4β＝540°，可判断A正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝∠DCB，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，
∵DA＝DF，
∴∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，
∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠DCB，
∴△DAF∽△DBC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵∠ABC＝α，∠DFC＝β，
∴∠BDC＝∠BAC（180°﹣∠ABC）（180°﹣α），
∴∠DBC＝∠DCB（180°﹣∠BDC）＝90°（180°﹣α）＝45°α，
∵∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝180°﹣（45°α）＝135°α，
∴β＝135°α，
∴α+4β＝540°，
故A正确，
故选：A．
24．如图，BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，△ABC外接圆的圆心O为AB的中点，延长DB，AC交于点F．若∠BAC＝30°，BF＝6，则△ABC的周长为 9+3 ．
【思路点拔】根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠ABD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BCF＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝60°，得到∠F＝∠A＝30°，根据等腰三角形的判定定理得到AB＝BF＝6，根据直角三角形的性质得到BCAB＝3，于是得到结论．
【解答】解：∵BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，
∴∠EBD＝∠ABD，
∵△ABC外接圆的圆心O为AB的中点，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝120°，
∴∠ABD＝∠DBE＝60°，
∴∠CBF＝∠DBE＝60°，
∴∠F＝∠A＝30°，
∴AB＝BF＝6，
∴BCAB＝3，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+3+39+3，
故答案为：9+3．
25．如图，四边形ABCD是半圆⊙O的内接四边形，AB是直径，AD＝4．
（1）设⊙O的半径为r，用含r的代数式表示线段BD；
（2）若，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据勾股定理求解即可；
（2）连接BD、OC交于点E，根据垂径定理求出OC⊥BD，DE＝BE，根据三角形中位线的判定与性质求出OE＝4，设⊙O的半径为r，由（1）知，BD＝2，则BE，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵AB是半圆⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD，
∵AD＝4，AB＝2r，
∴BD2；
（2）如图，连接BD、OC交于点E，
∵BC＝CD，
∴OC⊥BD，DE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OEAD＝4，
设⊙O的半径为r，由（1）知，BD＝2，
∴BE，
在Rt△CBE中，BC2＝CE2+BE2，BC，
∴（r﹣2）2，
∴r＝5或r＝﹣3（舍去），
∴⊙O的半径为5．
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，其中AD＞CD，已知对角线AC过点O，对角线BD与CO相交于点E，且AD＝BD．若∠BDC＝2∠DBC，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【思路点拔】令∠DBC的度数为x，进一步表示出∠BDC、∠BAC和∠CAD的度数，利用等边对等角及直径所对的圆周角为90°，可求出x的值，进而发现△ABC是等腰直角三角形及AB与AE相等，即可解决问题．
【解答】解：令∠DBC的度数为x，则∠BDC的度数为2x，
∵，
∴∠BAC＝∠BDC＝2x，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD＝x，
∴∠BAD＝3x．
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB＝3x．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
则3x+x＝90°，
解得x＝22.5°．
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABE＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴AE＝BE．
令⊙O的半径为R，
则AB2+CB2＝（2R）2，
∵AB＝CB，
∴AB，
∴AE＝AB，
又∵CE＝2R，
∴．
故选：A．
27．如图，在⊙O中，M为半径OA上一点．过M作弦BC⊥OA，交⊙O于B，C两点．连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E．已知EB＝ED．
（1）求证：60°；
（2）探究线段CE，EM长度之间的数量关系，并证明．
【思路点拔】（1）连接OC，根据垂径定理得，再根据EB＝ED，得∠B＝∠D，，所以，∠COD＝60°，即可得出结论；
（2）连接AC，根据圆周角定理得∠B＝∠D∠COD＝30°，所以∠EAC＝∠ECA＝∠B＝30°，所以AE＝CE，∠OAD＝∠D＝30°，根据直角三角形30°的性质得AE＝2EM，所以CE＝2EM．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵BC⊥OA，
∴，
∵EB＝ED，
∴∠B＝∠D，
∴，
∴，
∴∠COD＝60°，
∴60°；
（2）CE＝2EM，
证明：连接AC，
∵∠COD＝60°，
∴∠B＝∠D∠COD＝30°，
∴∠EAC＝∠ECA＝∠B＝30°，
∴AE＝CE，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D＝30°，
∴AE＝2EM，
∴CE＝2EM．
28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
【思路点拔】设CD垂直平分OB于点F，连接AD，根据OBOC可知∠OCF＝30°，则∠COB＝60°，进而求出∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，根据圆周角定理求出∠E＝60°，根据CE平分∠OCD求出∠EAD＝∠ECD＝15°，则∠EAB＝45°，求出比值即可．
【解答】解：设CD垂直平分OB于点F，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，
∴OFOBOC，
∴∠OCF＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，
∴∠E＝60°，
∵CE平分∠OCD，
∴∠EAD＝∠ECD＝15°，
∴∠EAB＝∠BAD+∠EAD＝45°，
∴∠BAE：∠E＝45°：60°＝3：4．
故选：B．
29．《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝ 3 ．
【思路点拔】根据垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系求出AB，CD，再代入计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，由题意可知点O、C、D在同一条直线上，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴ABOA＝2，
∵OC⊥AB，OA＝OB＝2，
∴OC＝ACOA，
∴s＝AB
＝2
＝3．
故答案为：3．
30．如图，在⊙O中，弦AB是直径，点C，D是⊙O上的两点，连结AC，OD，且满足AC∥OD．
（1）若的度数为80°，求∠A的度数．
（2）求证：．
（3）连结BD，若AC＝6，AB＝10，求BD的长．
【思路点拔】（1）连接OC，根据弧AC的度数求出∠AOC，利用三角形内角和求出∠A；
（2）利用平行线的性质求得∠BOD＝∠A＝50°，∠COD＝∠OCA＝50°，得出∠COD＝∠BOD，进而得出弧相等；
（3）先根据勾股定理求出BC，然后利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出BD即可．
【解答】（1）解：连接OC，
∵的度数为80°，
∴∠AOC＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝50°；
（2）证明：∵AC∥OD，
∴∠BOD＝∠A＝50°，∠COD＝∠OCA＝50°，
∴∠COD＝∠BOD，
∴；
（3）解：连接BC，交OD于点E，
∵弦AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC8，
∵，
∴OD⊥BC，
∴CE＝BE＝4，
∴OE3，
∴DE＝OD﹣OE＝2，
∴BD2．
31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，且∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明．
（2）若，AD＝1．
①求线段DC的长．
②求的值．
【思路点拔】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，由∠ADB＝∠CDB，可得AB＝BC，可证得结论；
（2）①由AC为⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，利用勾股定理即可求得答案；
②过点E作EF⊥AD于点F，由△DEF是等腰直角三角形，可得DEEF，再根据三角函数定义可得∠CAD＝60°，可得AEEF，即可求得答案．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）①∵AB，AD＝1，
∴BC，
∴ACAB＝2，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴DC；
②如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠ADB＝∠CDB，∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝45°，
∵∠DFE＝∠AFE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DEEF，
∵cos∠CAD，
∴∠CAD＝60°，
∴EF＝AE sin60°AE，
∴AEEF，
∴．
32．已知，线段AB＝8，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
【思路点拔】以AB为边作等边三角形OAB，作△OAB的外接圆O，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，如图所示：
∵△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝8，
∵∠ACB＝30°，
∴点C在优弧AB上，
当AC为外接圆O的直径时，AC最大，且最大值为16，
故选：C．
33．已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 4π ．
【思路点拔】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【解答】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
l×6＝12π，
解得l＝4π，
故答案为：4π．
34．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧过点A（1，3），点B（2，3），点C（2，1），以点A和点D（4，2）为端点的线段与该圆弧相交于点E，则的长为 π ．
【思路点拔】如图，连接AC，取AC的中点T，连接ET．证明∠ETC＝90°，利用弧长公式求解．
【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点T，连接ET．
观察图形可知，AC是直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AC＝CD，AD，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°．
∴∠CAD＝45°，
∴∠ETC＝2∠CAD＝90°，
∵TC＝ET＝TA，
∴的长π．
故答案为：π．
35．在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中，点A，B，C均在格点上．
（1）用直尺作出△ABC的外接圆圆心O．
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长．
【思路点拔】（1）线段AC，BC的垂直平分线的交点O即为所求；
（2）连接OB，利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）连接OB．
OB．
故外接圆半径R的长为．
36．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ 60°﹣α ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则 ．
【思路点拔】①连接OD，BD，PO，由线段垂直平分线的性质得到△ODB是等边三角形，由圆周角定理得到∠A∠POB＝30°+α，由直角三角形的性质即可求出∠PFE＝60°﹣α．
②设圆的半径是r，OM＝x，由∠AFE＝3∠PCD，求出α＝15°，得到∠POB＝90°，因此OP∥CE，推出△POM∽△CEM，得到OM：EM＝OP：CE，代入有关数据即可求出OM的长，得到AM，BM的长，即可得到答案．
【解答】解：①连接OD，BD，PO，
∵弦CD⊥AB于点E，OE＝BE，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠PCD＝α，
∴∠POD＝2α，
∴∠POB＝60°+2α，
∴∠A∠POB＝30°+α，
∴∠PFE＝90°﹣∠A＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α；
②∵∠AFE＝3∠PCD，
∴60°﹣α＝3α，
∴α＝15°，
∴∠POD＝2∠PCD＝30°，
∴∠POB＝90°，
∴OP∥CE，
∴△POM∽△CEM，
∴OM：EM＝OP：CE，
∵直径AB⊥CD，
∴DE＝CE，
∴OM：EM＝OP：ED，
设圆的半径是r，OM＝x，
∴EMr﹣x，DEr，
∴x：（r﹣x）＝r：r，
∴x＝（2）r，
∴OM＝（2）r，
∴AM＝AO+OM＝3rr，BM＝OB﹣OMr﹣r，
∴．
故答案为：．
37．如图，△ACD是圆内接三角形，点B是圆上一点，连结AB，BD，BD与AC交于点E，且满足AB＝AC，∠BAC＝∠CAD．若CD＝2，AD＝3，则CE＝ 1 ．
【思路点拔】由ASA判定△ABE≌△ACD，得到AE＝AD＝3，由△CDE∽△CAD，推出CD：CA＝CE：CD，得到2：（3+CE）＝CE：2，即可求出CE的长．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD＝3，
∵∠CDE＝∠BAC，∠CAD＝∠BAC，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA＝CE：CD，
∴2：（AE+CE）＝CE：2，
∴2：（3+CE）＝CE：2，
∴CE＝1或CE＝﹣4（舍去）．
故答案为：1．
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BAD，连接BD交AC于点E．
（1）求证：△ABC∽△BEC．
（2）若AB＝AC，设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，BE＝6，EC＝4，求的值．
（3）求证：AC2＝BC2+AB AD．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理可得∠CBD＝∠CAD，由角平分线定义得∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；
（2）过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G，可证得△CAB∽△CBE，可得，即，求得AE＝5，再证得△AEF∽△CEG，即可求得答案；
（3）先证明△ACB∽△ADE，可得AC AE＝AB AD，即AC2﹣AC CE＝AB AD，再证得△CBE∽△CAB，可得AC CE＝BC2，即可证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBD＝∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAC，
∴△ABC∽△BEC．
（2）解：如图，过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴，
∴∠BAC＝∠CBD，
∴△CAB∽△CBE，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，，
又∵BE＝6，EC＝4，
∴BC＝BE＝6，
∴，
∴AE＝5，
∵AF⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AFE＝∠CGE＝90°，
∵∠AEF＝∠CEG，
∴△AEF∽△CEG，
∴，
∴．
（3）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴△ACB∽△ADE，
∴，
∴AC AE＝AB AD，
∴AC （AC﹣CE）＝AB AD，
∴AC2﹣AC CE＝AB AD，
∵，
∴∠CBD＝∠BAC，
∵∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB，
∴，
∴AC CE＝BC2，
∴AC2﹣BC2＝AB AD，
即AC2＝BC2+AB AD．
39．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若，用含n的代数式表示．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得△DOE∽△ABC，根据圆周角定理得出∠A＝∠BDC，推出∠ODE＝∠BDC即可；
（2）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得出结论；
（3）根据△DOE∽△ABC，求出S△ABC＝4S△DOE＝4S1，进而求解．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
∴∠ODE＝∠A，
∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠ODE＝∠BDC，
∴∠ODF＝∠BDE；
（3）解：∵△DOE∽△ABC，
∴（）2，
即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，
∵OA＝OB，
∴S△BOCS△ABC，即S△BOC＝2S1，
∵，S2＝S△BOC+S△DOE+S△DBE＝2S1+S1+S△DBE，
∴S△DBES1，
∴BE＝（）OE，
即OEOBDO，
∴sinA＝sin∠ODE．
40．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点P是△ABC内一个动点，且∠BPC＝135°．
（1）试找出与∠ACP相等的角，并说明理由；
（2）如图2，连接AP并延长交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连接CQ．
①求证△ACP∽△AQC；
②求的最小值；
（3）在如图2的条件下，若BP＝PC，求证：．
【思路点拔】（1）根据∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°，∠PBC+∠PCB＝45°，等量代换即可得到∠ACP＝∠PBC；
（2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到∠Q＝∠APC，即可证明；
②连接OB、CO，由△ACP∽△AQC，得到，当CQ经过圆心O时，的值最小，过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线，则AO是BC的垂直平分线，再由CO＝AC，得到CQ＝2AC，即可求的最小值为；
（3）由题意可知P点AM上，则∠PBC＝∠PCB＝∠ACP，过点P作PH⊥AC交于H点，设PM＝x，则PH＝x，分别求出APx，AM＝（1）x，AC（1）x，PC2＝（4+2）x2，再由，即可证明．
【解答】（1）解：∵∠BPC＝135°，
∴∠PBC+∠PCB＝45°，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°，
∴∠ACP＝∠PBC；
（2）①证明：∵，
∴∠Q＝∠PBC，
∵∠ACP＝∠PBC，
∴∠Q＝∠APC，
∴△ACP∽△AQC；
②连接OB、CO，
∵∠BPC＝135°，
∴∠BOC＝90°，
∵△ACP∽△AQC，
∴，
∴，
当CQ经过圆心O时，的值最小，
过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线，
∴AO是BC的垂直平分线，
∵AM＝BM＝OM，
∴CO＝AC，
∴CQ＝2AC，
∴的最小值为；
（3）证明：∵BP＝PC，
∴P点AM上，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ACP，
过点P作PH⊥AC交于H点，
∴PH＝PM，
设PM＝x，则PH＝x，
∵∠PAH＝45°，
∴APx，
∴AM＝（1）x，AC（1）x，PC2＝（4+2）x2，
∵，
∴（）2，
∴CQ2＝（2）AC2．
41．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以APAB，代入数据即可得出AP的长度．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则APa1．
故选：B．
42．教科书的宽与长之比为黄金比，若教科书的长为m厘米，则宽为 m 厘米（用含m的代数式表示）．
【思路点拔】设教科书的宽为x厘米，利用黄金分割的定义得到，然后求出x即可．
【解答】解：设教科书的宽为x厘米，
根据题意得，
解得xm，
即教科书的宽为m厘米．
故答案为：m
43．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点． ，AB＝9，则ED的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【思路点拔】先利用两边成比例夹角相等的两三角形相似可判断△CAB∽△CDE，然后利用相似比可求出AB的长．
【解答】解：∵，∠ACB＝∠DCE，
∴△CAB∽△CDE，
∴，
∴DEAB9＝6．
故选：A．
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E为AB边上两点（点D在点E的右侧），满足∠DCE＝45°，则AB边上的高为 ；设AD＝x，BE＝y．用含x的代数式表示y＝ ．
【思路点拔】利用面积法可求出AB边上的高，旋转△ACD，利用“角含半角”模型构造出全等三角形，再借助于勾股定理即可解决问题．
【解答】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB．
又∵，
∴．
即AB边上的高为．
将△ACD绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为点F，点D的对应点为H，延长HF交AB于点G，连接EH，
由旋转可知，
△CHF≌△CDA，
∴∠HCF＝∠DCA，HF＝AD＝x，CF＝AC＝3，∠HFC＝∠A，CH＝CD．
又∵∠HFC＝∠BFG，∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠BFG＝90°，
则FG⊥BE．
又∵BF＝4﹣3＝1．
∴sinB，
则FG．
同理可得，BG．
∴HG＝x，EG＝y．
∵∠DCE＝45°，
∴∠ACD+∠BCE＝45°，
∴∠HCE＝∠HCF+∠BCE＝45°，
∴∠HCE＝∠DCE．
在△HCE和△DCE中，
，
∴△HCE≌△DCE（SAS），
∴HE＝DE＝5﹣x﹣y．
在Rt△HGE中，
（x）2+（y）2＝（5﹣x﹣y）2，
整理得，
y．
故答案为：，．
45．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B．若CD＝5，，则AC＝（ ）
A．6 B． C． D．
【思路点拔】先利用三角形外角性质得到∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，再利用∠ADE＝∠B得到∠CDE＝∠BAD，所以∠BAD＝∠CAD，而∠C为公共角，则可判断△CDE∽△CAD，然后利用相似比可求出AC的长．
【解答】解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
而∠ADE＝∠B，
∴∠CDE＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠ECD＝∠DCA，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA＝CE：CD，即5：CA：5，
解得CA．
故选：C．
46．如图，AD是△ABC的角平分线，在边AC上取点E，使AD2＝AB×AE．
（1）求证：△ABD∽△ADE．
（2）若∠ADB＝64°，∠C＝42°，求∠CDE的度数．
【思路点拔】（1）由角平分线的定义可得∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AB×AE得：，即可判定：△ABD∽△ADE；
（2）由外角定义可得∴∠DAE＝64°﹣∠C＝22°，由角平分线的定义得∠BAC＝44°，再由三角形的内角和可求得∠B＝94°，由（1）可得∠ADE＝∠B＝94°，根据平角的定义从而可求∠CDE的度数．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AD2＝AB×AE，
∴，
∴：△ABD∽△ADE；
（2）解：∵∠ADB＝64°，∠C＝42°，
∴∠DAE＝64°﹣∠C＝22°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠DAE＝44°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝94°，
∵△ABD∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝94°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝22°．
47．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
【思路点拔】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题；
（2）证明△ABF∽△CDE，得AF DE＝BF CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠AFC＝∠DEA，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
48．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长．
【思路点拔】（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAE，而∠B＝∠ADE，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△AED；
（2）由相似三角形的性质得，而AB＝9，AD＝6，则AE4．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵∠B＝∠ADE，
∴△ADB∽△AED．
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AB＝9，AD＝6，
∴AE4，
∴AE的长是4．
49．如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C．
（1）求证：FC BE＝DE2；
（2）若AB＝3，AC＝2，求AE的长．
【思路点拔】（1）先利用菱形的性质得到DE＝DF，DE∥AF，DF∥AE，再根据平行线的性质得到∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF，则可判断△BDE∽△DCF，然后利用相似比和等量代换得到结论；
（2）先利用菱形的性质得到AE＝DE，DE∥AF，则可判断△BDE∽△BCA，根据相似三角形的性质得到，即，然后利用比例性质可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形AEDF为菱形，
∴DE＝DF，DE∥AF，DF∥AE，
∴∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF，
∴△BDE∽△DCF，
∴，
∴FC BE＝DE DF，
而DE＝DF，
∴FC BE＝DE2，
（2）解：∵四边形AEDF为菱形，
∴AE＝DE，DE∥AF，
∴△BDE∽△BCA，
∴，即，
解得AE，
即AE的长为．
50．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，若点C，B′，D′恰好在同一直线上，且BC＝2，则AB的长为 1 ．
【思路点拔】设AB＝x，根据将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，可得AB'＝AB＝x，AD'＝B'C'＝BC＝2，∠DAB＝∠D'AB'＝90°，即知D'，A，B共线，由△AB'D'∽△BCD'，可得，即可解得答案．
【解答】解：设AB＝x，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴AB'＝AB＝x，AD'＝B'C'＝BC＝2，∠DAB＝∠D'AB'＝90°，
∴∠DAB+∠D'AB'＝180°，
∴D'，A，B共线，
∵AD∥BC，
∴△AB'D'∽△BCD'，
∴，即，
解得x1或x1（舍去），
经检验，x1是方程的解，也符合题意，
∴AB的长为1；
故答案为：1．
51．如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F，若EF＝2，则DE的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【思路点拔】证明△DEF和△BCD相似，利用相似三角形的性质可求出DF的长，最后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠EDF＝∠CBD．
又∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝∠C＝90°．
∴△DEF∽△BDC，
∴．
又∵BC＝3AB，
∴．
∵EF＝2，
∴，
则DF＝6．
在Rt△DEF中，
DE．
故选：B．
52．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．若AB＝20，BC＝10，DE＝5，则BF＝（ ）
A．15 B．16 C． D．
【思路点拔】由矩形的性质得AD＝BC＝10，∠BAD＝∠D＝90°，而DE＝5，所以EA5，由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，则∠AFB＝∠D，∠ABF＝∠EAD＝90°﹣∠BAE，可证明△ABF∽△EAD，得，则BF8，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，DE＝5，
∴AD＝BC＝10，∠BAD＝∠D＝90°，
∴EA5，
∵BF⊥AE于点F，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，∠ABF＝∠EAD＝90°﹣∠BAE，
∴△ABF∽△EAD，
∴，
∴BF8，
故选：D．
53．如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B，C重合），F是CD延长线上一点，且DF＝BE，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△AEF为等腰直角三角形．
（2）过点A作EF的垂线，与直线EF，BC分别交于G，H两点，记∠DFE＝α，EF交AD于点I．
①当α＝30°，AI＝2，求线段AE的长．
②设，△AGI的面积记作S1，△HGE的面积记作S2，用含k的代数式表示．
【思路点拔】（1）证明Rt△ADF≌△ABE，从而∠DAF＝∠BAE，AF＝AE，进一步得出结论；
（2）①可得出∠GAI＝∠DFE＝30°，解直角三角形AGI求得AG，解直角三角形AGF求得AF，进而得出AE；
②根据tan∠GAI＝tan∠DFE得出，进而得出，可证得△AGI∽△HGE，进而求得结果．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD边，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ADC＝∠B＝90°，
∵DF＝BE，
∴Rt△ADF≌△ABE（HL），
∴∠DAF＝∠BAE，AF＝AE，
∴∠DAF+∠DAE＝∠BAE+∠DAE＝∠ABC＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）解：①∵AH⊥EF，
∴∠AGF＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠AGF＝∠ADF，
∵∠GIA＝∠DIF，
∴∠GAI＝∠DFE＝30°，
∴GI＝AI cos30°＝2，
由（1）知：△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AF；
②由①知：∠GAI＝∠DFE，
∴tan∠GAI＝tan∠DFE，
∴，
由①知：∠AEF＝45°，
∴tan∠AEF，
∴AG＝EG，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴△AGI∽△HGE，
∴．
54．综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理： 直角所对的弦是直径 ．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD，∠CAB， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴90°． ∴180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论： ．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想： ．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级评价标准得分☆☆根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径2分☆☆☆☆根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论4分☆☆☆☆☆创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径5分
你的解答是：…
【思路点拔】探究任务1：根据直角所对的弦是直径即可求解；
探究任务2：连接DO并延长，交⊙O于点F，则；
探究任务3：根据180°，180°，即可求解；
探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，证明△BDP∽△CAP得出AB＝7，CD＝8，根据平行弦的性质得出CG＝DH＝1，进而根据勾股定理，即可求解．
【解答】解：探究任务1：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径，理由是：直角所对的弦是直径；
故答案为：直角所对的弦是直径．
探究任务2：如图2所示，
连接DO并延长，交⊙O于点F，则，
理由如下，连接CF，AC，
∵DF是直径，
∴∠FCD＝90°，
∴∠P＝∠FCD，
∴FC∥AP，
∴∠ACF＝∠BAC；
∴．
故答案为：．
探究任务3：结论：，
如图，连接BC，OA，OC，OB，OD，
∵∠PBC∠AOC，∠PCB∠BOD，
∴∠APC∠AOC∠BOD（∠AOC+∠BOD）＝90°，
∴180°，
则：180°，
∴；
故答案为：．
探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，则四边形CGHD是矩形；
∵，，
∴∠BDC＝∠BAC，∠DBA＝∠DCA，
∴△BDP∽△CAP，
∴，
∵BP＝3，DP＝6，CP＝2，
∴PA4，则AB＝7，CD＝8，
∵CD⊥AB，GH∥CD，
∴AB⊥GH，
∵CD∥GH，
∴∠CDG＝∠DGH，
∴，
∴CG＝DH，
又∵四边形CGHD是矩形，
∴CD＝GH，
∵矩形和圆都是轴对称图形，
∴BP＝AQ，
∴CG＝DH＝PQ＝AB﹣2PB＝7﹣6＝1，
在RtGDH中，
GD，
即圆的直径为．
55．【综合与实践】
【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB（AP＞PB），且，则我们称点P为线段AB的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”．
如图2，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．若AC＝3，BC＝5，求AB的长．
【探索研究方法】如图3，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．
若∠BAC＝90°，小滨同学过点A作AD⊥BC于点D，发现了两个结论：
①AB2＝BD×BC；
②点D是边BC的黄金分割点；
请给出证明．
【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题：
如图4，已知△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC．若BC＝2，∠A＝90°∠C，求AB的长．
【思路点拔】【认识研究对象】根据题意可得AB2＝AC×BC，将AC＝3，BC＝5代入即可解答；
【探索研究方法】①根据题意可得cos∠B，即可证得；
②根据题意可得AB2＝AC×BC，求出cos∠C，表示出BD2＝DC×BC，即可证得；
【尝试问题解决】截取CH＝AC，设∠C＝2α，证明△BAH∽△BCA，求出BH＝AC＝1，即可解答．
【解答】【认识研究对象】解：∵AC＜AB＜BC，△ABC是“类黄金三角形”，
∴AB2＝AC×BC，
∵AC＝3，BC＝5，
∴AB2＝3×5＝15，
∴AB．
【探索研究方法】证明：①∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴cos∠B，
∴AB2＝BD×BC．
②∵△ABC是“类黄金三角形”，且AC＜AB＜BC，
∴AB2＝AC×BC，
∵AB2＝BD×BC，
∴AC＝BD，
∴cos∠C，
∴AC2＝DC×BC，
∴BD2＝DC×BC，
∴，
∴D是边BC的黄金分割点．
【尝试问题解决】解：如图，截取CH＝AC，连接AH，
设∠C＝2α，
∴∠CAH＝∠CHA＝90°﹣α，
∵∠A＝90°，
∴∠BAH＝2α，
∴△BAH∽△BCA，
∴，
∴BA2＝BC BH，
∵△ABC是“类黄金三角形”，
∴AB2＝AC BC，
∴BC BH＝AC BC，
∴BH＝AC＝1，
∴AB
56．综合与实践：
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．
如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连结BD，CE．
（1）探究发现
旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
（3）延伸思考
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，分别取AB，BC的中点D，E、作△BDE．将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．当边AB平分线段DE时，求tan∠ECB的值．
【思路点拔】（1）可证得△ABD∽△ACE，从而，从而得出CE；
（2）可证得∠ADB＝∠AEC＝90°，△ADE是等腰直角三角形，进而求得AE，进一步得出结果；
（3）设AB与DE相交于点Q，作EF⊥BC于F，可证得∠ABE＝∠DEB＝∠ACB，进而证得∠BEG＝∠ACB，进而求得BG，EG及CG，进一步得出结果．
【解答】解：（1）CE，理由如下：
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴ACAB，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴CE；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACE，
∴∠ABE＝∠ACE，∠ADE＝∠AEC，∠ADB＝∠AEC，
∴点A、B、C、E共圆，
∴∠AEC+∠ABC＝180°，∠BCE＝∠BAC＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∵AB＝4，AD＝2，
∴AEAD＝2，
∴CE2；
（3）如图，
设AB与DE相交于点Q，作EF⊥BC于F，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠BED＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∵AB平分DE，
∴DQ＝QE，
∴BQ＝EQQE，
∴∠ABE＝∠DEB＝∠ACB，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BEG＝90°，
∴∠ABE＝∠BEG，
∴∠BEG＝∠ACB，
∴BG＝BE sin∠BEG＝3 sin∠ACB＝3，
EG＝BE cos∠BEG＝3，
∴CG＝BC﹣BG＝6，
∴tan∠ECB．
57．综合与实践：问题情境：求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6且x1﹣x2＝x2﹣x3＝x3﹣x4＝x4﹣x5＝x5﹣x6，再分别算出相应的y值．列表得：
x的值 x1 x2 x3 x4 x5 x6
y＝x2+x﹣1的值 1 0.71 0.44 0.19 0.04 ﹣0.25
操作判断：（1）求x1的值；
实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．如：0.71﹣1＝﹣0.29，0.44﹣0.71＝﹣0.27，得到如下数据：﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25，﹣0.15，﹣0.29，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少？
问题解决：（3）对于一般的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数值变化进行如表研究：（d≠0）
x的值 x x+d x+2d x+3d x+4d x+5d
y＝ax2+bx+c的值 y1 y2 y3 y4 y5 y6
将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论．
【思路点拔】（1）把y＝1代入y＝x2+x﹣1，求得相应的x的值，根据函数值的变化选取合适的x的值；
（2）作差后的前三个数据分别是前一个数据的基础上增加0.02，第四个不是，所以猜测第五个函数值错了，设出第五个函数值为m，根据第五个函数值减去第四个函数值的值为﹣0.25+0.02列式计算即可；
（3）可设函数值的差为w，若自变量为x，那么和它相邻的自变量为x+d，分别求得它们的函数值，相减即可得到w．
【解答】解：（1）把y＝1代入y＝x2+x﹣1，得：
x2+x﹣1＝1，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
∵二次函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x，
∴当x时，y随着x的增大而减小．观察图表可得y随x的增大而减小．
∴．
∴x1＝﹣2．
（2）作差后的前三个数据﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25分别是前一个数的基础上增加0.02，第四个不是．
∴猜测第五个函数值错了．
设第5个函数值为m．
∴m﹣0.19＝﹣0.25+0.02．
解得：m＝﹣0.04．
答：第五个函数值错了，应该是﹣0.04．
（3）设函数值的差为w，
猜测：函数值的差与自变量满足一次函数关系，
若自变量为x，则函数值为：yn＝ax2+bx+c；
和x相邻的自变量为x+d，则函数值为：yn+1＝a（x+d）2+b（x+d）+c．
∴w＝[a（x+d）2+b（x+d）+c]﹣（ax2+bx+c）
＝2adx+（ad2+bd）．
∵a，b，c，d为常数，且a≠0，d≠0，
∴函数值的差与自变量满足一次函数关系．w＝2adx+（ad2+bd）（a≠0，d≠0，a、b、c、d为常数）．
