/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专项五：简易方程（考点清单+易错易混点+专练）
知识点一、用字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“ ”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法交换律：a×b＝b×a．
知识点二、整数方程求解
解方程的步骤
（1）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（2）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（3）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（4）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
知识点三、小数方程求解
一般把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
1. 字母间的乘号
易错易混点：学生可能会混淆何时可以省略乘号，以及何时必须保留。
解决方法：
强调只有字母之间的乘号可以省略或记作“·”，如 3a 或 a b。
数字与数字之间的乘号不能省略，如 3×4 不能写成34。
通过具体例子练习，如 3×a=3a，但 3×4=12。
2. a×a 和2a
易错易混点：学生容易混淆 2和 2a 的意义。
解决方法：
使用具体的数值来解释，例如当a=2 时，=2×2=4，而 2a=2×2=4。
强调 表示两个 a 相乘，而 2a 表示两个 a 相加。
提醒学生1a=a，这里的“1”通常不写出来。
3. 方程的定义
易错易混点：学生可能认为任何等式都是方程，忽略了必须含有未知数这一条件。
解决方法：
提供包含和不包含未知数的例子，x+5=7 是方程，而2+5=7 不是方程。
强调方程必须同时满足两个条件：必须是等式且必须有未知数。
4. 方程与等式的区别
易错易混点：学生可能混淆方程与等式的概念。
解决方法：
通过对比实例来强化理解，例如2+3=5 是等式但不是方程，因为它没有未知数；而 x+3=5 是方程，因为它既是一个等式又含有未知数。
5 方程的解
易错易混点：学生可能混淆方程的解（一个具体的数值）与解方程的过程。
解决方法：
明确区分两者，强调解方程是为了找到未知数的具体值，而这个寻找的过程就是解方程。
一、选择题
1．已知。（a、b、c都不为0），a、b、c三个数中最大的是（ ）。
A．a B．b C．c
2．当x＝5时，4x＋△＝63，△里应填（ ）。
A．3 B．43 C．83 D．23
3．刘奶奶养了18只白兔，白兔的只数比灰兔的2倍还多4只，灰兔有多少只？把灰兔的只数看作x，可列方程为（ ）。
A． B． C． D．
4．解方程时，等式两边要同时（ ）。
A．加上12 B．减去12 C．除以12
5．下面算式中与“M÷N”的商不相等的是（ ）。（M不等于N，N不等于0）
A．（M＋M）÷（N＋N） B．（M×6）÷（N×6）
C．（M÷2）÷（N÷2） D．（M－4）÷（N－4）
6．如图，学校买来足球和篮球共30个，用去2200元。学校买来篮球（ ）个。
A．20 B．18 C．15 D．10
二、填空题
7．如果3x＝6.3，那么x＝( )，3x－1.5＝( )，3（x－1.5）＝( )。
8．丁丁比妈妈小24岁，当丁丁n岁时，妈妈是( )岁。
9．王阿姨家今年4月份电费a元，5月份电费比4月份多50元。5月份电费是( )元，当时，王阿姨家5月份电费是( )元。
10．长方形的长与宽都扩大5倍，它的周长扩大( )倍，而面积增加( )倍．
11．小米带50元钱买笔，每支b元，买了3支。用式子表示剩下的钱数是( )元。如果，那么剩下的钱数是( )。
12．长方形的长是a，宽是b，长方形的面积公式是( )，长方形的周长公式是( )。
13．一堆水果有千克，卖出千克后，剩余的分装在3个箱子里，平均每个箱子装( )千克。
14．一件衣服降价为x元后是100元，原价是( )元；一辆汽车每小时行驶60千米，t小时行驶( )千米；小明家第一季度用水x吨，平均每月用水( )吨。
15．一本书，张华每天看a页，李红每天看b页，8（a+b）表示( )．
16．妈妈a岁，爸爸是（a﹣3）岁，再过b年，妈妈比爸爸大( )岁．
17．在括号里填上适当的数，使每个方程的解都是x=5．
x+( )=50 x-( )=1.2
( )×x=0.8 ( )÷x=2.4
三、判断题
18．根据可以得到。( )
19．24＋78＞78＋a，a一定比24大。( )
20．如果a2＜a，那么a只能为小于1的小数（a＞0）。( )
21．b的平方就是b×2.（ ）
22．是方程的解。( )
四、计算题
23．化简下列含有字母的式子．
5x＋4x＝ 38x－6x＝ 7x＋7x＋6x＝ a＋a＝21cnjy.com
7a×a＝ 15x＋6x＝ 5b＋4b－9b＝ a×a＝2·1·c·n·j·y
24．解方程。
x÷1.5＝4 2.9x＋x＝78 7（x－1.2）＝2.1
25．看图列方程并求出x的值。
五、解答题
26．有一堆黑、白棋子，黑棋子的颗数是白棋子的2倍，从这堆棋子中每次取出5颗黑棋子，4颗白棋子。取出多少次后白棋子取尽，而黑棋子还剩21颗？【出处：21教育名师】
27．宁夏的同心县是一个“干渴”的地区,年平均蒸发量是2325mm,比年平均降水量的8倍还多109mm，年平均降水量是多少mm 21教育名师原创作品
28．王阿姨买来3kg梨和2.5kg苹果，共用去18元，水果店老板告诉王阿姨每千克梨卖3.5元。你能告诉王阿姨，每千克苹果要多少元吗？
29．小明的邮票张数是小红的3倍，小红比小明邮票少24张，小明、小红各有多少张邮票？（列方程解）
30．丹江口水库蓄水量达290亿立方米，比北京密云水库蓄水量的26倍还多4亿立方米。北京密云水库蓄水量是多少亿立方米？（列方程解答）
31．广州与汕头相距约440km，甲车每小时行86km，乙车每小时行90km，两车分别从两地同时出发相向而行，经过几小时两车相遇？（要求写出等量关系）
32．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行。甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶65千米，相遇时乙车比甲车多行驶15千米，AB两地相距多少千米？
33．甲、乙两辆汽车同时从相距540千米的两地相向行驶，经过4.5小时两车相遇。已知甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶多少千米？【版权所有：21教育】
34．太阳系八大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用的时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周是多少天？（先画线段图整理条件和问题，再解答）21教育网
35．2022年北京冬奥会和冬残奥会的成功举办，向全世界展现了中国作为体育强国的竞技实力。中国在本届冬奥会中共有176名运动员参赛，比英国参赛人数的3倍还多26人。英国有多少名运动员参赛？（列方程解答）
参考答案：
1．C
【分析】本题可根据乘法运算的知识，结合式子中一个因数的大小的比较，来比较另一个因数的大小。
【详解】已知a×0.99＝b×1.1＝c×0.85（a、b、c都不为0），因为：0.85＜0.99＜1.1，所以：c＞a＞b。【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：C
【点睛】本题关键是理解当乘积相等时，一个因数越小，另一个因数越大。
2．B
【分析】将x＝5代入4x＋△＝63，根据等式的性质1，两边同时－4×5的积即可求出△的值。
【详解】4×5＋△＝63
解：20＋△＝63
20＋△－20＝63－20
△＝43
当x＝5时，4x＋△＝63，△里应填43。
故答案为：B
【点睛】关键是掌握解方程的方法，解方程根据等式的性质。
3．B
【分析】根据“白兔的只数比灰兔的2倍还多4只”这一条件可知：灰兔的只数×2＋4＝白兔的只数，再把已知的数据和未知数x代入这个数量关系式可得方程：2x＋4＝18。
【详解】A．表示白兔的只数比灰兔的2倍少4只，所以A选项错误。
B．表示白兔的只数比灰兔的2倍还多4只，所以B选项正确。
C．表示灰兔的2倍比灰兔的4倍多18只，没有意义，所以C选项错误。
D．表示白兔的只数比灰兔的4倍还多2只，所以D选项错误。
故答案为：B
【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用x表示，未知数参与列式，把算术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。21·世纪*教育网
4．A
【分析】方程左边有一个减去12，要去掉减法，需要用加法。据此解题。
【详解】解方程时，等式两边要同时加上12。
故答案为：A
【点睛】本题考查了解方程，掌握等式的性质1是解题关键。
5．D
【分析】被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变，据此即可解答。
【详解】A．（M＋M）÷（N＋N）＝（M×2）÷（N×2）＝ M÷N
B．（M×6）÷（N×6）＝ M÷N
C．（M÷2）÷（N÷2）＝M÷N
D．（M－4）÷（N－4）≠M÷N
故答案为：D
【点睛】本题主要考查学生对商的不变规律的掌握和灵活运用。
6．D
【分析】设买来x个足球，则买了篮球（30－x）个；足球每个80元，x个足球需要80x元；篮球每个60元，（30－x）个篮球需要60×（30－x）元，买足球的钱数＋买篮球的钱数＝2200元，列方程：80x＋60×（30－x）＝2200，解方程，即可解答。
【详解】解：设买足球x个，则买篮球（30－x）个。
80x＋60×（30－x）＝2200
80x＋60×30－60x＝2200
80x＋1800－60x＝2200
80x－60x＝2200－1800
20x＝400
x＝400÷20
x＝20
篮球：30－20＝10（个）
如图，学校买来足球和篮球共30个，用去2200元。学校买来篮球10个。
故答案为：D
【点睛】本题考查方程的实际应用，利用鸡头同笼的知识，设出未知数，找出相关的量。列方程，解方程。
7． 2.1 4.8 1.8
【分析】根据等式的性质，求出方程3x＝6.3的解；然后把x的值代入到3x－1.5和3（x－1.5）中进行计算即可。21·cn·jy·com
【详解】3x＝6.3
解：3x÷3＝6.3÷3
x＝2.1
当x＝2.1时
3x－1.5＝3×2.1－1.5
＝6.3－1.5
＝4.8
3（x－1.5）＝3×（2.1－1.5）
＝3×0.6
＝1.8
则如果3x＝6.3，那么x＝2.1，3x－1.5＝4.8，3（x－1.5）＝1.8。
【点睛】本题考查解方程及含有字母的式子的化简和求值，熟练运用等式的性质是解题的关键。
8．n＋24
【分析】根据题意可知，用丁丁的年龄加上丁丁比妈妈小的年龄，求出妈妈的年龄。
【详解】丁丁比妈妈小24岁，当丁丁n岁时，妈妈是n＋24岁。
【点睛】本题考查用字母代表数，字母可以表示任意的数，用字母将数量关系表示出来。
9． 230
【分析】根据题目中的数量关系：4月份的电费＋50＝5月份的电费，已知王阿姨家今年4月份电费a元，代入字母并表示出5月份的电费；当字母的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】5月份电费是（）元。
当a＝180时，
＝180＋50
＝230（元）
即王阿姨家5月份电费是230元。
【点睛】此题主要考查用字母表示数以及含有字母的式子的求值。
10．5、24
【详解】试题分析：设长方形的长和宽分别为a和b，依据长方形的周长和面积的计算公式，求出变化前后的周长和面积，问题即可得解．2-1-c-n-j-y
解：设长方形的长和宽分别为a和b，则扩大后的长和宽分别为5a和5b，
原来的周长为：（a+b）×2，
现在的周长：（5a+5b）×2，
周长扩大：（5a+5b）×2÷[（a+b）×2]=5倍；
原来的面积：ab，
现在的面积：5a×5b=25ab，
面积增加：（25ab﹣ab）÷ab=24倍，
故答案为5、24．
点评：此题主要考查长方形的周长和面积的计算方法的灵活应用．
11． 50－3b 29元
【分析】每支笔的价格知道，买的支数也知道，花的钱数可以表示为：每支笔的价格×笔的支数；则剩下的钱数可以表示为：原有钱数－每支笔的价格×笔的支数。注意得数带上单位。
【详解】每支笔b元，买了3支，则共花了3b元，又已知原有50元，则剩下的钱数就是（50－3b）元，如果b＝7，就是每支笔7元，则剩下的钱数就是50－3×7＝29（元）。
【点睛】本题属于用字母表示数，还有求代数式的值。把字母与数字建立起联系，用字母与数字表示数量关系式的一般形式，使我们对于数学领域的认识又进了一步。
12． S＝ab C＝2（a＋b）
【分析】根据长方形的面积公式为：长方形的面积＝长×宽， 长方形的周长公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2；代入字母表示即可解答。www-2-1-cnjy-com
【详解】长方形的面积＝长×宽，长方形的周长＝（长＋宽）×2，用S表示面积，用C表示周长，长方形的长是a，宽是b，长方形的面积公式是S＝ab，长方形的周长公式是C＝（a＋b）×2＝2（a＋b）。
13．
【分析】据题意，要求剩下的平均每箱装水果多少千克，就要用剩下水果的千克数÷箱数；剩下水果的千克数是（ － ）千克，箱数是3个，据此可列式解答。
【详解】由分析可知：
剩下水果的千克数是： － ＝（ －）千克
剩下的平均每箱装水果是：（ － ）÷3（千克）
【点睛】本题考查了用字母表示数，关键是明确：平均每箱装水果的质量＝剩下的千克数÷箱数。
14． 100＋x 60t x÷3
【分析】降价x元＋100等于原价；速度×时间＝路程，一季度有3个月，总数÷数量＝平均用水；
【详解】一件衣服降价为x元后是100元，原价是（100＋x）元；一辆汽车每小时行驶60千米，t小时行驶（60t）千米；小明家第一季度用水x吨，平均每月用水（x÷3）吨。
【点睛】本题考查用字母表示数，掌握数字与字母之间的乘号可以省略，加减号和除号不可省略。
15．两人8天一共看的页数
【详解】试题分析：因为张华每天看a页，李红每天看b页，a+b表示张华和李红每天一共看的页数，8（a+b）表示两人8天一共看的页数．
解：因为张华每天看a页，李红每天看b页，
所以a+b表示张华和李红每天一共看的页数，
8（a+b）表示两人8天一共看的页数；
故答案为两人8天一共看的页数．
点评：关键是根据题意弄清给出的式子里面的字母或数表示的意义，再确定整个式子表示的意义．
16．3
【详解】试题分析：根据题意可知，爸爸与妈妈的年龄差是3岁，因为二人的年龄差不会随着时间的变化而变化，所以b年后，妈妈比爸爸还是大3岁．
解：年龄差不随时间变化而改变，所以b年后，妈妈比爸爸还是大3岁．
故答案为3．
点评：此题考查了年龄问题中，年龄差不变的特点．
17． 45 3.8 0.16 12
【解析】略
18．×
【分析】根据等式的性质，方程左边加16，同样方程的右边也要加上16才能成立，据此判断。
【详解】根据分析可得：
解：
x＝48
原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】本题考查等式的性质1，等式左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
19．×
【分析】假设题目的说法成立，则a比24大。假设a＝32，则24＋78＝102，78＋32＝110，102＜110，则24＋78＜78＋a。据此解答即可。
【详解】根据分析可知，当a比24大时，24＋78＜78＋a。而题目中给出的条件是24＋78＞78＋a，所以a一定比24大，这种说法是错误的。www.21-cn-jy.com
故答案为：×。
【点睛】可通过举反例的方法解决类似题目。
20．√
【分析】a2＝a×a，一个数乘小于1的小数，积比这个数小，据此可判断本题正误。
【详解】a2＝a×a，a乘小于1的小数，其结果才能是小于a，即a2＜a，那么a只能为小于1的小数（a＞0）。
因此，本题正确。
【点睛】本题主要考查的是用字母表示数及小数乘法法则，解题的关键是熟练运用小数乘法中积与乘数的关系，进而得出答案。
21．错误
【详解】b的平方是b2
22．×
【分析】把代入到方程中，若方程的左边等于方程的右边，则就是该方程的解；若不是，则不是该方程的解。
【详解】把代入方程，得：
方程的左边＝
14方程右边
所以不是方程的解。
所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查方程的检验，明确检验的方法是解题的关键。
23．9x 32x 20x 2a
7a2 21x 0 a2
【解析】略
24．x＝6；x＝20；x＝1.5
【分析】x÷1.5＝4，根据等式的性质2，两边同时乘1.5，即可解答；
2.9x＋x＝78，先把方程左边化简成3.9x，再根据等式的性质2，两边同时除以3.9，即可解答；
7（x－1.2）＝2.1，先根据等式的性质2，两边同时除以7，再根据等式的性质1，两边同时加1.2，即可解答。21*cnjy*com
【详解】x÷1.5＝4
解：x÷1.5×1.5＝4×1.5
x＝6
2.9x＋x＝78
解：3.9x＝78
3.9 x÷3.9＝78÷3.9
x＝20
7（x－1.2）＝2.1
解：7（x－1.2）÷7＝2.1÷7
x－1.2＝0.3
x－1.2＋1.2＝0.3＋1.2
x＝1.5
25．x＋4x＝575；x＝115
【分析】由图可知，冰箱有x台，电脑有4x台，冰箱和电脑一共有575台，据此列出方程解答即可。
【详解】x＋4x＝575
解：5x＝575
5x÷5＝575÷5
x＝115
冰箱有115台。
26．7次
【分析】等量关系式：每次取出白棋子的个数×取尽白棋子用的次数×2＝每次取出黑棋子的个数×取尽白棋子用的次数＋21颗，据此列方程解答。
【详解】解：设取出x次后白棋子取尽，而黑棋子还剩21颗。
4x×2＝5x＋21
8x＝5x＋21
8x－5x＝21
3x＝21
x＝21÷3
x＝7
答：取出7次后白棋子取尽，而黑棋子还剩21颗。
【点睛】分析题意找出黑棋子和白棋子的数量关系是解答题目的关键。
27．277mm
【详解】根据题意，年平均降水量×8+109=年平均蒸发量．
解：设年平均降水量是x mm． 把x=277代入方程
8x+109=2325 方程左边=8x+109
8x+109-109=2325-109 =8×277+109
8x=2216 =2216+109
8x÷8=2216÷8 =2325
x=277 =方程右边
所有，x=277是方程的解
答：年平均降水量是277mm．
28．3元
【分析】把苹果的单价设为未知数，根据“总价＝单价×数量”表示出梨的总价和苹果的总价，等量关系式：梨的总价＋苹果的总价＝一共用去的钱数。
【详解】解：设每千克苹果x元。
3×3.5＋2.5x＝18
10.5＋2.5x＝18
2.5x＝18－10.5
2.5x＝7.5
x＝7.5÷2.5
x＝3
答：每千克苹果3元。
【点睛】分析题意找出等量关系式是解答题目的关键。
29．小明36张，小红12张
【详解】解：设小红有x张邮票。
小明：（张）
答：小明有36张邮票，小红有12张邮票。
30．11亿立方米
【分析】假设北京密云水库蓄水量为x亿立方米，根据数量关系：北京密云水库蓄水量×26＋4＝丹江口水库蓄水量，已知丹江口水库蓄水量达290亿立方米，代入数据和未知数，列出方程，求解即可。
【详解】解：设北京密云水库蓄水量为x亿立方米。
x×26＋4＝290
26x＝290－4
26x＝286
x＝286÷26
x＝11
答：北京密云水库蓄水量是11亿立方米。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把北京密云水库蓄水量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
31．2.5小时；速度和×相遇时间＝路程
【分析】首先把甲车的速度和乙车的速度相加，求出两车的速度之和是多少；然后根据速度和×相遇时间＝路程，据此列方程，解方程即可。21*cnjy*com
【详解】解：设经过x小时两车相遇。
（86＋90）x＝440
176x＝440
x＝2.5
答：经过2.5小时两车相遇。
【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两车的速度之和是多少。
32．375千米
【分析】用乙车速度减去甲车速度，求出每小时乙车比甲车多行驶多少千米，从而利用除法求出多少小时后乙车比甲车多行驶15千米，即几小时后两车相遇。用两车的速度和乘相遇时间，求出两地的距离。
【详解】15÷（65－60）
＝15÷5
＝3（小时）
（65＋60）×3
＝125×3
＝375（千米）
答：AB两地相距375千米。
【点睛】本题考查了相遇问题，路程差÷速度差＝相遇时间，速度和×相遇时间＝两地距离。
33．55千米
【分析】甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，根据相遇时间×两车速度和＝路程，用两地间的路程540千米除以相遇时间4.5小时，即可求出甲、乙两辆汽车的速度之和，再减去甲车的速度，即可求出乙车每小时行多少千米。版权所有
【详解】540÷4.5＝120（千米/时）
120－65＝55（千米/时）
答：乙车每小时行驶55千米。
【点睛】此题主要考查相遇问题，熟练利用时间、速度、路程三者之间的关系求解。
34．图见详解；88天
【分析】水星绕太阳一周所用的时间为一倍量，设水星绕太阳一周x天，地球绕太阳一周可表示为（4x＋13）天，根据地球绕太阳一周是365天，列出方程求解即可。
【详解】
解：设水星绕太阳一周是x天。
4x＋13＝365
4x＋13－13＝365－13
4x＝352
x＝88
答：水星绕太阳一周是88天。
【点睛】本题重点考查列方程解决问题，一般情况下设题目中一倍量为x，找准题中等量关系列方程即可。
35．50名
【分析】根据题意可知，英国参赛人数×3＋26人＝中国参赛人数，据此设英国有x名运动员参赛，列方程为3x＋26＝176，然后解出方程即可。
【详解】解：设英国有x名运动员参赛。
3x＋26＝176
3x＋26－26＝176－26
3x＝150
3x÷3＝150÷3
x＝50
答：英国有50名运动员参赛。
【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
考点清单
易错易混点
专项练习
HYPERLINK "()
" 21世教育网(www.1cnjy.com)
