敬业中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.若集合,则 .
2.若复数满足(i为虚数单位),则 .
3.已知圆与直线相切,则圆的半径 .
4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:的右焦点重合,则抛物线的方程是 .
5.在二项式的展开式中,的一次项系数为 (用数字作答).
6.已知一个圆柱的高为1,底面半径为,则它的侧面积的大小为 .
7.若为第四象限角,且,则的值是 .
8.函数的严格增区间为 .
9.如图:在中,若,则 .
10.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门,则甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为 .
11.设,函数,若函数与的图像有且仅有一个公共点,则的取值范围是 .
12.已知,若存在定义域为R的函数同时满足下列两个条件：
（1）对任意;
（2）关于的方程无实数解;则的取值范围为 .
二、选空题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13.已知,若,则（ ）.
A. B.
C. D.
14.关于直线及平面,下列合题中正确的是（ ）.
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
15.""是""成立的（ ）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
16.已知函数的定义域为,值域为,函数具有下列性质:(1)若,则;(2)若,则.下列结论正确的是（ ）.
(1)存在,使得;(2)对任意,都有;
A.(1)(2)都正确 B.(1)正确、(2)不正确
C.(1)不正确、(2)正确 D.(1)(2)都不正确
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)
17.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)
如图,四棱锥中,面,为线段上一点,为的中点.
(1)证明：平面：
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)
已知的内角的对边分别为,已知.
(1)若,求的面积:
(2)若,求.
19.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)
已知双曲线以为焦点,且过点.
(1)求双曲线与其渐近线的方程;
(2)若斜率为1的直线与双曲线相交于两点,且(为坐标原点).求直线的方程.
20.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小的6分,第3小题6分,满分18分)
已知函数,其中是常效.
(1)若,判断函数的奇偶性,并说明理由:
(2)若,且函数在严格单调减,求实数的最大值:
(3)若,且不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
21.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分,满分18分)
若函数的导函数是以为周期的函数,则称函数具有"性质".
(1)试判断函数和是否具有"性质"，并说明理由;
(2)已知函数,莫中具有"性质",求函数在上的极小值点;
(3)若函数具有"性质",且存在实数使得对任意都有成立,求证:为周期函数.
(提示:若函数的导函数满足,则(常数).
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.B 14.C 15.C 16.A
15.""是""成立的（ ）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】故选:C。
16.已知函数的定义域为,值域为,函数具有下列性质:(1)若,则;(2)若,则.下列结论正确的是（ ）.
(1)存在,使得;(2)对任意,都有;
A.(1)(2)都正确 B.(1)正确、(2)不正确
C.(1)不正确、(2)正确 D.(1)(2)都不正确
【答案】A
【解析】由分析可知,当时的值域为,
所以一定存在使得,结论(1)正确;
由性质（2）可得当时，,故为无穷集合,
故,结论(2)正确.故选：A.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）（2）
20.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小的6分,第3小题6分,满分18分)
已知函数,其中是常效.
(1)若,判断函数的奇偶性,并说明理由:
(2)若,且函数在严格单调减,求实数的最大值:
(3)若,且不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）2 （3）
【解析】(1)当时,是奇函数,
当且时,,,且,
此时是非奇非偶函数.
(2)因为,且函数在严格单调减
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
当时,上恒成立,,二次函数开口向上,
对称轴,只需,即,
综上，，因此的最大值为2.
(3),因此,易得是奇函数，
当时，
令,可得,令,可得或,
故在单调递减,在单调递增,在单调递减,
因为,当时,,且,
当时,,且,此时的值域为,
所以,又因为,
因此不等式由于最小值为,
所以,解得,故的范围为.
21.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分,满分18分)
若函数的导函数是以为周期的函数,则称函数具有"性质".
(1)试判断函数和是否具有"性质"，并说明理由;
(2)已知函数,莫中具有"性质",求函数在上的极小值点;
(3)若函数具有"性质",且存在实数使得对任意都有成立,求证:为周期函数.
(提示:若函数的导函数满足,则(常数).
【答案】（1）不具有, 具有 （2） （3）见解析
【解析】(1)不具有"性质",
理由是:,即；
具有"性质",理由是:.
(2)法一:,则,
由可得，对恒成立.
令,得①;令,得②.
①+②得,,因此,从而恒成立,,
即有且,由得,,
当时,令可得,列表如下:
函数在的极小值点为.
法二:,
由,可得,
所以即
所以,所以且,
所以且由得,所以,当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为.
（3）证明:令,具有""性质,
,(为常数),
法一:①若是以为周期的周期函数;
②若,由,当时,
,这与矛盾,舍去;
③若,由,当时,
,这与矛盾,舍去.
综上,,所以是周期函数.
法二：当时,,所以是周期函数.
当时,不妨令,记,
其中表示不大于的最大整数.同理可证),
若存在,这
这与矛盾.
若存在,这
这与矛盾.
若不存在,使得或,则,此时,与矛盾,故舍去.
综上,,所以是周期函数.
