5.3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
［学习目标］ 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.3.掌握等比数列前n项和的函数特征.
一、等比数列前n项和公式的推导
问题1 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
知识梳理
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则Sn= . ①
因为an=a1qn-1，所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可改写为Sn= . ②
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1=27，a9=，q<0.
反思感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q=1是否成立.
跟踪训练1 在等比数列{an}中，
(1)a1=2，q=-，求S10；
(2)q=，S100=150，求a2+a4+a6+…+a100的值.
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
例2 在等比数列{an}中.
(1)S2=30，S3=155，求Sn；
(2)a1+a3=10，a4+a6=，求S5；
(3)a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求公比q.
跟踪训练2 在等比数列{an}中.
(1)若a1=，an=16，Sn=11，求n和q；
(2)已知S4=1，S8=17，求an.
三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列
问题2 你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？
知识梳理
1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式Sn= .即Sn是n的指数型函数.
2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn= ，Sn是n的正比例函数.
例3 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
延伸探究
1.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k= .
2.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则实数a= .
反思感悟 (1)已知Sn，通过an=
求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的推导.
(2)等比数列前n项和公式的基本运算.
(3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列.
2.方法归纳：公式法、错位相减法.
3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.
1.在数列{an}中，已知an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的前5项的和等于( )
A.-25 B.25
C.-31 D.31
2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=p·3n-2，则p等于( )
A.-3 B.3
C.-2 D.2
4.已知在等比数列{an}中，a3=，S3=，则a1= .
答案精析
问题1 思路一：因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an，
所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn，
即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：==…==q，
根据等比数列的性质，有
==q，
=q (1-q)Sn=a1-anq，
所以当q≠1时，Sn=，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用
an=a1qn-1相互转化.
思路三：Sn=a1+a2+a3+…+an
=a1+q(a1+a2+…+an-1)，
所以有Sn=a1+qSn-1 Sn
=a1+q(Sn-an) (1-q)Sn
=a1-anq，
所以当q≠1时，
Sn=或Sn=，
显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，就能使问题得到解决.
知识梳理
例1 解 (1)因为a1=，q=，
所以S8==.
(2)由a1=27，a9=，
可得=27q8.又q<0，
所以q=-，
所以S8==
==.
跟踪训练1 解 (1)S10=
=
=×=×
=.
(2)方法一 S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100
=+a2+a4+…
+a100
=3(a2+a4+…+a100)=150，
∴a2+a4+a6+…+a100=50.
方法二 S100=
=150，
整理得a1=75，
又a2+a4+…+a100=
=a1=×75=50.
例2 解 (1)由题意知
解得或
从而Sn=×5n+1-或
Sn=.
(2)方法一 由题意知
解得
从而S5==.
方法二 由(a1+a3)q3=a4+a6，
得q3=，从而q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10，
所以a1=8，
从而S5==.
(3)因为a2an-1=a1an=128，
所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根.
从而或
又Sn==126，
所以q=2或.
跟踪训练2 解 (1)由Sn=
得，11=，
∴q=-2，
又由an=a1qn-1得，
16=(-2)n-1，∴n=5.
(2)若q=1，则S8=2S4，
不符合题意，∴q≠1，
∴S4==1，
S8==17，
两式相除得=17=1+q4，
∴q=±2.
当q=2时，a1=；
当q=-2时，a1=-，
∴an=·2n-1或
an=-·(-2)n-1.
问题2 Sn==-qn+，设A=-，
则Sn=Aqn-A.
知识梳理
1.A(qn-1)
2.na1
例3 解 当n≥2时，an=Sn-=(3n-2)-(-2)=2·.
当n=1时，
a1=S1=31-2=1不适合上式.
∴an=
方法一 由于a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，
即{an}不是等比数列.
方法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，
对比可知Sn=3n-2，2≠1，
故{an}不是等比数列.
延伸探究
1. 2.-
随堂演练
1.D 2.C 3.D 4.或6(共75张PPT)
第五章
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等比数列的前n项和
第1课时
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
3.掌握等比数列前n项和的函数特征.
学习目标
国际象棋起源于印度，据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到，就欣然同意了.
问题：每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1，2，22，23，…，263，你能计算这64项的和吗？通过这节课的学习，你就能知道答案.
导 语
一、等比数列前n项和公式的推导
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
课时对点练
三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列
随堂演练
内容索引
一
等比数列前n项和公式的推导
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
问题1
提示 思路一：因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an，
所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn，
即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：==…==q，
根据等比数列的性质，有==q，
=q (1-q)Sn=a1-anq，
所以当q≠1时，Sn=，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化.
思路三：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)，
所以有Sn=a1+qSn-1 Sn=a1+q(Sn-an) (1-q)Sn=a1-anq，
所以当q≠1时，Sn=或Sn=，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，就能使问题得到解决.
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，
则Sn= . ①
因为an=a1qn-1，所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可改写为
Sn=. ②
(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论.
(2)①中的n表示的是所求数列的项数(例如1+2+22 +…+2n=).
(3)②中的an在求和时，表示数列的最后一项(例如1+2+22 +…+2n=).
注 意 点
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求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
例 1
因为a1=，q=，
所以S8==.
(2)a1=27，a9=，q<0.
由a1=27，a9==27q8.
又q<0，所以q=-，
所以S8====.
求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q=1是否成立.
反
思
感
悟
在等比数列{an}中，
(1)a1=2，q=-，求S10；
跟踪训练 1
S10==
=×=×=.
(2)q=，S100=150，求a2+a4+a6+…+a100的值.
方法一 S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100
=+a2+a4+…+a100
=3(a2+a4+…+a100)=150，
∴a2+a4+a6+…+a100=50.
方法二 S100==150，
整理得a1=75，
又a2+a4+…+a100=
=a1=×75=50.
二
等比数列中与前n项和有关的基本运算
在等比数列{an}中.
(1)S2=30，S3=155，求Sn；
例 2
由题意知
解得
从而Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)a1+a3=10，a4+a6=，求S5；
方法一 由题意知
解得从而S5==.
方法二 由(a1+a3)q3=a4+a6，
得q3=，从而q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8，
从而S5==.
(3)a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求公比q.
因为a2an-1=a1an=128，
所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根.
从而
又Sn==126，所以q=2或.
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体.
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
反
思
感
悟
等比数列前n项和运算的技巧
在等比数列{an}中.
(1)若a1=，an=16，Sn=11，求n和q；
跟踪训练 2
由Sn=得，11=，
∴q=-2，
又由an=a1qn-1得，16=(-2)n-1，∴n=5.
(2)已知S4=1，S8=17，求an.
若q=1，则S8=2S4，不符合题意，∴q≠1，
∴S4==1，S8==17，
两式相除得=17=1+q4，∴q=±2.
当q=2时，a1=；
当q=-2时，a1=-，
∴an=·2n-1或an=-·(-2)n-1.
三
利用等比数列前n项和公式判断等比数列
你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？
问题2
提示 Sn==-qn+，设A=-，则Sn=Aqn-A.
1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式Sn= .即Sn是n的指数型函数.
2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn= ，Sn是n的正比例函数.
A(qn-1)
na1
等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.
注 意 点
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数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
例 3
当n≥2时，an=Sn-=(3n-2)-(-2)=2·.
当n=1时，a1=S1=31-2=1不适合上式.
∴an=
方法一 由于a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.
方法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比可知Sn=3n-2，2≠1，故{an}不是等比数列.
1.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为
Sn=3n+1-2k，则实数k= .
延伸探究
∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}为等比数列，∴3-2k=0，即k=.
2.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则
实数a= .
由Sn=a·+5，可得Sn=3a·+5，依题意有3a+5=0，故a=-.
(1)已知Sn，通过an=
求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的推导.
(2)等比数列前n项和公式的基本运算.
(3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列.
2.方法归纳：公式法、错位相减法.
3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.在数列{an}中，已知an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的前5项的和等于
A.-25 B.25
C.-31 D.31
√
因为an+1=2an，且a1=1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列{an}的前5项的和为=31.
1
2
3
4
2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
A. B.
C. D.
√
当x=1时，Sn=n；
当x≠1且x≠0时，Sn=.
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=p·3n-2，则p等于
A.-3 B.3
C.-2 D.2
1
2
3
4
√
依题意q≠1，所以等比数列{an}的前n项和为Sn==-·qn+，
所以p+(-2)=0，解得p=2.
1
2
3
4
4.已知在等比数列{an}中，a3=，S3=，则a1= .
1
2
3
4
方法一 当q=1时，a1=a2=a3=，
满足S3=.
当q≠1时，依题意，得
解得
综上可得a1=或a1=6.
1
2
3
4
方法二 依题意，得
所以a1+a2=3，所以==2，
解得q=1或q=-.
所以a1=或a1=6.
课时对点练
五
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2
3
4
5
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7
8
9
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15
16
基础巩固
1.在等比数列{an}中，a1=2，a2=1，则S100等于
A.4-2100 B.4+2100
C.4-2-98 D.4-2-100
√
q==.
S100===4(1-2-100)=4-2-98.
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2.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于
A. B.
C. D.
√
Sn==.
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为
A. B.-
C. D.-
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√
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16
方法一 ∵Sn=x·3n-1-=·3n-，
由Sn=A(qn-1)，得=，
∴x=，故选C.
方法二 当n=1时，a1=S1=x-；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2x·3n-2，
∵{an}是等比数列，
∴n=1时也应适合an=2x·3n-2，
即2x·3-1=x-，解得x=.
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16
4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a，则a3a5等于
A.4 B.8
C.16 D.32
√
等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1+a-(2n-2+a)，
化简得an=2n-2.
则a3a5=2×23=16.
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16
5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和等于
A.或5 B.或5
C. D.
√
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5
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15
16
设数列{an}的公比为q，显然q≠1，
由已知得=，
解得q=2，
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，
∴前5项和为=.
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16
6.(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，Sn=a·bn+c，a，b，c∈R，则
A.ac<0
B.b是数列{an}的公比
C.数列{Sn}可能为等比数列
D.数列{an}不可能为常数列
√
√
√
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设等比数列{an}的公比为q，若q=1，则Sn=na1，此时Sn是关于n的一次函数，数列{an}为常数列，而Sn=a·bn+c不是关于n的一次函数，所以q≠1，数列{an}不可能为常数列，故D正确；
因为q≠1，所以Sn==-·qn+，又Sn=a·bn+c，所以
故B正确；
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16
ac=-·=-<0，故A正确；
因为c=≠0，a，b也均不为0，所以=不可能为常数，即数列{Sn}不可能为等比数列，故C错误.
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16
7.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2=，a5+a6=12，则
S4= .
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16
设等比数列{an}的公比为q，
方法一 由题意得
∴S4==.
方法二 当q=1时，S2=2a1=，
∴a1=与a5+a6=12矛盾，不符合题意；
1
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16
当q≠1时，S2==，
即a1(1+q)=， ①
又a5+a6=12，即a1q4+a1q5=12， ②
由①②可得
∴S4==.
8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=93，an=48，公比q=2，则项数n= ，a1= .
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2
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4
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16
由Sn=93，an=48，公比q=2，
得
5
3
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2
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4
5
6
7
8
9
10
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9.已知数列{an}是等比数列.
(1)若a1=3，q=2，n=6，求Sn；
S6===189.
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(2)若a1=-2.7，q=-，an=，求Sn；
Sn===-.
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(3)若a1=-1，a4=64，求q与S4.
由q3===-64，
得q=-4.
∴S4===51.
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10.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.
(1)求数列{an}的公比q；
依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，
由于a1≠0，故2q2+q=0.
又q≠0，从而q=-.
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(2)若a1-a3=3，求Sn.
由已知可得a1-a1=3，
故a1=4.
从而Sn==.
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11.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1=1，且对任意的n∈N+都有+an+1=2an，则S5等于
A.12 B.20 C.11 D.21
√
综合运用
+=2an等价于anq2+anq=2an.
因为an≠0，故q2+q-2=0，即(q+2)(q-1)=0.
因为q≠1，所以q=-2，故S5==11.
12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，=，则数列{an}的公比为
A.-2 B.2
C.-3 D.3
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√
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设数列{an}的公比为q，若q=1，则=2，与题中条件矛盾，故q≠1.
∵==qm+1=9，
∴qm=8.
∵==qm=8=，
∴m=3，∴q3=8，∴q=2.
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13.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7，则f(n)等于
A. B.
C. D.
√
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易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
设该数列为，则am=2m-1，设an=2n+7，
令2m-1=2n+7，∴m=n+4，
∴f(n)是以2为首项，22=4为公比的等比数列的前n+4项的和，
∴f(n)==.
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14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=an+1-1，则Sn= .
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当n=1时，则有2S1=a2-1，
∴a2=2S1+1=2a1+1=3；
当n≥2时，由2Sn=an+1-1得出2Sn-1=an-1，
上述两式相减得2an=an+1-an，
∴an+1=3an，
得=3且=3，
∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴Sn==.
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拓广探究
15.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=，则数列{bn}的前n项和Tn= .
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依题意得=n+，即Sn=n2+n.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=-=2n-；
当n=1时，a1=S1=，符合an=2n-，
所以an=2n-(n∈N+)，
则bn==32n，
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由==32=9，
可知{bn}为公比为9的等比数列，b1=32×1=9，
故Tn==.
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16.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
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依题意，得2Sn=an+1-a1.于是，当n≥2时，有
两式相减，得an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列.
因此，an=a1·3n-1(n∈N+).
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(2)设bn=1-Sn，问：是否存在a1，使数列为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由.
因为Sn==a1·3n-a1，
所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.
要使为等比数列，则1+a1=0，即a1=-2.所以存在a1=-2使得数列{bn}为等比数列.第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用
［学习目标］ 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
问题1 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
知识梳理
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前2n项中，=q；
(2)在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1=
=(q≠-1)；
S奇=a1+qS偶.
例1 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q= .
(2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为 .
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练1 (1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 .
(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an= .
二、等比数列中的片段和问题
问题2 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？
问题3 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？
知识梳理
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+ (n，m∈N+).
2.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn， ，…仍构成等比数列.
例2 在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算.
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
跟踪训练2 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12等于( )
A.8 B.6
C.4 D.2
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为( )
A.96 B.126
C.192 D.252
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型.
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
跟踪训练3 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为 .
1.知识清单：
(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质.
(2)等比数列中的片段和性质.
(3)等比数列前n项和的实际应用.
2.方法归纳：公式法、分类讨论.
3.常见误区：应用等比数列的片段和性质时易忽略其成立的条件.
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5等于( )
A.3∶4 B.2∶3
C.1∶2 D.1∶3
2.在等比数列{an}中，a1a2a3=1，a4=4，则a2+a4+a6+…+a2n等于( )
A.2n-1 B.
C. D.
3.《庄子》中说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为( )
A.6 B.5
C.4 D.3
4.若等比数列{an}的公比为，且a1+a3+…+a99=60，则{an}的前100项和为 .
答案精析
问题1 若等比数列{an}的项数有2n项，
则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，
其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即
S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q.
若等比数列{an}的项数有2n+1项，则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，
即S奇=a1+qS偶.
例1 (1)2 (2)300
跟踪训练1 (1)2 9
(2)12×
问题2 思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n
=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm
=Sm+qmSn.
思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m
=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn
=Sn+qnSm.
问题3 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q=1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn=，
S2n=，
S3n=.
S2n-Sn=-=，
S3n-S2n=-
=，
而=，Sn(S3n-S2n)=×，
故有=Sn(S3n-S2n)，
所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列.
思路二：由问题2中Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，
故有S2n-Sn=qnSn，
S3n=S2n+q2nSn，
故有S3n-S2n=q2nSn，
故有=Sn(S3n-S2n)，
所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列.
知识梳理
1.qnSm
2.S3n-S2n
例2 63
跟踪训练2 C
例3 C
跟踪训练3 3
随堂演练
1.A 2.B 3.B 4.80(共71张PPT)
第五章
<<<
等比数列的前n项和的性质及应用
第2课时
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
学习目标
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.
导 语
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
二、等比数列中的片段和问题
课时对点练
三、等比数列前n项和公式的实际应用
随堂演练
内容索引
一
等比数列前n项和公式的灵活应用
类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
问题1
提示 若等比数列{an}的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，
其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即
S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q.
若等比数列{an}的项数有2n+1项，则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶.
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前2n项中，=q；
(2)在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1=
=(q≠-1)；
S奇=a1+qS偶.
(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q= .
例 1
由题意知S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80，
∴S奇=-80，S偶=-160，
∴q==2.
2
(2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为 .
由=2，S偶-S奇=100可知S偶=200，S奇=100，故S2n=300.
300
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n
这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
反
思
感
悟
(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 .
跟踪训练 1
2
9
由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2，
S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9.
(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，
前3项之积为64，则数列的通项公式an= .
12×
设数列{an}的首项为a1，公比为q，
所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数，
所以有q==.
又因为a1·a1q·a1q2=64，所以·q3=64，
即a1=12，
故所求通项公式为an=12×.
二
等比数列中的片段和问题
你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？
问题2
提示 思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+ anqm=Sm+qmSn.
思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn= Sn+qnSm.
类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？
问题3
提示 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q=1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn=，S2n=，
S3n=.
S2n-Sn=-=，
S3n-S2n=-=，
而=，Sn(S3n-S2n)=×，
故有=Sn(S3n-S2n)，
所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列.
思路二：由问题2中Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，故有S2n-Sn=qnSn，
S3n=S2n+q2nSn，故有S3n-S2n=q2nSn，故有=Sn(S3n-S2n)，
所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列.
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+ (n，m∈N+).
2.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn， ，…仍构成等比数列.
qnSm
S3n-S2n
等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
注 意 点
<<<
在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.
例 2
方法一 ∵≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1+qn=，
即qn=， ③
③代入①得=64，
∴S3n==64=63.
方法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于-1，
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，
∴S3n=+S2n=+60=63.
方法三 由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=，
∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63.
(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算.
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
反
思
感
悟
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12等于
A.8 B.6
C.4 D.2
跟踪训练 2
√
S4，S8-S4，S12-S8成等比数列.
即1，2，a9+a10+a11+a12成等比数列.
∴a9+a10+a11+a12=4.
三
等比数列前n项和公式的实际应用
《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为
A.96 B.126
C.192 D.252
例 3
√
由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有
S6==378，
解得a1=192，
所以该人第1天所走路程里数为192.
(1)解应用问题的核心是建立数学模型.
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
反
思
感
悟
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为 .
跟踪训练 3
设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3.
3
1.知识清单：
(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质.
(2)等比数列中的片段和性质.
(3)等比数列前n项和的实际应用.
2.方法归纳：公式法、分类讨论.
3.常见误区：应用等比数列的片段和性质时易忽略其成立的条件.
随堂演练
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1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5等于
A.3∶4 B.2∶3
C.1∶2 D.1∶3
√
在等比数列{an}中，S5，S10-S5，S15-S10，…成等比数列，所以(S10-S5)2=S5(S15-S10)，因为S10∶S5=1∶2，所以S10=S5，S15=S5，得S15∶S5=3∶4，故选A.
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2.在等比数列{an}中，a1a2a3=1，a4=4，则a2+a4+a6+…+a2n等于
A.2n-1 B.
C. D.
√
由a1a2a3=1得a2=1，又a4=4，故q2=4，所以a2+a4+a6+…+a2n==.
3.《庄子》中说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为
A.6 B.5
C.4 D.3
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数列{an}是以为公比的等比数列，
∴Sn==1-，
若Sn>，则1->，
即>，∴2n>，
又n∈N+，24=16<，25=32>，
∴使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为5.
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4.若等比数列{an}的公比为，且a1+a3+…+a99=60，则{an}的前100项和为 .
80
令X=a1+a3+…+a99=60，
Y=a2+a4+…+a100，
则S100=X+Y，
由等比数列前n项和性质知=q=，
所以Y=20，即S100=X+Y=80.
课时对点练
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基础巩固
1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为
A.8 B.-2
C.4 D.2
√
由=q，可知q=2.
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2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于
A. B.-
C. D.
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易知q≠-1，
因为a7+a8+a9=S9-S6，
且S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列，
即8，-1，S9-S6成等比数列，
所以8(S9-S6)=1，
即S9-S6=，
所以a7+a8+a9=.
3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？
A. B.
C. D.
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5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50，则=50，
解得a1=，所以牛主人应偿还粟的量为a3=22a1=.
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4.设等比数列{an}的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为
A.360 B.720
C.1 560 D.1 800
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设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，
因为Sn=10，S2n=60，
则q≠-1，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比数列，公比为qn，
又S2n-Sn=50，所以qn=5，
所以S3n-S2n=50×5=250，
所以S4n-S3n=250×5=1 250，
所以S4n=10+50+250+1 250=1 560.
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5.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于
A.2 B.3
C.4 D.5
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方法一 因为等比数列{an}有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设{an}的公比为q，
则1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85，
q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2，
所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3.
方法二 设{an}的前n项和为Sn，公比为q，
因为等比数列{an}有2n+1项，则S奇=a1+qS偶，
即85=1+42q，解得q=2，
所以S2n+1==S奇+S偶=85+42=127，解得n=3.
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6.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列命题中正确的是
A.Sn+1=Sn+anq
B.Sn+1=S1+qSn
C.S2，S4-S2，S6-S4成等比数列
D.“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件
√
√
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Sn+1-Sn=an+1=anq，故A正确；
Sn+1-S1=a2+a3+…+an+1=q(a1+a2+…+an)=qSn，故B正确；
当q=-1时，有S2=a1+a2=a1-a1=0，等比数列不能有项为0，故C错误；
当q=-时，Sn+1+Sn=2Sn+2-2an+2-an+1=2Sn+2-(2q·an+1+an+1)
=2Sn+2-(-an+1+an+1)=2Sn+2，故由“q=-”可得“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”；
当Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列时，可得Sn+Sn+1=2Sn+2，
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即Sn+Sn+1=2Sn+2=2Sn+1+2an+2=Sn+Sn+1+2an+2+an+1，
即2an+2+an+1=0，可得=-，即由“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”可得“q=-”，
故“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件，故D正确.
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7.已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4=7，S8=21，则S16= .
105
由等比数列前n项和的性质得S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，
∴7，14，S12-21，S16-S12成等比数列，
∴S12-21=28，S12=49，S16-49=56，∴S16=105.
8.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n= .(n∈N+)
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每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，
其前n项和Sn==2n+1-2.
由2n+1-2≥100，得2n+1≥102.
由于26=64，27=128，
则n+1≥7，即n≥6.
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9.一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.
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方法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N+).
由已知a1=1，q≠1，有
由②÷①，得q=2，
∴=85，4n=256，∴n=4.
故公比为2，项数为8.
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方法二 ∵S偶=a2+a4+…+=a1q+a3q+…+q=(a1+a3+… +)q=S奇·q，
∴q===2.
又Sn=85+170=255，由Sn=，得=255，
∴2n=256，
∴n=8.即公比q=2，项数n=8.
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10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=7，S6=63.
(1)求数列{an}的通项公式；
由题意知S6≠2S3，q≠1，
由等比数列的前n项和的性质知，
q3===8，故q=2，
∴S3==7，代入q=2可得a1=1，
∴an=2n-1.
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(2)若bn=an+log2an，求数列的前n项和Tn.
由(1)知bn=2n-1+n-1，
∴Tn=+[1+2+…+(n-1)]
=2n+-1.
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11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1+a2+a3=4，a4+a5+a6=8，则S12等于
A.40 B.60
C.32 D.50
√
综合运用
由等比数列前n项和的性质可知，数列S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9是等比数列，即数列4，8，S9-S6，S12-S9是等比数列，因此S12=4+8+16+ 32=60.
12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为
A. B.
C.1 D.2
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设数列{an}共有(2m+1)项，由题意得
S奇=a1+a3+…+a2m+1=，
S偶=a2+a4+…+a2m=，
因为项数为奇数时，=q，
即2+q=，所以q=.
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所以Tn=a1·a2·…·an
=q1+2+…+n-1=，
故当n=1或2时，Tn取最大值2.
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13.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6-3S3=4，则S9-S6的最小值为 .
32
由等比数列的性质，知S3，S6-S3，S9-S6成等比数列.又S6-3S3=4，
∴S9-S6==
=4S3++16≥2+16=32，
当且仅当S3=2时，等号成立，
∴S9-S6的最小值为32.
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14.如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是 cm2.
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记这些正方形的边长为an cm，则a1=4，a2=2，…，故这些正方形的面积是以16为首项，以为公比的等比数列，所以这5个正方形面
积的和为S5==32=31(cm2).
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拓广探究
15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=，an=f(n)(n∈N+)，则数列{an}的前n项和Sn= .
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令x=n，y=1，则f(n)·f(1)=f(n+1)，
又an=f(n)，∴==f(1)=a1=，
∴数列{an}是以为公比的等比数列，
∴Sn==1-.
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16.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式；
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第1年投入为800万元，第2年投入为800万元，…，第n年投入为800万元，
∴n年内的总投入an=800+800+…+800=4 000.
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第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，…，第n年旅游业收入为400万元，
∴n年内的旅游业总收入bn=400+400+…+400= 1 600.
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旅游业的总收入超过总投入，即bn-an>0，
即1 600-4 000>0，
化简得5×+2×-7>0.
设x=，代入上式并整理得5x2-7x+2>0，解得x<或x>1(舍去)，
∴<.又n∈N+，由此可得n≥5.
故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？作业13 等比数列的前n项和
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.在等比数列{an}中，a1=2，a2=1，则S100等于( )
A.4-2100 B.4+2100
C.4-2-98 D.4-2-100
2.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A. B.
C. D.
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为( )
A. B.-
C. D.-
4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a，则a3a5等于( )
A.4 B.8
C.16 D.32
5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和等于( )
A.或5 B.或5
C. D.
6.(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，Sn=a·bn+c，a，b，c∈R，则( )
A.ac<0
B.b是数列{an}的公比
C.数列{Sn}可能为等比数列
D.数列{an}不可能为常数列
7.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2=，a5+a6=12，则S4= .
8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=93，an=48，公比q=2，则项数n= ，a1= .
9.(10分)已知数列{an}是等比数列.
(1)若a1=3，q=2，n=6，求Sn；(3分)
(2)若a1=-2.7，q=-，an=，求Sn；(3分)
(3)若a1=-1，a4=64，求q与S4.(4分)
10.(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.
(1)求数列{an}的公比q；(6分)
(2)若a1-a3=3，求Sn.(6分)
11.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1=1，且对任意的n∈N+都有+an+1=2an，则S5等于( )
A.12 B.20
C.11 D.21
12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，=，则数列{an}的公比为( )
A.-2 B.2
C.-3 D.3
13.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7，则f(n)等于( )
A. B.
C. D.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=an+1-1，则Sn= .
15.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=，则数列{bn}的前n项和Tn= .
16.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；(6分)
(2)设bn=1-Sn，问：是否存在a1，使数列为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由.(6分)
答案精析
1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.ABD
7. 8.5 3
9.解 (1)S6==
=189.
(2)Sn=
==-.
(3)由q3===-64，
得q=-4.
∴S4===51.
10.解 (1)依题意有a1+(a1+a1q)
=2(a1+a1q+a1q2)，
由于a1≠0，故2q2+q=0.
又q≠0，从而q=-.
(2)由已知可得a1-a1=3，
故a1=4.
从而Sn=
=.
11.C 12.B 13.D 14.
15.
解析 依题意得=n+，
即Sn=n2+n.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=-
=2n-；
当n=1时，a1=S1=，
符合an=2n-，
所以an=2n-(n∈N+)，
则bn==32n，
由==32=9，
可知{bn}为公比为9的等比数列，
b1=32×1=9，
故Tn==.
16.解 (1)依题意，得2Sn=an+1-a1.于是，当n≥2时，
有
两式相减，得an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0，
所以数列{an}是首项为a1，
公比为3的等比数列.
因此，an=a1·3n-1(n∈N+).
(2)因为Sn=
=a1·3n-a1，
所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.
要使为等比数列，
则1+a1=0，即a1=-2.
所以存在a1=-2使得数列{bn}为等比数列.作业14 等比数列的前n项和的性质及应用
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为( )
A.8 B.-2
C.4 D.2
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于( )
A. B.-
C. D.
3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？( )
A. B.
C. D.
4.设等比数列{an}的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为( )
A.360 B.720
C.1 560 D.1 800
5.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
6.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列命题中正确的是( )
A.Sn+1=Sn+anq
B.Sn+1=S1+qSn
C.S2，S4-S2，S6-S4成等比数列
D.“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件
7.已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4=7，S8=21，则S16= .
8.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n= .(n∈N+)
9.(10分)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.
10.(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=7，S6=63.
(1)求数列{an}的通项公式；(7分)
(2)若bn=an+log2an，求数列的前n项和Tn.(5分)
11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1+a2+a3=4，a4+a5+a6=8，则S12等于( )
A.40 B.60
C.32 D.50
12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为( )
A. B.
C.1 D.2
13.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6-3S3=4，则S9-S6的最小值为 .
14.如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是 cm2.
15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=，an=f(n)(n∈N+)，则数列{an}的前n项和Sn= .
16.(12分)某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式；(7分)
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(5分)
答案精析
1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.ABD
7.105 8.6
9.解 方法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N+).
由已知a1=1，q≠1，有
由②÷①，得q=2，
∴=85，4n=256，∴n=4.
故公比为2，项数为8.
方法二 ∵S偶=a2+a4+…+
=a1q+a3q+…+q
=(a1+a3+…+)q=S奇·q，
∴q===2.
又Sn=85+170=255，
由Sn=，
得=255，
∴2n=256，
∴n=8.即公比q=2，项数n=8.
10.解 (1)由题意知S6≠2S3，q≠1，
由等比数列的前n项和的性质知，
q3===8，故q=2，
∴S3==7，
代入q=2可得a1=1，
∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=2n-1+n-1，
∴Tn=
+［1+2+…+(n-1)］
=2n+-1.
11.B 12.D 13.32 14.31
15.1-
解析 令x=n，y=1，
则f(n)·f(1)=f(n+1)，
又an=f(n)，
∴==f(1)=a1=，
∴数列{an}是以为首项，
为公比的等比数列，
∴Sn==1-.
16.解 (1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800万元，…，
第n年投入为800万元，
∴n年内的总投入
an=800+800+…
+800=4 000.
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为400万元，…，
第n年旅游业收入为400万元，
∴n年内的旅游业总收入
bn=400+400+…
+400=1 600.
(2)旅游业的总收入超过总投入，
即bn-an>0，
即1 600
-4 000>0，
化简得5×+2×-7>0.
设x=，
代入上式并整理得5x2-7x+2>0，
解得x<或x>1(舍去)，
∴<.又n∈N+，
由此可得n≥5.
故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
