第16讲 一元一次方程 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．在下列方程，，，中，一元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列方程的解是的是（ ）．
A． B．
C． D．１－
3．下列方程变形错误的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．，得
4．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
5．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为1，得
B．方程化成
C．方程，移项，得
D．方程，去括号，得
6．某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如果代数式与互为相反数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
(1)解方程：．
(2)解方程：．
(3)解方程：．
21．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
22．一个数的2倍减去，再加上等于，求这个数．
23．若式子的值比的值大3，求的值．
24．甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？
25．如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为4，求这个大长方形的面积．
26．下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数．
(1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为_________；
(2)若被框住的4个数的和等于100，求出这4个数中最小的数是多少．
27．阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；
(2)若关于的方程与方程是互为“美好方程”，求的值．
28．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元．
(1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？
(2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表：
三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径
单价 1元 1.5元
现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．
(3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用．
()
第16讲 一元一次方程 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．在下列方程，，，中，一元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可得出正确答案．
【解析】解：根据一元一次方程的定义，下列各方程，，，，，
为一元一次方程的有，共计1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的知识，理解并掌握一元一次方程的定义是解题关键．
2．下列方程的解是的是（ ）．
A． B．
C． D．１－
【答案】C
【解析】试题分析：根据一元一次方程的解法可得：A、x=-2；B、x=2；C、x=3；D、x=.
考点：方程的解
3．下列方程变形错误的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．，得
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．据此逐个判断即可．
【解析】解：A、由，得，故A正确，不符合题意；
B、由，得，故B正确，不符合题意；
C、由，得，故C正确，不符合题意；
D、，得，故D错误，符合题意；
故选：D．
4．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．
【解析】解：由图形可得如果，那么，
故选：A．
5．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为1，得
B．方程化成
C．方程，移项，得
D．方程，去括号，得
【答案】C
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，分别对选项进行判断．
【解析】解：A、方程，系数化为1得t=，故该选项不正确；
B、方程，整理得，去括号得，化简整理可得，故该选项正确；
C、方程，移项得，故该选项不正确；
D、方程，去括号得，故该选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，注意去分母时涉及的括号和各项都要乘公分母是解题的关键．
6．某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，将，代入得，，解得，将，代入得，，计算求解即可．
【解析】解：由题意，将，代入得，，解得，
将，代入得，，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的运算．
7．如果代数式与互为相反数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：，
移项合并得：，
解得：．
故选：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
8．如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0
【答案】D
【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．
【解析】解：∵方程ax=b有无数个解，
∴未知数x的系数a=0，
∴b=0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，明确方程有无数个解的条件是解题的关键．
9．《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数，羊價各几何？”题意是：若干人共同出资买养，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x+3）或（5x+45），根据羊的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程．
【解析】解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为5x+45＝7x+3，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．关于x的方程的解是整数，则整数k的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的整数解，先解方程得到，根据x为整数得到或，即可解题．
【解析】解：解方程可得，
∵x为整数，
∴满足或，
解得的值为，1，，共4个，
二、填空题
11．关于的方程，其中常数项是 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程里不带有任何一个字母的项为常数项解答即可．
【解析】解：关于的方程，其中常数项是．
故答案为：．
【点睛】本题考查常数项的定义．掌握一元一次方程里不带有任何一个字母的项为常数项是解题关键．
12．方程的解是，则的值是 ．
【答案】2
【分析】将解代入方程计算即可．
【解析】解：将代入，得，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是根据一元一次方程的解，求方程中的参数，解题的关键是掌握方程解的定义．
13．某数的比它的2倍少5，设某数为，列方程为 ．
【答案】
【分析】根据文字表述得到的等量关系列方程即可．
【解析】根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，找的方法是通过题目中的关键词如：大，小，倍等．
14．方程（a﹣2）x|a|﹣1+3=0是关于x的一元一次方程，则a= ．
【答案】-2
【解析】解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+3=0是关于x的一元一次方程，
∴|a| 1=1，a 2≠0，
解得：a= 2.
故答案为 2.
15．已知甲乙丙三人的年龄之比为，三人年龄之和为72岁，那么乙的年龄为 岁．
【答案】24
【分析】设甲乙丙三人的年龄分别为岁，岁，岁，根据三人的年龄之和为72岁列出方程求解即可．
【解析】解：设甲乙丙三人的年龄分别为岁，岁，岁，
由题意得，，
解得，
∴，
∴乙的年龄为24岁，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
16．如果关于y的方程和有相同解，则a的值是 ．
【答案】
【分析】分别解两个方程，令其解相等，再解关于未知系数的方程即可．
【解析】解：，是同解方程，
可得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握 “方程和有相同解”即是一个等量关系，要善于利用等量关系列方程．
17．将长方形分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形的周长为 ．
【答案】58
【分析】题目主要考查列代数式，设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，则，设，根据题意确定，即可得出边长，然后求周长即可，找准图中各边的关系是解题关键．
【解析】解：设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，
则左下角正方形的边长为，右上角正方形边长为，
∴，
设，则，
∵两个阴影部分周长之和为68，
∴即，
∴，
解得：，
∴正方形①的边长为，正方形②的边长为，
∴，
∴长方形的周长为：，
故答案为：58．
18．已知，表示两个有理数，规定新运算“”为：，其中是有理数，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】把相应的值代入新定义的运算中，解方程，进行解答即可．
【解析】解：，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
三、解答题
19．解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【解析】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
20．解方程．
(1)解方程：．
(2)解方程：．
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：
，
，
；
（2），
；
（3）
．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．
21．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边同除以2，得．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母；等式的性质
(2)三，移项没有变号
(3)见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤先去括号，依据为等式的性质；
（2）根据移项要变号，即可得出结论；
（3）根据解一元一次方程的步骤解一元一次方程即可求解．
【解析】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质，
故答案为：去分母；等式的性质；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没有变号，
故答案为：三，移项没有变号；
（3）解方程：
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
方程两边同除以2，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
22．一个数的2倍减去，再加上等于，求这个数．
【答案】
【分析】设这个数为 ，根据一个数的2倍减去，再加上等于，列出方程，求解即可．
【解析】解：设这个数为
则
所以，这个数为．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据文字描述，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
23．若式子的值比的值大3，求的值．
【答案】
【分析】由的值比的值大3，可得方程，再解方程可得答案．
【解析】解：∵的值比的值大3，
∴，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
所以．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的方程是解本题的关键．
24．甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？
【答案】32km
【分析】设A、B两地路程是，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解析】解：设A、B两地路程是．
由题意得：，
解得：．
答：A、B两地路程是32．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解答的关键．
25．如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为4，求这个大长方形的面积．
【答案】572
【分析】如图，由中间最小的一个正方形的面积为4得到该正方形的边长为2，即，设，用含x的式子表示出图中各线段的长，根据列出方程，求解后即可得到大长方形的长与宽，从而得到大长方形的面积．
【解析】
中间最小的一个正方形的面积为4，则该正方形的边长为2，即，
设，则，
，
，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵大长方形的长，
宽，
∴面积为．
【点睛】本题考查用一元一次方程解决实际问题，分析图中各线段的数量关系，找到等量关系求出线段的长是解题的关键．
26．下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数．
(1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为_________；
(2)若被框住的4个数的和等于100，求出这4个数中最小的数是多少．
【答案】(1)
(2)16
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的应用：
（1）根据日历的特点表示出其他3个数，然后求和即可得到答案；
1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元．
(1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？
(2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表：
三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径
单价 1元 1.5元
现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．
(3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用．
【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元；
(2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支
(3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键．
（1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可；
() 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可；
() 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可．
【解析】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元，
由题意得：，
解得，
∴，
答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元；
（2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，
当选球珠直径三色圆珠笔购买时，
则，
解得，不合题意；
当选球珠直径三色圆珠笔购买时，
则，
解得，
∴，符合题意，
答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支；
（3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，
由题意得：
，
∵与无关，
∴，
解得：，
∴，
答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元．
()
