2024年12月份第1周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
2．椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
3．已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则( )
A.函数的最大值为1
B.函数的最小值为1
C.函数的最大值为1
D.函数的最小值为1
5．已知函数,则下列结论不正确的是( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于点对称
C.若是偶函数,则,
D.在区间上的值域为
6．中国载人航天技术发展日新月异.目前,世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”,从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来,中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图,可视为类似火箭整流罩的一个容器,其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体,已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为( )
A. B. C. D.
7．已知抛物线，的焦点分别为、，若P、Q分别为、上的点，且线段平行于x轴，则下列结论错误的是( )
A.当时，是直角三角形
B.当时，是等腰三角形
C.存在四边形是菱形
D.存在四边形是矩形
8．设集合,,若,则( )
A.2 B.1 C. D.
9．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
10．已知且，函数，若存在，使，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
11．已知函数和直线,那么“直线l与曲线相切”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12．已知,,则的值为( )
A. B. C.6 D.8
13．在直角坐标系中,绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于A点、顺时针旋转角交单位圆于B点,若A点的纵坐标为,且的面积为,则B点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
14．从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是( )
A.16 B.30 C.32 D.51
二、多项选择题
15．已知函数的定义域为，其导函数为，，，且，则( )
A. B.为奇函数
C.（）是函数的周期 D.
16．对于复数z，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.
C.一定是纯虚数 D.若，，则
17．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数例如:.已知函数则下列说法中正确的是( )
A.是奇函数 B.在R上是增函数
C.是偶函数 D.的值域是
18．已知圆，直线，则下列结论正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C.圆C与曲线恰有三条公切线，则
D.当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点
19．已知等比数列的前n项和为，公比，，则( )
A.一定是递增数列
B.可能是递增数列也可能是递减数列
C.、、仍成等比
D.，
20．下列说法错误的是( )
A.函数的值域为R,则,或
B.若,则函数的最小值为2
C.是的充分不必要条件
D.当时,不等式恒成立,则k的取值范围是
三、填空题
21．已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大35,则展开式中x的系数为________（用数字作答）．
22．在三棱锥中,且.记直线,与平面所成角分别为,,已知,当三棱锥的体积最小时,的长为________.
23．设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值____________．
24．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；
②一定是锐角；
③；
④三棱锥的体积为定值.
其中真命题有____________.（填序号）
25．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件A，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件B，则________.
四、解答题
26．已知向量，，函数.
（1）若，求；
（2）当时，求函数的值域.
（3）若将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，可得到的图象，求的解集.
27．如图,在四面体中,为等边三角形,为以D为直角顶点的直角三角形,.E,F,G,H分别是线段,,,上的动点,且四边形为平行四边形.
（1）求证:平面;
（2）设多面体的体积为,多面体的体积为,若,求的值.
28．设.
(1)求在处的切线方程;
(2)证明：时,;
(3)设t为整数,且对于任意正整数n都有,求t的最小值.
29．已知双曲线过点,一条渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若点P为双曲线右支上一点,,求的最小值;
(3)过点的直线与双曲线的右支交于,两点,求证：为定值.
30．2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X.
（1）已知，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
（2）若一条信息有n（，）种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；
（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y（），证明：当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
参考答案
1．答案：D
解析：由，，成等比数列可得，
即，解得，
所以可得，
故选：D.
2．答案：C
解析：设点Q的坐标为,因为F关于直线的对称点Q,
所以,即,解得,
所以点Q坐标是,
因为点Q在椭圆上,所以,得,
又,即,所以
所以该椭圆的离心率是.
故选：C.
3．答案：D
解析：对于A，由知，存在过m的平面与平面相交，当n为交线时，满足，而，A错误；
对于B，当与相交时，令交线为，若，则满足，B错误；
对于C，，在平面内存在直线垂直于n，m为此直线时，满足，而，C错误；
对于D，因为，则存在过m的平面与平面相交，令交线为b，有，又，
因此，而，
所以
故选：D
4．答案：C
解析：AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，
实线部分为，
故恒成立，
故在R上单调递增，则A，B显然错误，
对于C，D，，
由图像可知，恒成立，故单调递增，
当，，单调递减，
所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.
故选：C
5．答案：D
解析：由题意,
在中,
,
A项,,,A正确;
B项,令,得,
当时,,
所以的图象关于点对称,故B正确;
C项,是偶函数,
,,
解得：,,故C正确;
D项,当时,,
所以,
所以在区间上的值域为,故D错误.
故选：D.
6．答案：A
解析：由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱,上半部分为圆台,
取轴截面,如图所示,,,分别为,,的中点,
可知：,且,,,,
可得,即,
所以该容器中液体的体积为.
故选：A.
7．答案：C
解析：依题意，线段平行于x轴，不妨设在第一象限，
设，
则，焦点，
A选项，当时，解得，
所以，
则，是直角三角形，A选项正确.
B选项，当时，解得，
所以，
由于，
所以关于直线对称，而，
所以此时是等腰三角形.
对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形，
则，
则，
此时，，
所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.
故选：C
8．答案：A
解析：因为,所以,所以有:若,解得,此时,,符合题意;若,解得,此时,,不符合题意.综上所述,.故选A.
9．答案：A
解析：由已知为上的偶函数，且在上单调递增，
则函数在上单调递减，
所以不等式，
即，解得，
故选：A.
10．答案：A
解析：当时单调递增，也单调递增，
要使存在，使，只需，即，不等式无解；
当时单调递减，也单调递减，
要使存在，使，只需，
，所以，解得，
即a的取值范围是.
故选：A
11．答案：B
解析：设函数和直线的切点坐标为,
则,可得,,
所以时,直线l与曲线相切;
直线l与曲线相切不能推出.
因此“直线l与曲线相切”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
12．答案：A
解析：,,
所以,所以
,
故选:A
13．答案：B
解析：由A点的纵坐标为,得,,显然,
而,即,又,
因此,,有,显然B点在第四象限,所以B点的纵坐标为.
14．答案：C
解析：把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，
因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.
故选：.
15．答案：AC
解析：因为，，，
对于选项A：令，可得，即，
显然，所以，故A正确；
对于选项B：因为数的定义域为，关于原点对称，
令，可得，
即，可得，且不为常函数，不恒为0，
所以为偶函数，故B错误；
对于选项C：令，可得，
即，可知为的一个周期，
所以（）是函数的周期，故C正确；
对于D：因为（）是函数的周期，
则，，所以，故D错误；
故选：AC.
16．答案：BD
解析：对于选项A：例如，则，故A错误；
对于选项C：例如，则，，故C错误；
设，则，
对于选项B：因为，
所以，故B正确；
对于选项D：若，
可得，
且，即，
可得，即，故D正确；
故选：BD
17．答案：ABD
解析：由
得，
由定义域为R得是奇函数，故A正确.
，
因为在R上是增函数，且，
所以在R上是减函数，故在R上是增函数，B正确.
由于，故，
∴，∴，
当时，，
当时，，
∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确.
故选：ABD.
18．答案：CD
解析：由直线:，，整理得:，故，解得，即经过定点，故A错误;
当时，直线l为，
圆心到直线的距离
故圆C上有四个点到直线l的距离都等于1，故B错误;
圆，其半径，
圆，
当时，，整理得
，其半径
圆心距为，
故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确;
当时，直线l的方程为，
设点，圆的圆心，半径为，
以线段为直径的圆M的方程为:，
即，
又圆C的方程为，
两圆的公共弦的方程为
整理得，即，解得，
即直线经过点，故D正确.
故选：CD.
19．答案：BCD
解析：对于A，当，时，为递减数列，故A错误；
对B，当，时，为递减数列，当，时，为递增数列，故B正确；
对C，等比数列，则、、仍成等比，故C正确；
对D，等比数列中，，则必不为0，故D正确.
故选：BCD.
20．答案：BD
解析：对选项A:函数的值域为R,则,
解得或,正确;
对选项B:,
当且仅当,即时等号成立,等号成立条件不满足,错误;
对选项C:,即,
函数单调递增,故,即;
取,满足,,,不成立,正确;
对选项D:当时,不等式恒成立,错误;
21．答案：560
解析：二项式展开式的通项为,
则第三项的二项式系数为,第二项的系数为,
依题意可得,即,解得或（舍去）,
所以展开式的通项为,令,解得,
所以,所以展开式中x的系数为560.
故答案为：560.
22．答案：2
解析：设点P在平面内的投影为,如下图所示:
由直线,与平面所成角分别为,,且,则,
可得,于是,
以为x轴,线段的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,如下图所示:
令,由,,可得,,,
则,化简可得,
因此点在以为圆心,为半径的圆上,
当最小时,最小,即三棱锥的体积最小,
此时,,而,
易知,所以.
故答案为:2
23．答案：9
解析：由题意,动直线过定点,
直线可化为,
令,可得,
又,所以两动直线互相垂直,且交点为P,
所以,
因为,
所以,当且仅当时取等号．
24．答案：①③④
解析：对于①，由正方体的性质可得平面，又平面，所以平面平面，即①正确；对于②，当P是的中点时，易得，，，满足，此时是直角，所以②错误；对于③，连接，，如图所示，
由正方体可知，且平面，平面，所以.又，，平面，所以平面.又平面，所以，即③正确；对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，平面，所以点P到平面的距离是定值，所以三棱锥的体积为定值，即④正确.故答案为①③④
25．答案：
解析：记“一号列车准点到站”为事件M，“二号列车准点到站”为事件N，则，，
，故，
则，则，
故，
而，即，故，
则.
26．答案：（1）；
（2）；
（3），
解析：（1）因为，，，则，
显然，所以，
则；
（2），，
当时，，，
所以函数的值域为；
（3）由（2）知，
结合题意，得，
，即，
即，所以，，
即的解集为，.
27．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为四边形为平行四边形,
所以,而平面,平面,
故平面,由平面平面,
所以,而平面,平面,
故平面;
（2）由（1）知,而,故,
同理可证,由可得,,,
故,
设A点到平面的距离为d,
则;
又,,故,
设C点到平面的距离为h,则F点到平面的距离为,
故
,
故,
则,
故.
28．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)3
解析：(1)已知,则,
则,
又,
所以切线方程为,
即;
(2),,
,
令,解得,
可知当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以;
(3)由(2)可知当时：,
即：,
令可得,
从而,
即,
当,,
所以,
即t的最小值为3.
29．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意知双曲线过点,一条渐近线方程为,
则,解得,
故双曲线C的标准方程为;
(2)点P为双曲线右支上一点,设,,,
则
,
当,即时,最小值为,
当,即时,最小值为;
(3)当过点的直线斜率不存在时,方程为,
此时不妨取,,则;
当当过点的直线斜率存在时,设直线方程为,,,
不妨令,,
联立,得,
由于直线过双曲线的右焦点,必有,
直线与双曲线C的右支交于M,N两点,需满足或,
则,,
则
,
综合以上可知为定值.
30．答案：（1）；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i个”，，“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”，
则，，
，，，
则.
（2）由题知，
由（1）知，
同理可得，
则，
故X的信息熵.
（3）由题知，其中，
则，
又，
则，①
，②
①－②得：
由题知，当n无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于.
所以当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数.
