佳五中2024-2025年度初三年级上学期期中
数学试卷
考试时间120分钟，共计120分
一、选择题（共10道题，每题3分，共30分）
1．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次函数中，其图象的顶点坐标是的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，12，14 B．2，12，14 C．2，12，14 D．2，12，14
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．2
5．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将△绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为90°， 三点在同一直线上时，则的度数为（ ）
A．46° B．56° C．45° D．51°
7．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△与△都是等边三角形，连接，若将△绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△中，°，，把△绕点逆时针旋转得到△，点与点对应，点恰好落在上，过作∥交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③：④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题（共10道题，每题3分，共30分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
12．设是方程的两实数根，则__________．
13．已知都是二次函数的图像上的点，当时，随着的增大而增大，则按从小到大顺序排列是___________．
14．如图，正方形的边长为3，为边上一点，．△绕着点逆时针旋转后与△重合，连结，则___________．
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根．则代数式的值为__________．
16．已知二次函数图象的顶点在坐标原点，且图象经过点将它向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后对应的二次函数的表达式为__________．
17．如图，在△中，°，将△绕点逆时针旋转至在△处，使点落在的延长线上的点处，则__________．
18．如图，△中，°，是中点，是上一动点，将绕点逆时针旋转90°得到线段．当最小时，的长为___________．
19．如图，点在抛物线上运动，轴上的点分别表示数3和1，首尾顺次连接得△，当△为直角三角形时，点的坐标为__________．
20．如图，在平面直角坐标系中，将等边△绕点旋转180°得到△，再将△绕点旋转180°得到△，再将△绕点旋转180°得到△，…，按此规律进行下去，若点的坐标为（2，0），则点的坐标为__________．
三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值：，其中，是方程的根．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点．
（1）画出△绕点逆时针旋转90°后的图形△，并写出点的坐标；
（2）将（1）中所得△先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△，画出△，并写出点的坐标；
（3）若点为轴上一点，则的最小值为__________．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，顶点为点．点在上，连结、．
（1）求抛物线的表达式并直接写出点的坐标；
（2）点为第一象限内抛物线上一点，如果△与△的面积相等，求点的坐标；
24．（7分）为了提高学生的综合素养，我校开设了多门综合实践活动课，按照类别分为：“手工制作”、“我的家家居制作”、“美食与生活”、“环保创意制作”、“安全救护训练营”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为___________；统计图中的_________，_________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）我校初一共有1200名学生，请你估计我校初一喜爱“美食与生活”的学生人数．
25．（8分）甲、乙两车分别从相距420km的两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，途经地（三地在同一条直线上）．甲车到达地后因有事立即按原路原速返回地，乙车从地直达地，甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：千米），（单位：千米）与甲车出发的时间（单位：小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：
（1）甲车的速度是__________千米/时，乙车的速度是___________千米/时；
（2）求甲车距它出发地的路程与它出发的时间之间的函数关系式；
（3）在甲行驶的过程中，甲车出发多长时间两车相距90千米？请你直接写出答案．
26．（8分）等边△中，平分，为边上一点，且，连接．
（1）如图1，取中点，连接，猜想：、数量关系_________；位置关系________；
（2）如图3，把图2中的△绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为中点，连接，问第（1）问中的结论还成立吗？若成立，请选一种情况证明；若不成立，请说明理由．
27．（10分）“华夏东极”佳木斯市是中国人口较少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚声全国、源远流长，其中赫哲族特有文化——鱼皮画，成为省级非遗项目．为宣传赫哲文化，某文创店准备购进甲、乙两种鱼皮画，其中乙种鱼皮画的进价比甲种鱼皮画的进价少10元，已知甲种鱼皮画的售价为每件120元，乙种鱼皮画的售价为每件100元，若用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同．
（1）求甲、乙两种鱼皮画每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种鱼皮画共300件的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案；
（3）文创店准备对甲种鱼皮画进行价格调整，甲种鱼皮画每星期可卖出40件，市场调查反映，如调整价格，甲种鱼皮画每降价1元，每星期可多卖出10件，乙种鱼皮画售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200件鱼皮画且全部售出，如何给甲种鱼皮画定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种鱼皮画各卖出多少件？
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒．
（1）求和的值；
（2）在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
2024—2025年度上学期九年级期中数学试题答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1． B 2．B 3．B 4．A 5．A 6．C 7．D 8．D 9．D 10．B
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2，3） 12．7 13． 14． 15．1 16．
17．76° 18． 19．（3，4）或（1，2）或（1，4） 20．（2026，2024）
三、解答题
21．原式
∵是方程的根 ∴ ∴ ∴原式
22．解：如图所示，
∴；
（2）解：如图所示，
∴；
（3）．
23．解：（1）将点代入，得：
，解得：，∴抛物线的表达式为．
∵，∴点的坐标为（1，9）．
（2）当时，，∴点的坐标为（0，8）．
设点的坐标为，
∵，∴
解得：，∴点的坐标为（2，8）．
24．（1）120；12；36，
（2）组频数：（人），补全条形统计图如图所示：
（3）（人），
答：该校初一1200名学生中喜爱“美食与生活”的有300人
25．（本题满分8分）
解：（1）105，60．（2）由图可知点的坐标为（2，210），
当时，设．
∵（2，210）在该函数图象上，，解得．
∴
当时，设．
∵点（2，210）和点（4，0）在该函数图象上，
∴，解得．
∴．
综上所述，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为
（3）甲车出发小时或小时两车相距90千米．
26．解；（1）
（2）当点不在边上时，图1中的结论还成立，理由如下：延长至，使，连接、、，如图：
延长至，使，连接、，
∵，∴°，∴∥
∵，∴四边形是平行四边形，
//∥，∴，
在△和△中，
，∴△≌△（SAS），∴，
∴°
∴△是等边三角形，∴．
27．解：（1）由题意，设乙种鱼皮画的进价为元，则甲种鱼皮画的进价为元，
则，∴解得：．
经检验，是原分式方程的解．
∴甲种鱼皮画的进价为（元）．
答：甲、乙两种鱼皮画每件的进价分别为100元和90元．
（2）由题意，设购进甲种鱼皮画件，则购进乙种鱼皮画（）件，
则， ∴，
又∵为正整数，可知，该文创专卖店有11种进货方案．
（3）由题意，设甲种鱼皮画降了元，则每星期可多卖出10件，该文创专卖店一星期的总利润为元，
则
∵，
当时，有最大值． ∴此时，甲种鱼皮画的售价为：（元），
甲种鱼皮画售出：（件），乙种鱼皮画售出：（件）．
28．（本题满分10分）
解：（1）在中
当时， ∴，
∵点在直线上 ∴
又∵点也在直线上 ∴即
解得
（2）解：
①当点在线段上时即时
∴
②当点在线段的延长线上时即时
∴
综上，与的函数关系式为，
（3）存在，当或或或时，△为等腰三角形．
