阶段测试卷（三）
数学试题
注意事项：
1答卷前，考生务必将自已的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2.已知，则（）
A. B.
C. D.
3.若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
4.下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）
A. B.
C. D.
5.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
6.若函数的解析式为，则（）
A.4041 B.2021 C.2022 D.4043
7.已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（）
A. B. C. D.
8.已知函数，关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是（）
A.函数的最小值为2
B.若，则
C.函数的值域为
D.函数与函数为同一个函数
10.定义在上的函数，则下列结论中正确的是（）
A.的单调递减区间是
B.的单调递增区间是
C.的最大值是
D.的最小值是
11.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.函数的定义域为
B.函数的值域为
C.函数是定义域上的奇函数
D.函数是定义域上的偶函数
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是__________.
13.若区间上递减，则实数的取值范围为__________.
14.已知函数的反函数为，且有，若，则的最小值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
（1）求的解析式；
（2）若在上的值域为，求实数的取值范围.
16.（15分）某小电子产品2023年的价格为9元/件，年销量为件，经销商计划在2024年将该电子产品的价格降为元/件（其中），经调查，顾客的期望价格为5元/件，经测算，该电子产品的价格下降后年销量新增加了件（其中常数）.已知该电子产品的成本价格为4元/件.
（1）写出该电子产品价格下降后，经销商的年收益与实际价格的函数关系式：（年收益=年销售收入-成本）
（2）设，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长20%？
17.（15分）已知函数的图象过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；
（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
18.（17分）已知函数，.
（1）求函数的最大值；
（2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.
19.（17分）已知函数的图象关于原点对称.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）设函数（且）在上的最小值为1，求的值.
阶段测试卷（三）
数学参考答案及评分意见
1.A 【解析】，故.故选A.
2.A 【解析】因为，，所以.故选A.
3.B 【解析】依题意得，当时，恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，
所以，解得的取值范围为，.故选B.
4.C 【解析】对于在上单调递增，且，
可以使用二分法，故A不符合题意；
对于在上连续且单调递增，且，可以使用二分法，
故B不符合题意；
对于C，，故不可以使用二分法，故C符合题意；
对于在上单调递增，
且，
可以使用二分法，故D不符合题意.故选C.
5.B 【解析】当时，恒成立，
当时，，即，
函数在上单调递增.
函数是偶函数，即，
函数的图象关于直线对称，
，
又函数在上单调递增，
，
即.故选B.
6.D 【解析】因为，
所以，
则
.故选D.
7.B 【解析】；
又时，，且为奇函数；
.故选B.
8.D 【解析】令，由，得，
设关于的二次方程的两根分别为，如下图所示：
由于关于的方程有8个不等的实数根，
则，设，
则
因此，实数的取值范围是.故选D.
9.BC 【解析】A选项，，
若，显然该方程无实数解，
故，
所以，
因此最小值不是2，所以本选项不正确；
B选项，因为，
所以，
即，因此本选项正确；
C选项，因为，
所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；
D选项，由可知：，
所以函数的定义域为，由函数可知，或，
所以函数的定义域为或，
因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确，故选BC.
10.ACD 【解析】设，则是增函数，且，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；
，故C正确；
，因此的最小值是，故D正确.故选ACD.
11.AC 【解析】对于函数，
令解得，
函数的定义域为，故A正确；
因为在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，
同理可得在上单调递增，
所以在上递增，
又，
其中，
因为，所以，所以，所以，
则，所以，即，又的值域为，
函数的值域为，故B错误；
又，
函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误.故选AC.
12.【解析】的真子集个数是共有个元素，
所以.
，
若，则有；
若，则有无解.
综上所述，实数的取值范围是.故答案为.
13.【解析】令，其对称轴方程为，
因为在上单调递增，
要使函数在上递减，
则即，
实数的取值范围是.故答案为.
14.【解析】函数的反函数为，
，即，则，
又，则，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为.故答案为.
15.解：（1）设，由得，，
即.
若选择①：则，
即，
则，解得，即；
若选择②：则不等式的解集为，
即，且方程的两根为和4，
则，解得，即.
（2）由（1）知，函数图象开口向上，
对称轴为直线，且，
若在上的值域为，则
令，解得或，根据二次函数的图象知，，
综上所述：实数的取值范围为.
16.解：（1）因为该电子产品价格下降后的价格为元/件，
此时销量增加到件，
此时每件电子产品利润为元.
年收益.
（2）当时，依题意有（1+0.2），
整理得：，
所以或，
又，
所以，
因此当实际价格最低定为7元/件时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长.
17.解：（1）函数的图象过点，
所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，
令，得，
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，
所以，即，解得，
因为，所以的取值为2或3.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
，
所以，
只需，即，
即，
设在上单调递增，
又，且，即，所以，
所以的取值范围是
18.解：（1）
，
，
当，即时，，
当，即时，，
当时，的最大值为2.
（2）由，得，
即，
设，则当
，
设，
由题意，是当时，函数的值域的子集.
①当，即时，函数在上单调递增，
则解得.
②当，即时，函数在上单调递减，
则不等式组无解.
③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最大值是与的较大者.
令，得，
令，得，均不合题意.
综上所述，实数的值为.
19.解：（1）因为函数的图象关于原点对称，
则，
即，整理得，
又因为，则，
所以，解得
（2）由（1）可知，.
可知函数在定义域内单调递增，
证明如下：
任取，且，
因为在定义域内单调递增，则，，
，
，
即，
所以函数在定义域内单调递增.
（3）令，由（2）可知在内单调递增，
且，
即，则，
可得
由题意可知：当时恒成立，
当时，则，符合题意，所以；
当时，当时恒成立，
因为，当且仅当，即时等号
成立，
所以且；
综上所述：且.
当，则图象开口向上，
对称轴，
可知当时，取到最大值，
且在定义域内单调递减，
则，可得，解得（舍去）；
当时，则图象开口向上，
对称轴，
可知当时，取到最小值，
且在定义域内单调递增，
则，可得，解得或（舍去）；
综上所述，的值为.
