习题课 数列求和(一)
［学习目标］ 1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.2.掌握分组求和、倒序相加求和、并项求和等数列求和的方法.
一、分组求和
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，点(Sn，)在直线y=3x+1上.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn=log4，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
反思感悟 分组求和的适用题型
(1)若an=bn±cn，且数列{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{an}的前n项和.
(2)通项公式为an=的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
跟踪训练1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1=b1=2，a3=b1+b2，S3=b3+4.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=(k∈N+)，求数列{cn}的前21项的和.(答案可保留指数幂的形式)
二、倒序相加求和
例2 已知数列{an}的通项公式为an=n-2(n∈N+)，设f(x)=x+log2，则数列{f(an)}的各项之和为( )
A.36 B.33
C.30 D.27
反思感悟 倒序相加求和适合的题型
一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和.
跟踪训练2 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律得出，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an=，则a1+a2+…+a98等于( )
A.96 B.97
C.98 D.99
三、拆项、并项求和
例3 已知an=(-1)n(2n-1)，求Sn.
反思感悟 并项求和适用的题型
一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式进行求和.
跟踪训练3 若an=(-1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn.
1.知识清单：
(1)分组求和.
(2)倒序相加求和.
(3)拆项、并项求和.
2.方法归纳：公式法、转化法.
3.常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶性.
1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1=1，公比q=2，则数列{b2n-1}的前10项的和为( )
A.×(49-1) B.×(410-1)
C.×(49-1) D.×(410-1)
2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1=1，a2=2，且满足an+2-an=1+(n∈N+)，则该医院30天入院治疗流感的共有( )
A.225人 B.255人
C.365人 D.465人
3.设Sn为数列{an}的前n项和，an=1+2+22+…+2n-1，则Sn的值为( )
A.2n-1 B.2n-1-1
C.2n-n-1 D.2n+1-n-2
4.已知f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f+f+…+f= .
答案精析
例1 解 (1)因为点(Sn，)在直线y=3x+1上，
所以=3Sn+1，
当n≥2时，an=3+1.
于是-an=3(Sn-) -an=3an =4an.
又当n=1时，a2=3S1+1 a2=3a1+1=3t+1，
所以当t=1时，a2=4a1，此时，
数列{an}是等比数列.
(2)由(1)，可得an=，=4n，
所以bn=log4=n，
cn=+n，
那么Tn=c1+c2+…+cn
=(40+1)+(41+2)+…+(+n)
=(40+41+…+)+(1+2+…+n)
=+.
跟踪训练1 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意，
得
解得d=q=2，
所以数列{an}的通项公式为an=2n，
数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)由(1)知，a2k-1=4k-2，
数列{a2k-1}是等差数列，
首项为2，公差为4，
b2k=22k=4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4，
又cn=(k∈N+)，
则数列{cn}的前21项的和
T21=(a1+a3+…+a21)+(b2+b4+…+b20)
=11×2+×4+
=，
所以数列{cn}的前21项的和为
.
例2 D
跟踪训练2 C
例3 解 因为an=(-1)n(2n-1)，
故当n=2k(k∈N+)时，
S2k=(-1+3)+(-5+7)+…+
［-(4k-3)+(4k-1)］
==2k，
此时Sn=n(n为偶数)；
当n=2k-1(k∈N+)时，
S2k-1=S2k-a2k
=2k-(4k-1)=-2k+1
=-(2k-1)，
此时Sn=-n(n为奇数).
综上，可知Sn=(-1)n·n.
跟踪训练3
Sn=n∈N+
随堂演练
1.D 2.B 3.D 4.2 024(共62张PPT)
第五章
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习题课 数列求和(一)
1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.
2.掌握分组求和、倒序相加求和、并项求和等数列求和的方法.
学习目标
一、分组求和
二、倒序相加求和
课时对点练
三、拆项、并项求和
随堂演练
内容索引
分组求和
一
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，点(Sn，)在直线y=3x+1上.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
例 1
因为点(Sn，)在直线y=3x+1上，
所以=3Sn+1，
当n≥2时，an=3+1.
于是-an=3(Sn-) -an=3an =4an.
又当n=1时，a2=3S1+1 a2=3a1+1=3t+1，
所以当t=1时，a2=4a1，此时，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，设bn=log4，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
由(1)，可得an==4n，
所以bn=log4=n，cn=+n，
那么Tn=c1+c2+…+cn
=(40+1)+(41+2)+…+(+n)
=(40+41+…+)+(1+2+…+n)
=+.
(1)若an=bn±cn，且数列{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{an}的前n项和.
(2)通项公式为an=的数列，其中数列{bn}，
{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
反
思
感
悟
分组求和的适用题型
设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1=b1=2，a3=b1+b2，S3=b3+4.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
跟踪训练 1
设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意，
得
解得d=q=2，
所以数列{an}的通项公式为an=2n，
数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)记cn=(k∈N+)，求数列{cn}的前21项的和.(答案可保留指数幂的形式)
由(1)知，a2k-1=4k-2，数列{a2k-1}是等差数列，首项为2，公差为4，
b2k=22k=4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4，
又cn=(k∈N+)，
则数列{cn}的前21项的和
T21=(a1+a3+…+a21)+(b2+b4+…+b20)
=11×2+×4+=，
所以数列{cn}的前21项的和为.
二
倒序相加求和
已知数列{an}的通项公式为an=n-2(n∈N+)，设f(x)=x+log2，则数列{f(an)}的各项之和为
A.36 B.33
C.30 D.27
例 2
√
由f(x)=x+log2>0，
解得-2
所以f(x)+f(6-x)=6.
设数列{f(an)}的各项之和为S，则S=f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=f(-1)+f(0)+… +f(7).因为S=f(7)+f(6)+…+f(-1)，所以2S=[f(-1)+f(7)]+[f(0)+f(6)]+…+ [f(7)+f(-1)]=6×9=54.所以S=27.
一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和.
反
思
感
悟
倒序相加求和适合的题型
德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律得出，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an=，则a1+a2+…+a98等于
A.96 B.97
C.98 D.99
跟踪训练 2
√
令S=a1+a2+…+a97+a98
=++…++，
则S=a98+a97+…+a2+a1
=++…++，
两式相加得，
2S=+
=++…++=98×2，
所以S=98.
三
拆项、并项求和
已知an=(-1)n(2n-1)，求Sn.
例 3
因为an=(-1)n(2n-1)，
故当n=2k(k∈N+)时，
S2k=(-1+3)+(-5+7)+…+[-(4k-3)+(4k-1)]==2k，此时Sn=n(n为偶数)；
当n=2k-1(k∈N+)时，S2k-1=S2k-a2k=2k-(4k-1)=-2k+1=-(2k-1)，
此时Sn=-n(n为奇数).
综上，可知Sn=(-1)n·n.
一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式进行求和.
反
思
感
悟
并项求和适用的题型
若an=(-1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn.
跟踪训练 3
若n是偶数，Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(n-1)2+n2]
=3+7+11+…+2n-1，共有项，
故Sn=×3+×4=+；
若n是奇数，Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+(-n2)
=3+7+11+…+(-n2)，其中前项是等差数列，故有Sn=×3+ ×4-n2=--，
综上所述，Sn=n∈N+.
1.知识清单：
(1)分组求和.
(2)倒序相加求和.
(3)拆项、并项求和.
2.方法归纳：公式法、转化法.
3.常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶性.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1=1，公比q=2，则数列{b2n-1}的前10项的和为
A.×(49-1) B.×(410-1)
C.×(49-1) D.×(410-1)
√
数列{b2n-1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则其前10项的和为=.
1
2
3
4
2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1=1，a2=2，且满足an+2-an=1+(n∈N+)，则该医院30天入院治疗流感的共有
A.225人 B.255人
C.365人 D.465人
√
1
2
3
4
当n为奇数时，an+2=an，
当n为偶数时，an+2-an=2，
所以a1=a3=…=a29=1，
a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=15+15×2+×2=255.
3.设Sn为数列{an}的前n项和，an=1+2+22+…+2n-1，则Sn的值为
A.2n-1 B.2n-1-1
C.2n-n-1 D.2n+1-n-2
1
2
3
4
∵an=1+2+22+…+2n-1=
=2n-1，∴Sn=++…+=-n=2n+1-n-2.
√
1
2
3
4
4.已知f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f+f+…+f= .
2 024
f(x)+f(1-x)=+==2，
令S=f+f+…+f，
则S=f+f+…+f，
两式相加得，2S=2 024×2，∴S=2 024.
课时对点练
五
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2
3
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基础巩固
1.若数列{an}的通项公式是an=，则a1+a2+…+a10等于
A.15 B.12
C.-12 D.-15
√
因为an=，所以a1+a2=-2+5=3，a3+a4=-8+11=3，a5+a6=-14+17=3，a7+a8=-20+23=3，a9+a10=-26+29=3，因此a1+a2+… +a10=3×5=15.
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2.已知数列{an}中，a1=1，an+an+1=3，Sn为其前n项和，则S2 024等于
A.3 033 B.3 034
C.3 035 D.3 036
由题意a2=2，a3=1，a4=2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 024= (a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 021+a2 022)+(a2 023+a2 024)=3×1 012=3 036.
√
3.数列1，3，5，7…的前n项和Sn为
A.n2+1- B.n2+2-
C.n2+1- D.n2+2-
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√
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3
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13
14
15
16
数列1，3，5，7…的通项公式为an=2n-1+，
所以Sn=++++…+
=+
=+=n2+1-.
1
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16
4.已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，Sn为其前n项和，则S5的值为
A.63 B.61
C.62 D.57
√
由数列的递推关系可得，an+1+1=2，a1+1=2 ，
据此可得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则an+1=2×2n-1 an=2n-1 ，
分组求和有S5=-5=57.
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5.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 023=0，若f(x)=，则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)等于
A.2 021 B.4 036
C.2 023 D.4 038
√
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∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 023=0，
∴lg(a1·a2 023)=0，即a1·a2 023=1.
∵函数f=，
∴f(x)+f=+==2.
令T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)，
则T=f(a2 023)+f(a2 022)+…+f(a1)，
∴2T=f(a1)+f(a2 023)+f(a2)+f(a2 022)+…+f(a2 023)+f(a1)=2×2 023，
∴T=2 023.
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6.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an+1=2an+3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是
A.a3=13
B.数列是等比数列
C.an=4n-3
D.Sn=2n+1-n-2
√
√
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an+1=2an+3，∴an+1+3=2，∴数列是公比为2的等比数列，
又∵a1=1，
∴an+3=2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-3，
∴a3=13，
∴Sn=-3n=2n+2-3n-4.
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7.若f(x)+f(1-x)=2，an=f(0)+f+f+…+f+f(1)(n∈N+)，则数列{an}的通项公式是 .
an=n+1
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an=f+f+f+…+f+f，
an=f+f+…+f+f+f，两式相加可得
2an=++…++，
因为f(x)+f(1-x)=2，所以2an=2，
所以an=n+1.
8.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则+++…+= .
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1 033
∵数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an=2+×1 =n+1，
∵是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴bn=1×2n-1=2n-1，∴=2n-1+1，
∴+++…+=+10=1 033.
1
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9.已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
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设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
所以an=或an=-2+3=3n-5.
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(2)设bn=an+2n，求数列的前n项和Sn.
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当an=时，bn=+2n，
此时Sn=b1+b2+…+bn=n+=2n+1+n-2；
当an=3n-5时，bn=+2n，
此时Sn=b1+b2+…+bn=·n+=2n+1+n2-n-2.
综上，
Sn=
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10.已知函数f(x)=.
(1)求证：对任意实数x都有f(x)+f(1-x)=1；
f(1-x)===，
∴f(x)+f(1-x)=+==1.
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(2)若an=f，其中m∈N+，n=1，2，…，m.求数列{an}的前m项的和.
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设{an}的前m项的和为Sm，则
Sm=a1+a2+…+am=f+f+…+f+f(1)， ①
又Sm=am+am-1+…+a1=f(1)+f+…+f+f， ②
①+②，得2Sm=f(1)+++…+
+f(1)=m-1+2f(1)=m-1+2×=m+，
∴Sm=+，
∴数列{an}的前m项的和为+.
1
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11.已知{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn-1=n，则S2 023的值为
A.1 008 B.1 009
C.1 011 D.1 012
√
综合运用
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2
3
4
5
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15
16
由题意，当n≥2时，可得Sn-1=Sn-an，
因为an+2Sn-1=n，所以an+2(Sn-an)=n，即2Sn=an+n，
当n≥3时，2Sn-1=an-1+n-1，
两式相减，可得2an=an-an-1+1，即an+an-1=1，
所以a2+a3=1，a4+a5=1，a6+a7=1，…，
所以S2 023=a1+++…+=1+×1= 1 012.
12.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n，记数列{2an-n}的前n项和为Sn，则Sn等于
A.2n-- B.2n---1
C.2n+1---2 D.2n---2
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因为a1+a2+a3+…+an=n， ①
所以有a1=1，
当n≥2，n∈N+时，有a1+a2+a3+…+·an-1=n-1， ②
①-②得，an=1 an=2n-1，显然当n=1时，也适合，
所以an=2n-1(n∈N+)，令 2an-n=bn，所以bn=2n-n，因此有
Sn=(2-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n)
=(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1-2--.
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13.已知F(x)=f-3是R上的奇函数，an=f(0)+f+…+f+f(1)，n∈N+，则数列{an}的通项公式为
A.an=n+1 B.an=3n+1
C.an=3n+3 D.an=n2-2n+3
√
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由题意知F=f-3是R上的奇函数，
故F=-F，
代入得f+f=6，
∴函数f对称，
令t=-x，则+x=1-t，得到f+f=6，
∵an=f+f+…+f+f，
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an=f+f+…+f+f，
倒序相加可得2an=6，
即an=3.
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14.已知数列{an}：，，，，，，，，，，，，…的前n项和为Sn，则S120= .
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将此数列分组，第一组：=，共21-1项；第二组：++==，共22-1项的和；第三组：++++++===，共23-1项的和；…第n组：++++++…+==，共2n-1项的和，
由+++…+=2×-n=120，解得n=6，
因此前120项之和正好等于前6组之和，即S120=++…+ ===60.
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拓广探究
15.在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)，则a1+a2+…+a51= .
676
当n为偶数时，an+2-an=2，an=2+×2=n；
当n为奇数时，an+2-an=0，an=1；
所以a1+a2+…+a51=26×1+(2+4+6+…+50)=26×1+×25×(2+50)=676.
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16.已知数列{an}的通项公式为an=求数列{an}的前n项和Sn.
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①当n为大于或等于3的奇数时，
Sn=[1+13+…+(6n-5)]+(42+44+…+4n-1)
=·+
=+
=+.
当n=1时，S1=a1=1，上式同样成立.
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②当n为偶数时，
Sn=[1+13+…+(6n-11)]+(42+44+…+4n-2+4n)=+.
综上，Sn=作业16 数列求和(一)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.若数列{an}的通项公式是an=，则a1+a2+…+a10等于( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
2.已知数列{an}中，a1=1，an+an+1=3，Sn为其前n项和，则S2 024等于( )
A.3 033 B.3 034
C.3 035 D.3 036
3.数列1，3，5，7…的前n项和Sn为( )
A.n2+1- B.n2+2-
C.n2+1- D.n2+2-
4.已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，Sn为其前n项和，则S5的值为( )
A.63 B.61
C.62 D.57
5.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 023=0，若f(x)=，则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)等于( )
A.2 021 B.4 036
C.2 023 D.4 038
6.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an+1=2an+3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是( )
A.a3=13
B.数列是等比数列
C.an=4n-3
D.Sn=2n+1-n-2
7.若f(x)+f(1-x)=2，an=f(0)+f+f+…+f+f(1)(n∈N+)，则数列{an}的通项公式是 .
8.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则+++…+= .
9.(10分)已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；(4分)
(2)设bn=an+2n，求数列的前n项和Sn.(6分)
10.(12分)已知函数f(x)=.
(1)求证：对任意实数x都有f(x)+f(1-x)=1；(5分)
(2)若an=f，其中m∈N+，n=1，2，…，m.求数列{an}的前m项的和.(7分)
11.已知{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn-1=n，则S2 023的值为( )
A.1 008 B.1 009
C.1 011 D.1 012
12.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n，记数列{2an-n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A.2n-- B.2n---1
C.2n+1---2 D.2n---2
13.已知F(x)=f-3是R上的奇函数，an=f(0)+f+…+f+f(1)，n∈N+，则数列{an}的通项公式为( )
A.an=n+1 B.an=3n+1
C.an=3n+3 D.an=n2-2n+3
14.已知数列{an}：，，，，，，，，，，，，…的前n项和为Sn，则S120= .
15.在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)，则a1+a2+…+a51= .
16.已知数列{an}的通项公式为an=求数列{an}的前n项和Sn.
答案精析
1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.AB 7.an=n+1 8.1 033
9.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得或
所以an=或an=-2+3
=3n-5.
(2)当an=时，bn=+2n，
此时Sn=b1+b2+…+bn
=n+=2n+1+n-2；
当an=3n-5时，bn=+2n，
此时Sn=b1+b2+…+bn
=·n+
=2n+1+n2-n-2.
综上，Sn=
10.(1)证明 f(1-x)=
==，
∴f(x)+f(1-x)=+==1.
(2)解 设{an}的前m项的和为Sm，则Sm=a1+a2+…+am
=f+f+…
+f+f(1)， ①
又Sm=am+am-1+…+a1=f(1)+f+…+f+f， ②
①+②，得2Sm=
f(1)+
++…
+
+f(1)=m-1+2f(1)
=m-1+2×=m+，
∴Sm=+，
∴数列{an}的前m项的和为
+.
11.D 12.C 13.C
14.60
解析 将此数列分组，第一组：=，共21-1项；第二组：++==，共22-1项的和；第三组：++++++===，共23-1项的和；…第n组：++++++…+==，共2n-1项的和，
由+++…+=2×-n=120，解得n=6，
因此前120项之和正好等于前6组之和，
即S120=++…+=
==60.
15.676
解析 当n为偶数时，an+2-an=2，an=2+×2=n；
当n为奇数时，an+2-an=0，an=1；
所以a1+a2+…+a51
=26×1+(2+4+6+…+50)
=26×1+×25×(2+50)=676.
16.解 ①当n为大于或等于3的奇数时，
Sn=［1+13+…+(6n-5)］+
(42+44+…+4n-1)
=·+
=+
=+.
当n=1时，S1=a1=1，
上式同样成立.
②当n为偶数时，
Sn=［1+13+…+(6n-11)］+
(42+44+…+4n-2+4n)
=+.
综上，Sn=
