焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P，Q的余弦距离为，则（ ）
A. B. C. D.
4.若复数且，则满足的复数的个数为（ ）
A.0 B.2 C.1 D.4
5.已知在中，.若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（ ）
A. B. C. D.3
7.假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前9项和为（ ）
A.0 B. C. D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，的最小值为
B.若的图象关于直线对称，则
C.“”是“为等边三角形”的充要条件
D.“”是“为等边三角形”的必要不充分条件
10.已知函数，下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.若直线是图象的对称轴，则
C.在上的值域为
D.若，且，则
11.如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）
A.存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B.当时，三棱锥体积为
C.当时，三棱锥的外接球表面积为
D.当时，直线与平面所成的角的正弦值为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则 .
13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为 .
14.已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数 是定义域为 的偶函数.
（1）求 的值；
（2）若 ，求函数 的最小值.
16.（15分）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
17.（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A取值的范围；
(2)若，求周长的最大值；
(3)若，求的面积.
18.（17分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.
(1)求证：；
(2)若底面，且，直线与平面所成角为.
（i）确定点的位置，并说明理由；
（ii）求线段的长.
19.（17分）已知数列的前n项和.若，且数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.
焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试
数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】，
14.【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（1）由偶函数定义知 ，即 ，所以 ，对 成立，所以.
（2）由题意知 ，
令 ，所以 ，所以 ，
所以 .
当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，即 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
综上，
16.（15分）（1）由已知，解得，所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
17.（15分）【答案】(1)；(2)6；(3).
18.（1）在正方形中，，又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
则；
（2）（i）当为中点时，有直线与平面所成角为，
证明如下：由平面，可得
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
又为中点，则，
设平面的一个法向量为，
则有，即，令，则，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.
（ii）设点的坐标为，
因为点在棱上，所以可设，
即，所以，
因为是平面的法向量，
所以，即，
解得，故，则，
所以.
19.（17分）（1）证明：由题意知，
当时，，所以.
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以.
（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且.
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是.
