［学习目标］ 1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程.
一、分期还款与数列
例1 某人年初向银行贷款10万元用于购房：
(1)如果他向A银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
(2)如果他向B银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到1元，参考数据：1.0410≈1.480 2)
反思感悟 上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异.
(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式.
(2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是还款形式不同.
跟踪训练1 某职工年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金)，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元，1.110≈2.593 7)
二、数列递推公式的实际应用
例2 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2≈0.3)
反思感悟 理解题意，建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系，构造数列，确定数列的通项公式求解.
跟踪训练2 某城市2024年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量应不超过多少辆？
三、数列的综合应用
例3 假设某市2024年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在此后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2024年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)此年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
反思感悟 从实际问题中建立函数模型，构造数列，运用数列性质及数列求和公式解决实际问题.
跟踪训练3 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500万元(n为正整数).
(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
1.知识清单：
(1)能利用数列知识解决分期还款问题.
(2)数列递推公式的实际应用.
(3)数列的综合应用.
2.方法归纳：构造法、转化法.
3.常见误区：在实际问题中首项和项数弄错.
1.某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量( )
A.a(1+25%)5 B.a(1+25%)4
C.4a D.a(1+25%)6
2.一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π=3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )
A.14 m B.15 m
C.16 m D.17 m
3.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1 150万元，约定：2024年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，付款的总和为( )
A.1 205万元 B.1 255万元
C.1 305万元 D.1 360万元
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为 钱.
答案精析
例1 解 (1)若向A银行贷款，设每年还款x元，依题意得x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+…+x(1+9×5%)=100 000×(1+10×5%)，
∴x=≈12 245(元).
即当年利率为5%(不计复利)时，
每年应还款12 245元.
(2)若向B银行贷款，设每年还款y元，依题意得
y+y(1+4%)+y(1+4%)2+…
+y(1+4%)9
=100 000(1+4%)10，
即105×1.0410=×y，
y≈
≈12 330(元).
即当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12 330元.
跟踪训练1 解 设贷款数额为a0元，贷款年利率为α，每年等额归还x元，第n年还清，则
一年后的欠款数为a1=(1+α)a0-x，
二年后的欠款数为a2=(1+α)a1-x=(1+α)2a0-x［(1+α)+1］，
三年后的欠款数为a3=(1+α)a2-x=(1+α)3a0-x［(1+α)2+(1+α)+1］，
…
n年后的欠款数为an=(1+α)an-1-x=(1+α)na0-x［(1+α)n-1+
(1+α)n-2+…+(1+α)+1］，
由于an=0，贷款还清，
∴(1+α)na0=x·，
∴x=.
将α=0.1，a0=20 000，n=10代入，得
x=≈
≈3 255(元).即每年应还3 255元.
例2 解 设经过n年后，
该项目的资金为an万元.
由题意得，
an=an-1(1+25%)-200(n≥2)，
整理可得an-800=(an-1-800)，
即{an-800}成一个等比数列，
a1=1 000(1+25%)-200=1 050，
a1-800=250，
∴an-800=250，an
=250+800，
令an≥4 000，得≥16，
解得n≥13，
即至少经过13年，该项目的资金可以能达到或超过翻两番的目标.
跟踪训练2 解 设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an，
则容易得到an和an-1的递推关系：
an=(1-6%)·an-1+b
=an-1+b(n≥2)，
即an-b=.
∴是以为公比，
以30-b为首项的等比数列.
∴an-b=·，
即an=b+·.
(1)当30-b≥0，即b≤1.8时，
an≤an-1≤…≤a1=30.
(2)当30-b<0，即b>1.8时，
an趋近于b，
并且数列{an}为递增数列，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，
即an≤60(n∈N+)，
则b≤60，即b≤3.6.
综上，每年新增汽车应不超过3.6万辆.
例3 解 (1)设新建中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1=250，d=50，
则Sn=250n+×50
=25n2+225n，
令25n2+225n≥4 750，
即n2+9n-190≥0，又n是正整数，
∴n≥10.
∴到2033年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，
由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08，
则bn=400×1.08n-1，
由题意可知an>0.85bn，
有250+50(n-1)>400×1.08n-1×0.85.
解得满足上述不等式的最小正整数
n=6，
∴到2029年底，此年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
跟踪训练3 解 (1)依题意知，不进行技术改造，每年的纯利润是以480为首项，-20为公差的等差数列，
∴An=480+460+…+(500-20n)
=490n-10n2；
Bn=
500
-600=500n--100.
(2)Bn-An=
-(490n-10n2)
=10n2+10n--100
=10.
∵函数y=x(x+1)--10在
(0，+∞)上单调递增，
当1≤n≤3时，n(n+1)--10≤12--10<0；
当n≥4时，
n(n+1)--10≥20--10>0.
∴当n≥4时，Bn>An.
故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
随堂演练
1.A 2.B 3.B 4.(共77张PPT)
第五章
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§5.4 数列的应用
1.能够把实际问题转化成数列问题.
2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程.
学习目标
我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物、分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！
导 语
一、分期还款与数列
二、数列递推公式的实际应用
课时对点练
三、数列的综合应用
随堂演练
内容索引
分期还款与数列
一
某人年初向银行贷款10万元用于购房：
(1)如果他向A银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
例 1
若向A银行贷款，设每年还款x元，依题意得x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+…+x(1+9×5%)=100 000×(1+10×5%)，
∴x=≈12 245(元).
即当年利率为5%(不计复利)时，每年应还款12 245元.
(2)如果他向B银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到1元，参考数据：1.0410≈1.480 2)
若向B银行贷款，设每年还款y元，依题意得
y+y(1+4%)+y(1+4%)2+…+y(1+4%)9
=100 000(1+4%)10，
即105×1.0410=×y，
y≈≈12 330(元).
即当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12 330元.
(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式.
(2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是还款形式不同.
反
思
感
悟
上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异.
某职工年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金)，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元，1.110≈2.593 7)
跟踪训练 1
设贷款数额为a0元，贷款年利率为α，每年等额归还x元，第n年还清，则
一年后的欠款数为a1=(1+α)a0-x，
二年后的欠款数为a2=(1+α)a1-x=(1+α)2a0-x[(1+α)+1]，
三年后的欠款数为a3=(1+α)a2-x=(1+α)3a0-x[(1+α)2+(1+α)+1]，
…
n年后的欠款数为an=(1+α)an-1-x=(1+α)na0-x[(1+α)n-1+(1+α)n-2+…+(1+α)+1]，
由于an=0，贷款还清，
∴(1+α)na0=x·，∴x=.
将α=0.1，a0=20 000，n=10代入，得
x=≈
≈3 255(元).即每年应还3 255元.
二
数列递推公式的实际应用
某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2≈0.3)
例 2
设经过n年后，该项目的资金为an万元.
由题意得，an=an-1(1+25%)-200(n≥2)，
整理可得an-800=(an-1-800)，
即{an-800}成一个等比数列，a1=1 000(1+25%)-200=1 050，a1-800=250，
∴an-800=250，an=250+800，
令an≥4 000，得≥16，解得n≥13，
即至少经过13年，该项目的资金可以能达到或超过翻两番的目标.
理解题意，建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系，构造数列，确定数列的通项公式求解.
反
思
感
悟
某城市2024年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量应不超过多少辆？
跟踪训练 2
设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an，
则容易得到an和an-1的递推关系：
an=(1-6%)·an-1+b=an-1+b(n≥2)，
即an-b=.
∴为公比，以30-b为首项的等比数列.
∴an-b=·，
即an=b+·.
(1)当30-b≥0，即b≤1.8时，an≤an-1≤…≤a1=30.
(2)当30-b<0，即b>1.8时，an趋近于b，
并且数列{an}为递增数列，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，
即an≤60(n∈N+)，
则b≤60，即b≤3.6.
综上，每年新增汽车应不超过3.6万辆.
数列的综合应用
三
假设某市2024年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在此后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2024年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
例 3
设新建中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1=250，d=50，
则Sn=250n+×50=25n2+225n，
令25n2+225n≥4 750，即n2+9n-190≥0，又n是正整数，
∴n≥10.
∴到2033年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
(2)此年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
设新建住房面积形成数列{bn}，
由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08，则bn=400×1.08n-1，
由题意可知an>0.85bn，
有250+50(n-1)>400×1.08n-1×0.85.
解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2029年底，此年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
从实际问题中建立函数模型，构造数列，运用数列性质及数列求和公式解决实际问题.
反
思
感
悟
某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500万元(n为正整数).
(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；
跟踪训练 3
依题意知，不进行技术改造，每年的纯利润是以480为首项，-20为公差的等差数列，∴An=480+460+…+(500-20n)
=490n-10n2；
Bn=500-600=500n--100.
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
Bn-An=-(490n-10n2)
=10n2+10n--100=10.
∵函数y=x(x+1)--10在(0，+∞)上单调递增，
当1≤n≤3时，n(n+1)--10≤12--10<0；
当n≥4时，n(n+1)--10≥20--10>0.
∴当n≥4时，Bn>An.
故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
1.知识清单：
(1)能利用数列知识解决分期还款问题.
(2)数列递推公式的实际应用.
(3)数列的综合应用.
2.方法归纳：构造法、转化法.
3.常见误区：在实际问题中首项和项数弄错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量
A.a(1+25%)5 B.a(1+25%)4
C.4a D.a(1+25%)6
√
森林中原有木材量为a，一年后为a(1+25%)，两年后为a(1+25%)2，…，五年后为a(1+25%)5.
1
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3
4
2.一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π=3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)
A.14 m B.15 m
C.16 m D.17 m
√
纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l=πd1+πd2+…+πd60 =60π·
=480×3.14=1 507.2(cm)≈15 m.
3.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1 150万元，约定：2024年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，付款的总和为
A.1 205万元 B.1 255万元
C.1 305万元 D.1 360万元
1
2
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4
√
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由题意知，分期还款的次数为(1 150-150)÷50=20，每次付款本金均为50万元，利息依次为1 000×1%，950×1%，…，50×1%，构成了一个等差数列，
则所还欠款利息总额为(1 000+950+…+50)×1%=×20×1% =105(万元)，故付款的总和为1 150+105=1 255(万元).
1
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3
4
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”
是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为 钱.
1
2
3
4
设所成等差数列的首项为a1，公差为d，则依题意，
有
解得钱.
课时对点练
五
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基础巩固
1.夏季高山上的气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温为26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是
A.1 500 m B.1 600 m
C.1 700 m D.1 800 m
√
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由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，以-0.7 ℃为公差的等差数列，记此数列为{an}，
a1=26 ℃，d=-0.7 ℃，
∴14.1=26+(n-1)×(-0.7)，解得n=18，
∴此山相对于山脚的高度为100×(18-1)=1 700(m).
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2.某家庭决定要进行一项投资活动，预计每周收益1%.假设起始投入1万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，经过100周，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为
A.1.3万元 B.1.7万元
C.2.3万元 D.2.7万元
因为该家庭决定起始投入1万元，预计每周收益1%，所以100周后该家庭在此项投资活动的资产总额为1×(1+1%)100≈2.7(万元).
√
3.中国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于
A. 里 B. 里
C. 里 D. 里
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设马每天所走的路程是a1，a2，…，a7，是公比为的等比数列，这些项的和为700，
S7==700，
解得a1=，
a7=a1q6=.
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4.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的腰上再连接正方形，……如此下去将得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形，且其中最大正方形的边长为，则其中最小正方形的边长为
A. B.
C. D.
√
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由题意，由下至上，
各层正方形的边长构成以为公比的等比数列，
由下至上，第n(n∈N+)层正方形的个数构成以1为首项，2为公比的等比数列.
现已知共得到1 023个正方形，
则有1+2+…+2n-1==1 023，
∴n=10，∴最小正方形的边长为×=.
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5.某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
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设每年偿还x万元，
则x+x(1+γ)+x(1+γ)2+x(1+γ)3+x(1+γ)4=a(1+γ)5，由等比数列的求和公式可得=a(1+γ)5，解得x=.
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6.某地区重视环境保护，绿色植被种植面积呈上升趋势，经调查，从2013年到2022年这10年间每两年上升2%，2021年和2022年种植绿色植被815万平方米.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2023年到2026年共种植绿色植被面积大约为(精确到1万平方米)
A.848万平方米 B.1 679万平方米
C.1 173万平方米 D.12 494万平方米
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2023年和2024年种植绿色植被面积为815×(1+2%)，
2025年和2026年种植绿色植被面积为815×(1+2%)×(1+2%).
2023年到2026年共种植绿色植被面积为
815×(1+2%)+815×(1+2%)×(1+2%)≈1 679(万平方米).
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7.假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗 次才能使存留的污垢不超过1%.
设每次用a升清水漂洗一件衣服， 洗涤次数为n，由题意可知，存留的污垢y是以a为首项，为公比的等比数列，所以有y=·a，则·a≤1%·a n≥log4100=log210 n≥4，
所以至少要清洗4次才能使存留的污垢不超过1%.
4
8.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第__ 层.
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设停在第x层，则
S=[1+2+…+(20-x)]×2+[1+2+…+(x-2)]
=+421，
∴当x=时取最小值，而x∈{2，3，…，20}，
∴当x=14时取最小值.
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9.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该超市第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示.
(1)求an；
由题意知，每年需付出的费用是以12为首项，4为公差的等差数列，
求得an=a1+4(n-1)=4n+8.
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(2)该超市第几年开始盈利？(即总收入与成本及所有费用之差为正值)
设超市第n年开始盈利，盈利为y万元，
则y=50n--72
=-2n2+40n-72，
由y>0，得n2-20n+36<0，解得2
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(3)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？
年平均获利为=-2n-+40
=-2+40≤-2×2+40=16，
当且仅当n=，即n=6时，年平均获利最大.
故经过6年经营后年平均获利最大，最大值为16万元.
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10.市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金，利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2024年2月8日贷款到账，则2024年3月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年，月利率为0.4%.
(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5 500元，最后一个还款月应还2 510元，试计算该笔贷款的总利息；
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由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为{an}，用Sn表示数列{an}的前n项和，则a1=5 500，a300=2 510，
则S300==1 201 500，
故小张该笔贷款的总利息为1 201 500-750 000=451 500(元).
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(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)；(参考数据：1.004300≈3.31)
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设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，
则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)299=750 000×(1+0.004)300，
所以x=750 000×1.004300，
即x=
≈≈4 299，
因为4 299<10 000×=5 000，
所以小张申请该笔贷款能够获批.
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(3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由.
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小张采取等额本息贷款方式的总利息为4 299×300-750 000=539 700(元)，
因为539 700>451 500，
所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额本金的还款方式.
也可以回答：
因为以等额本息方案，每月还款只需要还4 299元，
而以等额本金方案，
每月还款额公差d==10，=120，
在前面的10年内还款金额都比等额本息还款金额高，
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对于小张可能会造成更大的还款压力，
因此从前几年付款压力大小的角度来考虑，建议小张选择等额本息的还款方式.
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11.(多选)已知斐波那契数列的前七项为1，1，2，3，5，8，13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层数相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花的层数不可能是
A.5 B.6
C.7 D.8
√
综合运用
√
√
斐波那契数列的前n项和依次为1，2，4，7，12，20，33，…，一朵“雅苏娜”玫瑰花的花瓣总数为33，则该种玫瑰花有7层.
12.某研究所为了更好地做研究，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要
A.3 233万元 B.4 706万元
C.4 709万元 D.4 808万元
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设每个实验室的装修费为x万元，设备费为an万元(n=1，2，3，…，10)，设等比数列{an}的公比为q，
则
所以
又q>0，解得
故a10=a1q9=1 536.
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依题意得x+1 536≤1 700，即x≤164.
所以总费用为10x+a1+a2+…+a10=10x+=10x+3 069≤4 709.
故该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4 709万元.
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13.刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6 000元的手机，约定从下月5日开始，每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元，1年还清，其中月利率为0.5%，则小明每月还款数a约为(精确到个位，参考数据：1.00511≈1.056，1.00512≈1.062，1.00513≈1.067)
A.488元 B.500元
C.514元 D.602元
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由题意知小明第1次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)-a(元)，
第2次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a(元)，
第3次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a(元)，
以此类推，则第12次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a(元)，
此时已全部还清，则6 000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a=0，
即6 000(1+0.5%)12=，
解得a=≈≈514(元).
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14.如图，正三角形ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取DE边的中点G，作正三角形DFG……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，则前20个正三角形的面积和为
________________ cm2.
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设第n个三角形边长为a，则第n+1个三角形边长为，
设第n个三角形面积为an，则an=a2，
an+1=·=a2，
因为=，a1=S△ABC=×202=100，
所以这些三角形面积成等比数列，且公比q=，首项a1=100，
所以前20个正三角形的面积和为S20==cm2.
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拓广探究
15.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘(如图)，将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为
A.5 B.7
C.9 D.11
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设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，
至少需要移动次数记为{an}.
要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，
则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个
柱子上，故至少需要移动an-1次.
把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an-1次，所以an=2an-1+1，a1=1，故a2=3，a3=7，故选B.
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16.数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，中国的5G技术领先世界.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由H公司及G公司提供技术支持.据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比a0=55%及b0=45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术，采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn，不考虑其他因素的影响.
(1)用an表示an+1，并求实数λ使{an-λ}是等比数列；
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由题意知，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分别为a0=55%=，b0=45%=.
易知经过n次技术更新后an+bn=1，
则an+1=(1-5%)an+20%bn=an+(1-an)=an+，
即an+1=an+(n∈N+). ①
由①式，可设an+1-λ=(an-λ) an+1=an+，对比①式可知= λ=.
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又a1=a0+=×+=，a1-=-=-.从而当λ=是以-为公比的等比数列.
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(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
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由(1)可知an-=-·=-·，
所以经过n次技术更新后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比an=-·.
由题意，令an>75%，得-·> < nlg
故n≥6，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.作业18 数列的应用
(分值：100分)
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分
1.夏季高山上的气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温为26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )
A.1 500 m B.1 600 m
C.1 700 m D.1 800 m
2.某家庭决定要进行一项投资活动，预计每周收益1%.假设起始投入1万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，经过100周，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( )
A.1.3万元 B.1.7万元
C.2.3万元 D.2.7万元
3.中国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于( )
A. 里 B. 里
C. 里 D. 里
4.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的腰上再连接正方形，……如此下去将得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形，且其中最大正方形的边长为，则其中最小正方形的边长为( )
A. B.
C. D.
5.某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
6.某地区重视环境保护，绿色植被种植面积呈上升趋势，经调查，从2013年到2022年这10年间每两年上升2%，2021年和2022年种植绿色植被815万平方米.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2023年到2026年共种植绿色植被面积大约为(精确到1万平方米)( )
A.848万平方米 B.1 679万平方米
C.1 173万平方米 D.12 494万平方米
7.假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗 次才能使存留的污垢不超过1%.
8.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第 层.
9.(10分)为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该超市第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示.
(1)求an；(2分)
(2)该超市第几年开始盈利？(即总收入与成本及所有费用之差为正值)(4分)
(3)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？(4分)
10.(12分)市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金，利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2024年2月8日贷款到账，则2024年3月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年，月利率为0.4%.
(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5 500元，最后一个还款月应还2 510元，试计算该笔贷款的总利息；(4分)
(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)；(参考数据：1.004300≈3.31)(5分)
(3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由.(3分)
11.(多选)已知斐波那契数列的前七项为1，1，2，3，5，8，13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层数相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花的层数不可能是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
12.某研究所为了更好地做研究，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A.3 233万元 B.4 706万元
C.4 709万元 D.4 808万元
13.刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6 000元的手机，约定从下月5日开始，每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元，1年还清，其中月利率为0.5%，则小明每月还款数a约为(精确到个位，参考数据：1.00511≈1.056，1.00512≈1.062，1.00513≈1.067)( )
A.488元 B.500元
C.514元 D.602元
14.如图，正三角形ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取DE边的中点G，作正三角形DFG……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，则前20个正三角形的面积和为 cm2.
15.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘(如图)，将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为( )
A.5 B.7
C.9 D.11
16.(12分)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，中国的5G技术领先世界.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由H公司及G公司提供技术支持.据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比a0=55%及b0=45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术，采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn，不考虑其他因素的影响.
(1)用an表示an+1，并求实数λ使{an-λ}是等比数列；(6分)
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(6分)
答案精析
1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B
7.4 8.14
9.解 (1)由题意知，每年需付出的费用是以12为首项，
4为公差的等差数列，
求得an=a1+4(n-1)=4n+8.
(2)设超市第n年开始盈利，
盈利为y万元，
则y=50n--72
=-2n2+40n-72，
由y>0，得n2-20n+36<0，
解得2
(3)年平均获利为=-2n-+40
=-2+40≤
-2×2+40=16，
当且仅当n=，
即n=6时，年平均获利最大.
故经过6年经营后年平均获利最大，最大值为16万元.
10.解 (1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为{an}，用Sn表示数列{an}的前n项和，则a1=5 500，a300=2 510，
则S300=
=1 201 500，
故小张该笔贷款的总利息为
1 201 500-750 000=451 500(元).
(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，
则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)299
=750 000×(1+0.004)300，
所以x
=750 000×1.004300，
即x=
≈≈4 299，
因为4 299<10 000×=5 000，
所以小张申请该笔贷款能够获批.
(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为
4 299×300-750 000=539 700(元)，
因为539 700>451 500，
所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额本金的还款方式.
也可以回答：
因为以等额本息方案，每月还款只需要还4 299元，
而以等额本金方案，
每月还款额公差d==10，
=120，
在前面的10年内还款金额都比等额本息还款金额高，
对于小张可能会造成更大的还款压力，
因此从前几年付款压力大小的角度来考虑，建议小张选择等额本息的还款方式.
11.ABD
12.C ［设每个实验室的装修费为x万元，
设备费为an万元(n=1，2，3，…，10)，
设等比数列{an}的公比为q，
则
所以
又q>0，解得
故a10=a1q9=1 536.
依题意得x+1 536≤1 700，
即x≤164.
所以总费用为10x+a1+a2+…+a10=10x+
=10x+3 069≤4 709.
故该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4 709万元.］
13.C ［由题意知小明第1次还款a元后，还欠本金及利息为
6 000(1+0.5%)-a(元)，
第2次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a(元)，
第3次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a(元)，
以此类推，则第12次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a(元)，
此时已全部还清，
则6 000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a=0，
即6 000(1+0.5%)12
=，
解得a=
≈≈514(元).］
14.
解析 设第n个三角形边长为a，
则第n+1个三角形边长为，
设第n个三角形面积为an，
则an=a2，
an+1=·=a2，
因为=，a1=S△ABC=×202=100，
所以这些三角形面积成等比数列，
且公比q=，首项a1=100，
所以前20个正三角形的面积和为
S20=
=cm2.
15.B ［设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{an}.
要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an-1次.
把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an-1次，所以an=2an-1+1，a1=1，故a2=3，a3=7，故选B.］
16.解 (1)由题意知，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分别为
a0=55%=，b0=45%=.
易知经过n次技术更新后an+bn=1，
则an+1=(1-5%)an+20%bn=an+(1-an)=an+，
即an+1=an+(n∈N+). ①
由①式，可设an+1-λ=(an-λ) an+1=an+，
对比①式可知= λ=.
又a1=a0+
=×+=，
a1-=-=-.
从而当λ=时，
是以-为首项，
为公比的等比数列.
(2)由(1)可知an-=-·
=-·，
所以经过n次技术更新后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比an=-·.
由题意，令an>75%，得
-·> < nlg
==
≈
==0.699×8=5.592>5.
故n≥6，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
