江西省南昌市东湖区南昌市心远中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2024八上·东湖期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，4
2．（2024八上·东湖期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·东湖期中）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·东湖期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C．∠CAB＝∠DAB D．
5．（2024八上·东湖期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（ ）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD=BD
C．AD=2CD D．2S△ABD=3S△ACD
6．（2024八上·东湖期中）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）
A．30 B．45 C．60 D．75
7．（2024八上·东湖期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝ ．
8．（2024八上·东湖期中）计算： ．
9．（2024八上·东湖期中）若 ，则代数式 的值是 ．
10．（2024八上·东湖期中）如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝ ．
11．（2024八上·东湖期中）如图，在中，点D在边上，连接AD，且，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则周长的最小值为 ．
12．（2024八上·东湖期中）如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝ ．
13．（2024八上·东湖期中）分解因式：
（1）
（2）
14．（2024八上·东湖期中）先化简，再求值：，其中．
15．（2024八上·东湖期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，其中点A与点D对应，点B与点E对称；
（2）连接CD，CE，则△CDE的面积为______．
16．（2024八上·东湖期中）请你仅用无刻度的直尺作图．
（1）已知：四边形是等腰梯形，作出它的对称轴；
（2）如图，，，，于点、，请作出边上中线．
17．（2024八上·东湖期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．
18．（2024八上·东湖期中）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是．
（1）继续观察，请你直接写出代数式、、之间的数量关系；
（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
19．（2024八上·东湖期中）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
20．（2024八上·东湖期中）已知：如图所示，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，为等边三角形？
（2）当t为何值时，为直角三角形？
21．（2024八上·东湖期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
（2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
（3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分，
求证：．
22．（2024八上·东湖期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，∴
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；
（3）已知，，求的值．
23．（2024八上·东湖期中）如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S△AOP＝12，求P的坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形任意两边之和大于第三边得：
A、∵1+2＜5，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵2+2=4，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵3+2=5，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵3+2＞4，
∴能组成三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，∴此选项不符合题意；
C、图案是中心对称图形，不是轴对称图形，∴此选项符合题意；
D、图案是轴对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义"如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴"依次判断即可求解．
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵（x+2）(x-3)= ，
∴ ，
∴m=-1,
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则"多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加."将等式左边的多项式去括号，再根据恒等式的意义可求解.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、在△ABC和△ABD中，
∴（SAS），
∴说法错误，不符合题意；
B、∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴(HL)，
∴说法错误，不符合题意；
C、∵，，，无法证明，
∴说法正确，符合题意；
D、在△ABC和△ABD中，
，
∴（SSS），
∴说法错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据全等三角形的判定“有两边及夹角对应相等的两个三角形全等”可判断求解；
B、根据直角三角形全等的判定“斜边和直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”可判断求解；
C、两边及其中一边的对角对应相等不能判断两个三角形全等；
D、根据全等三角形的判定“三边对应相等的两个三角形全等”可判断求解.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线，
∴原结论正确，此选项不符合题意；
B、∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD
∴原结论正确，此选项不符合题意；
C、在Rt△ACD中，∠C＝90°，∠CAD=30°
∴CD=AD，
∴AD=2CD，
∴原结论正确，此选项不符合题意；
D、由C得：AD=BD=2CD
∴S△ABD=2S△ACD.
∴原结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线；
B、由A的结论并结合直角三角形的两锐角互余可得∠BAD=∠CAD=∠B =30°，然后由等角对等边可求解；
C、由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD；
D、由C的结论可得AD=BD=2CD，再根据三角形的内角和定理可求解．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，
∴∠PAB=∠CBE，
由图知：BC=PC==，
∵，
∴BC2+PC2==5+5=10，PB2==10，
∴，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC=45°.
故答案为：B．
【分析】根据网格图的特征，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，由全等三角形的对应角相等可得∠PAB=∠CBE，根据网格图的特征并结合勾股定理和勾股定理的逆定理易证△BCP是等腰直角三角形，得到∠PBC=45°，然后由角的构成∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC可求解．
7．【答案】80°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，
由三角形内角和定理可得：
∴∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x＝180，
解得：x＝20，
∴∠C＝4x°＝80°，
故答案为80°．
【分析】根据∠A：∠B：∠C＝2：3：4，可设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，再根据三角形的内角和定理可列关于x的方程，解方程求出x的值，把x的值代入∠C＝4x°计算即可求解.
8．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
9．【答案】10
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ =4+6=10，
故答案是：10
【分析】由 ，得 ，进而即可求解．
10．【答案】-7
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点P（-3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，
∴a=-3，-1-b=2-（-1），
解得：b=-4，
∴Q（-2，-4），
∴a+b=-3-4=-7．
故答案为：-7．
【分析】根据轴对称的性质可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可求解．
11．【答案】18
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AM，
∵EF是AC的垂直平分线，M在EF上运动，
∴AM=MC，
∴△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，
∴要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，
∴此时△CDM的周长=13+5=18，
∴△CDM的周长最小值为18，
故答案为：18．
【分析】根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AM=MC，则△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，根据两点之间线段最短可知：当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小；此时AM+DM=AD，把AD=13代入计算即可求解．
12．【答案】30或60或150
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，分三种情况：
①如图，当EB=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=90°，
由旋转的性质得：AE=AD=AB=BC=EB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=150°，
即α=150；
②如图，当EB=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=90°，
由旋转的性质得：AE=AD=AB=BC=EB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAE=30°，
即α=30；
③如图，当EB=EC时，连接DE，
∴E在线段BC的垂直平分线上，
∴ED=AE，
由旋转的性质得AE=AD=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
即α=60，
当CE=BC=AD时，此种情况不存在，
综上可得，α的值为：30或60或150．
故答案为：30或60或150．
【分析】由题意，分三种情况：①如图，当EB=BC时，②如图，当EB=BC时，③如图，当EB=EC时，连接DE，根据正方形、等边三角形和等腰三角形的性质，以及旋转的性质即可求解.
13．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由题意，先提公因式，括号内的多项式用平方差公式计算即可求解；
（2）由题意，先提取公因式，括号内的多项式用完全平方公式计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
14．【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则去括号，然后根据合并同类项法则将多项式化简，再将代入化简后的代数式计算即可求解．
15．【答案】（1）解：如图，
∴△DEF即为所求；
（2）10．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【解答】
（2）解：由图可得：
△CDE的面积为：
即：.
故答案为：10.
【分析】（1）根据轴对称的性质求出变化后的对应点的坐标，然后顺次连接即可求解；
（2）根据三角形面积的构成并结合网格图的特征计算即可求解.
（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）图中连接了CD、CE
△CDE的面积为
即
故答案为10
16．【答案】（1）解：如图，直线PO为所求；
理由如下：
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点O在的垂直平分线上，
同理可证点P在的垂直平分线上，
∴是等腰梯形的对称轴．
（2）解：如图，连接BN、CM，且BN、CM相交于点Q，连接AQ并延长AQ与BC相交于点D，则
AD为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；等腰梯形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）连接，且AC、BD相交于点O，延长，且BA、CD相交于P点，则直线PO为所求；
（2）利用等腰三角形的性质得到M点为的中点，N为的中点，连接、，它们相交于Q，则Q点为三角形的重心，延长交于D，则为边上的中线．
（1）解：如图，直线为所作；
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点O在的垂直平分线上，
同理可证点P在的垂直平分线上，
∴是等腰梯形的对称轴．
（2）如图，为所作．
17．【答案】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴．
∵DE是腰AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（2）由（1）得：AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．
答：△BDC的周长是14．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABC的度数，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD=BD，然后由等腰三角形的性质“等边对等角”和角的构成∠DBC=∠ABC-∠ABD可求解；
（2）由垂直平分线的性质可得AD＝DE，所以BD+DC＝AC，然后根据△BDC的周长计算即可求解．
18．【答案】（1）解：由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：
（a-b）2=（a+b）2-4ab.
（2）解：∵x+y=-4，xy=3，
∴由（1）中的关系式可得：
（x-y）2=（x+y）2-4xy=（-4）2-4×3=4
∴x-y=±2，
即x-y的值是±2．
答：x﹣y的值是±2.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由图形面积间关系可得：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（2）由（1）题关系式可得，（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后整体代入计算即可求解．
（1）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：（a-b）2=（a+b）2-4ab，
（2）由（1）题关系式可得，
（x-y）2=（x+y）2-4xy=（-4）2-4×3=4
∴x-y=±2，
即x-y的值是±2．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴，
∴，
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，同理可得，由全等三角形的对应角相等可得∠COD=∠COE，然后根据角平分线的定义即可求证；
（2）由（1）可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的构成OA=OD+AD计算即可求解．
20．【答案】（1）解：当时，为等边三角形；
由题意可知，
∴，
当为等边三角形时，
∴，
∴，
解得：，
即当时，为等边三角形；
（2）解：当t为或时，为直角三角形；
①当时，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得：；
②当时，
同理可得：，
即，
解得：，
综上可得：当t为或时，为直角三角形．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意，将AP、BQ、BP用含t的代数式表示出来，根据等边三角形的性质得：，然后可列关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由题意可分两种情况：①当时，，则，②当时，，则，解方程分别求出t的值即可．
（1）解：由题意可知，则，
当为等边三角形时，
则有，即，
解得，
即当时，为等边三角形；
（2）解：当时，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得；
当时，
同理可得，
即，
解得，
综上可知当t为或时，为直角三角形．
21．【答案】（1）③
（2）解：，理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在△DEA和△DFC中，
，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
（1）解：∵平分，，，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知.
故答案为：③；
【分析】（1）根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可求解；
（2）DA=DC，理由如下：如图2中，作交延长线于点E，于点F，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF，由题意用角角边可证△DEA≌△DFC，再根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形即可求解．
（1）解：∵平分，，，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知，
故答案为：③；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：，
，
，
，，
∴，x=y=-3，
，
答：的值是．
（2）解：，
，
，
，，
，，
，，
，
的最大边的值可能是、、、、．
答：的最大边的值可能是、、、、.
（3）解：，，
∴b=a-8，
∴a(a-8)+c2-16c+16+64=0，
，
，
，，
，，，
.
答：的值是.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，根据偶次方的非负性可得关于x、y的方程，解方程求出x、y的值，将求出的x、y的值代入所求代数式计算即可求解；
（2）根据完全平方公式因式分解，根据偶次方的非负性可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，根据三角形的三边关系"两边之差＜第三边＜两边之和"即可求解；
（3）根据已知的等式可得，根据偶次方的非负性可得关于a、c的方程，解方程求出a、c的值，同时可求得b的值，然后将的值代入所求代数式计算即可求解．
23．【答案】解：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．
∵A(6，0)，B(0，6)，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．
∵ OA PH=12，
∴PH=4，
当y=4时，4=﹣x+6，
∴x=2，
∴P（2，4）．
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．
证明如下：如图2中，连接OP．
∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，
∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，
∴∠OPA=90°．
∵AM=ON，OP=OP，
∴△PON≌△PAM，
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（3）结论：OD=AE．理由如下：
如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G．
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP．
∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，
∴△PAE≌△PAG，
∴AE=AG，
∴OD=AE．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）作PH⊥OA于H，再结合 S△AOP＝12， 可得 OA PH=12，求出PH的长，再将y=4代入解析式求出x的值，可得点P的坐标；
（2）连接OP，先证出△PON≌△PAM，可得PN=PM，∠OPN=∠APM，再求出∠NPM=∠OPA=90°，可得PM⊥PN，PM=PN；
（3）作AG⊥x轴交OP的延长线于G，先证出△DBO≌△GOA，可得OD=AG，∠BDO=∠G，再证出△PAE≌△PAG，可得AE=AG，最后利用等量代换可得OD=AE．
江西省南昌市东湖区南昌市心远中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2024八上·东湖期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，4
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形任意两边之和大于第三边得：
A、∵1+2＜5，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵2+2=4，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵3+2=5，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵3+2＞4，
∴能组成三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
2．（2024八上·东湖期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，∴此选项不符合题意；
C、图案是中心对称图形，不是轴对称图形，∴此选项符合题意；
D、图案是轴对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义"如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴"依次判断即可求解．
3．（2024八上·东湖期中）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵（x+2）(x-3)= ，
∴ ，
∴m=-1,
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则"多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加."将等式左边的多项式去括号，再根据恒等式的意义可求解.
4．（2024八上·东湖期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C．∠CAB＝∠DAB D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、在△ABC和△ABD中，
∴（SAS），
∴说法错误，不符合题意；
B、∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴(HL)，
∴说法错误，不符合题意；
C、∵，，，无法证明，
∴说法正确，符合题意；
D、在△ABC和△ABD中，
，
∴（SSS），
∴说法错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据全等三角形的判定“有两边及夹角对应相等的两个三角形全等”可判断求解；
B、根据直角三角形全等的判定“斜边和直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”可判断求解；
C、两边及其中一边的对角对应相等不能判断两个三角形全等；
D、根据全等三角形的判定“三边对应相等的两个三角形全等”可判断求解.
5．（2024八上·东湖期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（ ）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD=BD
C．AD=2CD D．2S△ABD=3S△ACD
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线，
∴原结论正确，此选项不符合题意；
B、∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD
∴原结论正确，此选项不符合题意；
C、在Rt△ACD中，∠C＝90°，∠CAD=30°
∴CD=AD，
∴AD=2CD，
∴原结论正确，此选项不符合题意；
D、由C得：AD=BD=2CD
∴S△ABD=2S△ACD.
∴原结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线；
B、由A的结论并结合直角三角形的两锐角互余可得∠BAD=∠CAD=∠B =30°，然后由等角对等边可求解；
C、由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD；
D、由C的结论可得AD=BD=2CD，再根据三角形的内角和定理可求解．
6．（2024八上·东湖期中）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）
A．30 B．45 C．60 D．75
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，
∴∠PAB=∠CBE，
由图知：BC=PC==，
∵，
∴BC2+PC2==5+5=10，PB2==10，
∴，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC=45°.
故答案为：B．
【分析】根据网格图的特征，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，由全等三角形的对应角相等可得∠PAB=∠CBE，根据网格图的特征并结合勾股定理和勾股定理的逆定理易证△BCP是等腰直角三角形，得到∠PBC=45°，然后由角的构成∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC可求解．
7．（2024八上·东湖期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝ ．
【答案】80°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，
由三角形内角和定理可得：
∴∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x＝180，
解得：x＝20，
∴∠C＝4x°＝80°，
故答案为80°．
【分析】根据∠A：∠B：∠C＝2：3：4，可设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，再根据三角形的内角和定理可列关于x的方程，解方程求出x的值，把x的值代入∠C＝4x°计算即可求解.
8．（2024八上·东湖期中）计算： ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
9．（2024八上·东湖期中）若 ，则代数式 的值是 ．
【答案】10
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ =4+6=10，
故答案是：10
【分析】由 ，得 ，进而即可求解．
10．（2024八上·东湖期中）如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝ ．
【答案】-7
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点P（-3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，
∴a=-3，-1-b=2-（-1），
解得：b=-4，
∴Q（-2，-4），
∴a+b=-3-4=-7．
故答案为：-7．
【分析】根据轴对称的性质可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可求解．
11．（2024八上·东湖期中）如图，在中，点D在边上，连接AD，且，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则周长的最小值为 ．
【答案】18
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AM，
∵EF是AC的垂直平分线，M在EF上运动，
∴AM=MC，
∴△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，
∴要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，
∴此时△CDM的周长=13+5=18，
∴△CDM的周长最小值为18，
故答案为：18．
【分析】根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AM=MC，则△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，根据两点之间线段最短可知：当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小；此时AM+DM=AD，把AD=13代入计算即可求解．
12．（2024八上·东湖期中）如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝ ．
【答案】30或60或150
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，分三种情况：
①如图，当EB=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=90°，
由旋转的性质得：AE=AD=AB=BC=EB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=150°，
即α=150；
②如图，当EB=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=90°，
由旋转的性质得：AE=AD=AB=BC=EB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAE=30°，
即α=30；
③如图，当EB=EC时，连接DE，
∴E在线段BC的垂直平分线上，
∴ED=AE，
由旋转的性质得AE=AD=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
即α=60，
当CE=BC=AD时，此种情况不存在，
综上可得，α的值为：30或60或150．
故答案为：30或60或150．
【分析】由题意，分三种情况：①如图，当EB=BC时，②如图，当EB=BC时，③如图，当EB=EC时，连接DE，根据正方形、等边三角形和等腰三角形的性质，以及旋转的性质即可求解.
13．（2024八上·东湖期中）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由题意，先提公因式，括号内的多项式用平方差公式计算即可求解；
（2）由题意，先提取公因式，括号内的多项式用完全平方公式计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
14．（2024八上·东湖期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则去括号，然后根据合并同类项法则将多项式化简，再将代入化简后的代数式计算即可求解．
15．（2024八上·东湖期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，其中点A与点D对应，点B与点E对称；
（2）连接CD，CE，则△CDE的面积为______．
【答案】（1）解：如图，
∴△DEF即为所求；
（2）10．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【解答】
（2）解：由图可得：
△CDE的面积为：
即：.
故答案为：10.
【分析】（1）根据轴对称的性质求出变化后的对应点的坐标，然后顺次连接即可求解；
（2）根据三角形面积的构成并结合网格图的特征计算即可求解.
（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）图中连接了CD、CE
△CDE的面积为
即
故答案为10
16．（2024八上·东湖期中）请你仅用无刻度的直尺作图．
（1）已知：四边形是等腰梯形，作出它的对称轴；
（2）如图，，，，于点、，请作出边上中线．
【答案】（1）解：如图，直线PO为所求；
理由如下：
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点O在的垂直平分线上，
同理可证点P在的垂直平分线上，
∴是等腰梯形的对称轴．
（2）解：如图，连接BN、CM，且BN、CM相交于点Q，连接AQ并延长AQ与BC相交于点D，则
AD为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；等腰梯形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）连接，且AC、BD相交于点O，延长，且BA、CD相交于P点，则直线PO为所求；
（2）利用等腰三角形的性质得到M点为的中点，N为的中点，连接、，它们相交于Q，则Q点为三角形的重心，延长交于D，则为边上的中线．
（1）解：如图，直线为所作；
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点O在的垂直平分线上，
同理可证点P在的垂直平分线上，
∴是等腰梯形的对称轴．
（2）如图，为所作．
17．（2024八上·东湖期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．
【答案】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴．
∵DE是腰AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（2）由（1）得：AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．
答：△BDC的周长是14．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABC的度数，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD=BD，然后由等腰三角形的性质“等边对等角”和角的构成∠DBC=∠ABC-∠ABD可求解；
（2）由垂直平分线的性质可得AD＝DE，所以BD+DC＝AC，然后根据△BDC的周长计算即可求解．
18．（2024八上·东湖期中）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是．
（1）继续观察，请你直接写出代数式、、之间的数量关系；
（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
【答案】（1）解：由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：
（a-b）2=（a+b）2-4ab.
（2）解：∵x+y=-4，xy=3，
∴由（1）中的关系式可得：
（x-y）2=（x+y）2-4xy=（-4）2-4×3=4
∴x-y=±2，
即x-y的值是±2．
答：x﹣y的值是±2.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由图形面积间关系可得：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（2）由（1）题关系式可得，（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后整体代入计算即可求解．
（1）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：（a-b）2=（a+b）2-4ab，
（2）由（1）题关系式可得，
（x-y）2=（x+y）2-4xy=（-4）2-4×3=4
∴x-y=±2，
即x-y的值是±2．
19．（2024八上·东湖期中）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴，
∴，
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，同理可得，由全等三角形的对应角相等可得∠COD=∠COE，然后根据角平分线的定义即可求证；
（2）由（1）可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的构成OA=OD+AD计算即可求解．
20．（2024八上·东湖期中）已知：如图所示，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，为等边三角形？
（2）当t为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）解：当时，为等边三角形；
由题意可知，
∴，
当为等边三角形时，
∴，
∴，
解得：，
即当时，为等边三角形；
（2）解：当t为或时，为直角三角形；
①当时，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得：；
②当时，
同理可得：，
即，
解得：，
综上可得：当t为或时，为直角三角形．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意，将AP、BQ、BP用含t的代数式表示出来，根据等边三角形的性质得：，然后可列关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由题意可分两种情况：①当时，，则，②当时，，则，解方程分别求出t的值即可．
（1）解：由题意可知，则，
当为等边三角形时，
则有，即，
解得，
即当时，为等边三角形；
（2）解：当时，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得；
当时，
同理可得，
即，
解得，
综上可知当t为或时，为直角三角形．
21．（2024八上·东湖期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
（2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
（3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分，
求证：．
【答案】（1）③
（2）解：，理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在△DEA和△DFC中，
，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
（1）解：∵平分，，，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知.
故答案为：③；
【分析】（1）根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可求解；
（2）DA=DC，理由如下：如图2中，作交延长线于点E，于点F，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF，由题意用角角边可证△DEA≌△DFC，再根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形即可求解．
（1）解：∵平分，，，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知，
故答案为：③；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2024八上·东湖期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，∴
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
，，
∴，x=y=-3，
，
答：的值是．
（2）解：，
，
，
，，
，，
，，
，
的最大边的值可能是、、、、．
答：的最大边的值可能是、、、、.
（3）解：，，
∴b=a-8，
∴a(a-8)+c2-16c+16+64=0，
，
，
，，
，，，
.
答：的值是.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，根据偶次方的非负性可得关于x、y的方程，解方程求出x、y的值，将求出的x、y的值代入所求代数式计算即可求解；
（2）根据完全平方公式因式分解，根据偶次方的非负性可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，根据三角形的三边关系"两边之差＜第三边＜两边之和"即可求解；
（3）根据已知的等式可得，根据偶次方的非负性可得关于a、c的方程，解方程求出a、c的值，同时可求得b的值，然后将的值代入所求代数式计算即可求解．
23．（2024八上·东湖期中）如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S△AOP＝12，求P的坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
【答案】解：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．
∵A(6，0)，B(0，6)，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．
∵ OA PH=12，
∴PH=4，
当y=4时，4=﹣x+6，
∴x=2，
∴P（2，4）．
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．
证明如下：如图2中，连接OP．
∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，
∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，
∴∠OPA=90°．
∵AM=ON，OP=OP，
∴△PON≌△PAM，
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（3）结论：OD=AE．理由如下：
如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G．
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP．
∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，
∴△PAE≌△PAG，
∴AE=AG，
∴OD=AE．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）作PH⊥OA于H，再结合 S△AOP＝12， 可得 OA PH=12，求出PH的长，再将y=4代入解析式求出x的值，可得点P的坐标；
（2）连接OP，先证出△PON≌△PAM，可得PN=PM，∠OPN=∠APM，再求出∠NPM=∠OPA=90°，可得PM⊥PN，PM=PN；
（3）作AG⊥x轴交OP的延长线于G，先证出△DBO≌△GOA，可得OD=AG，∠BDO=∠G，再证出△PAE≌△PAG，可得AE=AG，最后利用等量代换可得OD=AE．
