2024-2025学年上期高一年级期中考试数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若集合,集合,,则()=（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，（ ）
A． B． C． D．1
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年．
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是( )个.
①函数偶函数； ②函数的值域是；
③若且为有理数，则对任意的恒成立；
④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若，则
C．命题“，”是假命题
D．函数是偶函数，且在上单调递减.
10．下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B．与表示同一函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则的最大值为
B．已知，，，则的最小值是
C．若，则的最小值为4
D．若，，，则的最小值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知集合，若，则实数
13．已知函数，则的单调增区间为
14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知集合，．
(1)当时，求，，()； (2)若，求实数m的取值范围．
16．已知关于x的不等式的解集为．
(1)求m，n的值；
(2)正实数a，b满足，求的最小值．
17．已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．
18．已知函数.
(1)证明：函数是奇函数；
(2)用定义证明：函数在上是增函数；
(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数.
(1)证明：，并求函数的值域；
(2)已知为非零实数，记函数的最大值为.
①求；②求满足的所有实数.
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C A C A B D
9 10 11 12 13 14
CD ACD CD 0 开闭都对
15．【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）当时，可得集合，，
所以，.
，.
（2）由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上实数的取值范围是.
16．【答案】(1)，.(2)9
【详解】（1）由题意：是方程的根，所以.
因为是方程的另外1根，所以
（2）由题意：（，）
所以：（当且仅当即时取“”）.
17．【答案】(1)(2)或
【详解】（1）由题意，解得或3，
若是偶函数，代入检验可得，故；
（2），对称轴是，
若在上是单调函数，则或，解得或．
所以实数的取值范围为或．
18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数.
（2）证明：当时，，
任取，且，
可得
因为，且，可得，，
所以，即，
所以函数在上是增函数.
（3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，所以函数在上是增函数，
又由，可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，，即实数的取值范围.
19．【答案】(1)证明见解析，函数的值域为
(2)①；②或
【详解】（1）解：由函数，
得，解得，所以函数的定义域为，
由函数，
得，解得，所以函数的定义域为，
所以，
，
因为，所以，所以，所以，
又，所以函数的值域为；
（2）解：①由（1）得，则，
令，则，对称轴为，
当时，则，所以，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，；
②因为，
所以，
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
当时，，
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
综上，或.
