2024-2025学年湖南省娄底一中高二12月第二次质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.在数列中，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列是各项为正的等比数列，其前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为，如果，则( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
6.已知圆：与圆内切，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 ．
A. B. C. D.
8.已知正方体的外接球表面积为，点为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
10.设椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 存在点，使
C. 曲线与椭圆都关于原点对称
D. 曲线与椭圆均位于直线和所围成的矩形内
11.已知数列满足，，，，是数列的前项和，则下列结论正确的有( )
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，分别为边，的中点，若，则 ．
13.已知数列中，，，则 ．
14.已知为圆：的直径，点为椭圆上一动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．
求圆的方程；
若点，求过点的圆的切线方程．
16.本小题分
已知公差不为的等差数列的首项，且、、成等比数列．
求数列的通项公式；
设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且
Ⅰ求证：平面
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
贺同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包元，她决定以此作为启动资金投资股票，每月月底获得的收益是该月月初投入资金的，并从中拿出元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月的炒股，如此继续设第个月月底的股票市值为．
求证：数列为等比数列；
贺同学一年共个月在股市约赚了多少元钱？
19.本小题分
设椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点；若垂直于轴，则．
求椭圆的方程；
椭圆的左右顶点分别为，直线与直线交于点求证：点在定直线上．
参考答案
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15.解：由题意，设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，
圆与轴相切：
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，
结合有：，，
又，，，
圆的标准方程为：．
当直线的斜率不存在时，满足题意
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为．
又圆的圆心为，半径，
由 ，
解得
所以直线方程为，即
即直线的方程为或．
16.解：设等差数列的公差为，则，
由题意可得，即，整理得，
，解得，故．
解：，
所以，，
由得，可得，
所以，满足成立的最大的正整数的值为．
17.解：Ⅰ平面，平面，故．
，，故，故．
，故平面．
Ⅱ如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量，则，即
取得到，，设直线与平面所成角为
故．
18.解：依题意，第个月底股票市值为，
，
则，
又，
数列是首项为，公比为的等比数列．
由知
，即．
即到第个月底贺同学的股票市值为元．
故贺同学一年共个月在股市约赚了元．
19.解：由已知得
所以
所以椭圆的方程为；
设，，
，
联立
得，
所以
可得，
，
所以，
又因为，
所以；
所以点在直线上．
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