2024-2025学年第一学期九年级数学第三次月考试卷
一、选择题（每小题只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．已知是方程的一个根．则代数式的值是（ ）
A．3 B．1 C．5 D．1
2．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．8 C．50 D．10
3．把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，°，，点在线段上，//交于点，将△绕点顺时针旋转30°得到△．当点在上时，的长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，点、、、都在上，°，则（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
7．如图，是的直径，是的两条切线，切点分别为．若°，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．如图，在正八边形中，连接与交于点．下列结论：
①；②：③°；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．圆锥的底面半径为3，侧面积为12，则圆锥的母线长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．已知△内接于，．点从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点运动的路线长为，△的面积为，随变化的图象如图所示，其中．
①点在运动的过程中，始终有°；②点的纵坐标为；③存在4个点的位置，使得．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知关于的一元二次方程的一个根为4，则的值为__________．
12．将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是__________．
13．当或时，代数式与的值相等，则函数与轴的交点为___________．
14．如图，点是在正△内一点．，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接、，四边形的面积为__________．
15．如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为20cm．水的最深处到水面的距离为8cm，则水面的宽度是__________．
16．如图，已知点是直线外一点，于点，且，点均在直线上，45°，则的最小值为___________．
17．如图，等边△的边长为12，点、、分别为边的中点，若分别以为圆心，6为半径，作三个60°的扇形，则图中阴影部分的面积为__________．
18．如图，在正五边形中，点是边的中点，连接、，交于点，则_________．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图所示，△的顶点在的网格中的格点上．
（1）画出△绕点顺时针旋转90°得到的△；
（2）在图中确定格点，并画出一个以、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形．
20．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）； （2）．
21．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？
22．（6分）已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点．
23．（6分）如图，在△中，°，将△绕点逆时针旋转得到△，使点在的延长线上．求证：．
24．（8分）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为弧上一点，且弧弧，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25．（8分）如图，是的直径，于点，为的中点，过点作交的延长线于点．点在上，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若°，，求的长．
26．（8分）如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分．
（1）求证：；
（2）若°，，求的长度．
27．（10分）综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）（3分）如图1，动点在抛物线上，且在直线上方，求△面积的最大值及此时点的坐标；
（3）（4分）如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值．
答案
1-5 DAACA 6-10 AACAA
11．3 12． 13．和 14． 15．32cm 16．
17． 18．54°
19．（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图所示，四边形即为所求；
20．（1）；（2）
21．设每件衬衫应降价元，
由题意得，，整理得：，解得或，
∵要尽快减少库存，∴，答：每件衬衫应降价20元
22．（1）；（2）经过点
23．∵△绕点逆时针旋转得到△，∴△≌△，
∴，°，∴°，
∴°°°，∴．
24．（1）∵是的直径，是的弦，，
∴，又∵，∴，∴，∴．
（2）连接，
∵，∴，
又∵，∴，
∵是的直径，是的弦，，∴．
25．（1）如图所示，连接，
∵直径，∴，∴，
∵，为的中点，∴是的垂直平分线，则，
∴，∴△为等边三角形，∴°，
∴°，∴°，∴°，
∴°，
∵°，∴//，
∵交的延长线于点，∴°，∴°°，
∴，
∵为半径，，∴为切线，
（2）如图所示，连接，
∵°，°，，∴，
∵直径，∴，
∵，∴，则，
∵°，∴°，∴°，
∵°，， ∴，
∵°，∴°，
∵°，°，， ∴．
26．（1）∵平分，∴，
∵四边形内接于，∴，
∵，∴，∴；
（2）如图，连结交圆于，连接、，则°，
∵°，∴△为等边三角形，∴°，
∴°，°，
∴°，∴，
∵，∴，解得（负值舍去），
∴圆半径为，∴的长度．
27．（1）把点和点的坐标代入，
得到：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如下图所示，过点作//轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，解得：，
∴直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∵
整理得：，
可知当时，△的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
解方程组，可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为、，
则有，∴是一个定值．
