北京市延庆区 2024-2025学年七年级上学期期中数学试题
1．（2024七上·延庆期中）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，第三题中明确提出了正负术．刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”．译文是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若零上记作，则表示（ ）
A．零下 B．零上 C．零上 D．零下
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】若零上记作，则表示零下．
故选：A．
【分析】
此题主要考查正负数的意义，若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论，即可求解．
2．（2024七上·延庆期中）伴随“互联网＋”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据450000000用科学记数法表示为．
故选：C．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
3．（2024七上·延庆期中）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意，有理数在数轴上对应的点的位置，如图所示，
故选：C．
【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，根据，得到对应的点在和之间，且靠近，进行判断，即可求解．
4．（2024七上·延庆期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2和 B．和 C．2和 D．和
【答案】B
【知识点】判断两个数互为相反数；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A中，由2和不互为相反数，故A错误；
B中，由和互为相反数，故B正确；
C中，由和不互为相反数，故C错误；
D中，由和不互为相反数，故D错误．
故选：B．
【分析】本题主要考查了相反数的定义，化简绝对值和多重符号，绝对值相等，符号不同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另外一个数的相反数 ，首先化简绝对值和多重符号，然后根据相反数的定义进行判断即可．
5．（2024七上·延庆期中）图中的数据是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：由，，
∴零件直径的合格范围是：零件直径，
∵，∴不合格．
故选：A．
【分析】本题考查了有理数的加法和减法的实际应用，根据图片信息得出零件直径的合格范围，对比四个选项，即可选出正确答案．
6．（2024七上·延庆期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A中，由不是同类项，不能合并，故A错误；
B中，由，故B错误；
C中，由，故C正确；
D中，由，故D错误；
故选：C．
【分析】此题考查了合并同类项：将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变根据合并同类项法则，逐项判定，即可求解．
7．（2024七上·延庆期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得，，
A中，由，故A错误，不符合题意；
B中，由，故B正确，符合题意；
C中，由，故C错误，不符合题意；
D中，由，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的减法，乘法，根据有理数的乘法法则，判断A选项；根据绝对值的定义，判断B选项；根据数轴上右边的数总比左边的大，判断C选项；根据有理数的减法法则，判断D选项．
8．（2024七上·延庆期中）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第一个正方形需要四个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形，拼第三个正方形需要16个小正方形……想一想，按照这样的方法，拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图可知，第个正方形有个小正方形，
第个正方形有个小正方形，
第个正方形有个小正方形，
∴第个正方形有个小正方形，
∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为，
∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为，
∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为，
…
∴拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为．
故选：D．
【分析】本题考查了图形的变化规律型问题，首先求出前4个正方形中小正方形个数的规律，然后求出后一个正方形比前一个正方形中多出的小正方形的个数的规律，即可求解．
9．（2024七上·延庆期中）在，，0，，，0.016中，是正分数的有 ．
【答案】，，0.016
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：在，，0，，，0.016中，是正分数的有，，0.016，
故答案为：，，0.016．
【分析】此题主要考查有理数的分类， 正分数是指大于零的有理数，也就是可以用两个整数的比表示，分子为正整数，分母为正整数的数 ，根据正分数的意义，进行分析，即可得到答案.
10．（2024七上·延庆期中）用四舍五入法将539.626精确到0.01，所得到的近似数为 ．
【答案】539.63
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：用四舍五入法将539.626精确到0.01，所得到的近似数为539.63．
故答案为：539.63．
【分析】本题考查了近似数与精确度，近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．把千分位上的数字6进行“四舍五入”，即可求解．
11．（2024七上·延庆期中）写出一个含有字母且次数是3的单项式： ；的次数为 ．
【答案】（答案不唯一）；4
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（1）根据单项式的定义，得到一个含有字母且次数是3的单项式：（答案不唯一）；
（2）由多项式，可得多项式的次数为．
故答案为：（答案不唯一）；4．
【分析】本题考查了单项式定义，以及多项式的次数概念，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；多项式的次数是多项式中单项式的最高次作为多项式的次数，据此求解，即可得到答案．
12．（2024七上·延庆期中）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：
【分析】本题考查了有理数大小比较，其中正数大于零，负数小于零，对于负数，绝对值大的反而小，据此分析判断，即可求解．
13．（2024七上·延庆期中）已知，，若，则 ．
【答案】8或
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，∴，或，，
∴当，时，；
当，时，；
故答案为：8或．
【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的运算，代数式的值问题，根据绝对值的定义，求得，，结合，可得，或，，分别代入计算，即可求解．
14．（2024七上·延庆期中）若与是同类项，则 ．
【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了同类项的定义及其应用，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，据此得到，，即可求解．
15．（2024七上·延庆期中）延庆京张路口919总站与德胜门公交车站之间的路程为81千米，919快车从京张路口919总站出发开往德胜门公交车站，每小时行驶千米，行驶了1.2小时，那么919快车距离德胜门公交车站的路程还有 千米（用含有的代数式表示）．
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：919快车距离德胜门公交车站的路程还有千米.
故答案为：．
【分析】本题考查列代数式， 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式 ，根据时间=路程÷速度，列出代数式，即可求解．
16．（2024七上·延庆期中）某运动器材专卖店推出两种优惠活动，并规定只能选择其中一种．
活动一：所购买的商品均按原价打八折；
活动二：所购买的商品按原价每满200元减50元．
（1）若购买一件原价为150元的运动器材，更划算的是活动 ；能省 元．
（2）若购买一件原价为元的运动器材（其中在210元至400元之间），选择活动二比活动一更划算，则的取值范围是 ．
【答案】一；30；210到250之间
【知识点】有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）按照活动一需付费：（元）
按照活动二需付费：150（元）
（元）更划算的是活动一，能省30元；
（2）解：按照活动一需付费：（元）
按照活动二需付费：元
∵选择活动二比活动一更划算，
∴
解得
又∵在210元至400元之间
∴的取值范围是210到250之间．
【分析】本题考查了列代数式，以及理数的乘法和减法的实际应用.
（1）分别按照活动一和活动二的方案，计算出活动后的价格，比较后得到选择哪种活动更合算；
（2）分别表示出按照活动一和按照活动二需付的费用，进而根据选择活动二比选择活动一更合算，列出不等式求解，即可求解．
17．（2024七上·延庆期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“”连接起来．
，，0，.
【答案】解：在数轴上画出各点，如下图所示：
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】本题主要考查数轴及有理数大小的比较，首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，由小到大用 “” 号连接起来，即可求解．
18．（2024七上·延庆期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解：．
．
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的加法运算法则和运算顺序，准确运算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算法则和运算顺序，取括号，准确运算，即可求解.
（1）解：
；
（2）解：．
．
19．（2024七上·延庆期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：代数式可以解释为：某校合唱队男生和女生共50人，其中女生人，那么合唱队中男生为人．
解决问题：请你仿照上面的例子，解释下列式子的意义．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：代数式可以解释为：小明从家开始出发，记向东为正，向西为负，先向东走3米，再向西走2米，离家的距离为；
（2）解：代数式可以解释为：一块橡皮x元钱，一个笔记本y元钱，3个橡皮和4个笔记本总费用为．
【知识点】代数式的实际意义
【解析】【分析】此题考查了代数式的实际意义， 代数式不仅包括数字和字母的组合，还包括这些组合之间的各种代数运算。代数式的定义是用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，据此直接列代数式，即可求解.
（1）解：代数式可以解释为：小明从家开始出发，记向东为正，向西为负，先向东走3米，再向西走2米，离家的距离为；
（2）解：代数式可以解释为：一块橡皮x元钱，一个笔记本y元钱，3个橡皮和4个笔记本总费用为．
20．（2024七上·延庆期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘法法则
【解析】【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和有理数乘法运算， 包括同底数幂法则、正整数指数幂法则、平方差、分数的乘方法则、幂的乘方法则、积的乘方、同指数幂乘法和完全平方等运算法则等.
（1）根据有理数乘法运算法则，进行计算，即可求解；
（2）根据有理数四则混合运算法则，进行计算，即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．（2024七上·延庆期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；有括号时，先算小括号，后算中括号，再算大括号.
（1）利用有理数的乘法分配律，准确计算，即可求解；
（2）根据有理数的混合运算法则，先计算乘方，然后计算乘除，再计算括号里的，最后计算加减，即即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
22．（2024七上·延庆期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】本题考查了整式的加减混合运算，以及合并同类项问题，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算；如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法；在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，据此去括号、合并同类项，即可求解.
23．（2024七上·延庆期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
当，时，
原式．
【知识点】去括号法则及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题主要查了整式加减的混合运算—化简求值．先去括号，再合并同类项得到，然后把，代入计算结果，即可得到答案.
24．（2024七上·延庆期中）有10袋大米，以每袋为标准，把超过标准的千克数记作正数，少于标准的千克数记作负数，如下表：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
质量/ 24.9 24.8 25.1 25.2 24.8 b 24.7 25.2 24.7 c
差值 a 0.1 0.2 0 0.2 0.4
（1）______，______，______；
（2）请你计算这10袋大米的总质量；
（3）某超市的配送范围为延庆城区及周边以内，若订单的质量在以内及，只收取6元基础运费；超出的部分按照每千克0.2元加收续重运费（不足1千克的按1千克收费）．若将这10袋大米配送到某学校食堂（该食堂在超市的配送范围内），则运费是多少元？
【答案】（1）；25；25.4
（2）解：；
答：10袋大米的总质量为；
（3）解：根据题意， 这10袋大米配送到某学校食堂的费用为，
答：运费是48元．
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：(1)，，；
【分析】本题考查了正数与负数，有理数的运算在实际中的应用．
（1）根据 每袋为标准，结合表格中的数据，结合有理数的运算性质，列式求解即可；
（2）根据表格中的数据，结合有理数的运算法则，求出10袋大米的总重量，结合用10×50加上正负数的和，即可求解；
（3）根据题意，结合有理数的混合运算法则，列式求解，即可得到答案．
（1）解：，，；
故答案为：；25；
（2）解：；
答：10袋大米的总质量为；
（3）解：；
答：运费是48元．
25．（2024七上·延庆期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答．
思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果：
解答： 解：
解决问题：
请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答．
【答案】解：①观察、判断运算类型：有理数的加法；
②再观察运算对象：异号两数；
③确定和的符号：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，因为，
，所以确定和的符号为“”；
④确定和的绝对值：根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，
所以；
⑤得出结果：，
解：．
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算法则，观察、判断运算类型，异号两数，根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，逐步计算，即可求解.
26．（2024七上·延庆期中）如图，正方形的边长为．
（1）根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）若，满足，求出阴影部分的面积．
【答案】（1）解：
.
（2）解：；
且，
且，
，
答：阴影部分的面积为12．
【知识点】绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意，结合矩形和三角形的面积公式，得到，列代数式，即可求解；
（2）根据平方式与绝对值的非负性，得到且，求出，值，再代入代数式计算即可．
（1）解：；
；
（2）；
且，
且，
，
答：阴影部分的面积为12．
27．（2024七上·延庆期中）探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧．
（1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则：
两数进行“”运算时，______；
一个数与0进行“”运算时，______．
（2）计算：；
（3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）．
【答案】（1）同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值
（2）解：
.
（3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用.例如：
；
这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用
【知识点】有理数的加法法则；有理数的加法运算律
【解析】解：（1） 由“”运算的运算法则：
两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加.
一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值.
【分析】（1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解；
（2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可求解；
（3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解．
（1）解： “”运算的运算法则：
两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加.
一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值
（2）解：
（3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用.
例如：
；
这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用
28．（2024七上·延庆期中）在数轴上，对于不重合的三点，点，点，原点给出如下定义：如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么就把点叫做点的“倍关联点”．
例如：图①中，点表示的数是，点表示的数是2，点到原点的距离是1，点到点的距离是3，就把点叫做点的“3倍关联点”．
（1）当点表示的数是时，
①如果点表示的数是6，那么点叫做点的“___倍关联点”；
②如果点是点的“2倍关联点”，那么点表示的数是______；
（2）如果点表示的数是1，点是点的“倍关联点”，且点表示的数是大于－4且小于4的整数，那么整数的最大值为______．
【答案】（1）①4；②2或
（2）解：∵点表示的数是1，∴点到原点的距离为，
∵点是点的“倍关联点”，
∴点到点的距离是；
设点表示的数是，则；
∵，
∴，
∴，即，
∴整数的最大值为4，
故答案为：4．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】解：(1)①∵点表示的数是，点表示的数是6，
∴点到原点的距离为，点到点的距离是；
∵，∴点叫做点的“4倍关联点”；
②设点表示的数，
点到点的距离是；
∵点是点的“2倍关联点”，∴，
解得：2或，
∴点表示的数是2或.
【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离公式，结合点到原点的距离为，点到点的距离是，即可求解；
②设点表示的数，得到点到点的距离是，求得，即可求解；
（2）由题意得点到点的距离是，设点表示的数是，得到，结合可推出，求得，即可求解.
（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是6，
∴点到原点的距离为，点到点的距离是；
∵，
∴点叫做点的“4倍关联点”；
②设点表示的数，
点到点的距离是；
∵点是点的“2倍关联点”，
∴，
解得：2或，
∴点表示的数是2或
故答案为：①4；②2或；
（2）解：∵点表示的数是1，
∴点到原点的距离为，
∵点是点的“倍关联点”，
∴点到点的距离是；
设点表示的数是，则；
∵，
∴，
∴，即，
∴整数的最大值为4，
故答案为：4．
北京市延庆区 2024-2025学年七年级上学期期中数学试题
1．（2024七上·延庆期中）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，第三题中明确提出了正负术．刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”．译文是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若零上记作，则表示（ ）
A．零下 B．零上 C．零上 D．零下
2．（2024七上·延庆期中）伴随“互联网＋”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·延庆期中）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·延庆期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2和 B．和 C．2和 D．和
5．（2024七上·延庆期中）图中的数据是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七上·延庆期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·延庆期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·延庆期中）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第一个正方形需要四个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形，拼第三个正方形需要16个小正方形……想一想，按照这样的方法，拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2024七上·延庆期中）在，，0，，，0.016中，是正分数的有 ．
10．（2024七上·延庆期中）用四舍五入法将539.626精确到0.01，所得到的近似数为 ．
11．（2024七上·延庆期中）写出一个含有字母且次数是3的单项式： ；的次数为 ．
12．（2024七上·延庆期中）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．（2024七上·延庆期中）已知，，若，则 ．
14．（2024七上·延庆期中）若与是同类项，则 ．
15．（2024七上·延庆期中）延庆京张路口919总站与德胜门公交车站之间的路程为81千米，919快车从京张路口919总站出发开往德胜门公交车站，每小时行驶千米，行驶了1.2小时，那么919快车距离德胜门公交车站的路程还有 千米（用含有的代数式表示）．
16．（2024七上·延庆期中）某运动器材专卖店推出两种优惠活动，并规定只能选择其中一种．
活动一：所购买的商品均按原价打八折；
活动二：所购买的商品按原价每满200元减50元．
（1）若购买一件原价为150元的运动器材，更划算的是活动 ；能省 元．
（2）若购买一件原价为元的运动器材（其中在210元至400元之间），选择活动二比活动一更划算，则的取值范围是 ．
17．（2024七上·延庆期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“”连接起来．
，，0，.
18．（2024七上·延庆期中）计算：
（1）；
（2）．
19．（2024七上·延庆期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：代数式可以解释为：某校合唱队男生和女生共50人，其中女生人，那么合唱队中男生为人．
解决问题：请你仿照上面的例子，解释下列式子的意义．
（1）；
（2）．
20．（2024七上·延庆期中）计算：
（1）；
（2）．
21．（2024七上·延庆期中）计算：
（1）；
（2）．
22．（2024七上·延庆期中）计算：．
23．（2024七上·延庆期中）先化简，再求值：，其中，．
24．（2024七上·延庆期中）有10袋大米，以每袋为标准，把超过标准的千克数记作正数，少于标准的千克数记作负数，如下表：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
质量/ 24.9 24.8 25.1 25.2 24.8 b 24.7 25.2 24.7 c
差值 a 0.1 0.2 0 0.2 0.4
（1）______，______，______；
（2）请你计算这10袋大米的总质量；
（3）某超市的配送范围为延庆城区及周边以内，若订单的质量在以内及，只收取6元基础运费；超出的部分按照每千克0.2元加收续重运费（不足1千克的按1千克收费）．若将这10袋大米配送到某学校食堂（该食堂在超市的配送范围内），则运费是多少元？
25．（2024七上·延庆期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答．
思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果：
解答： 解：
解决问题：
请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答．
26．（2024七上·延庆期中）如图，正方形的边长为．
（1）根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）若，满足，求出阴影部分的面积．
27．（2024七上·延庆期中）探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧．
（1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则：
两数进行“”运算时，______；
一个数与0进行“”运算时，______．
（2）计算：；
（3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）．
28．（2024七上·延庆期中）在数轴上，对于不重合的三点，点，点，原点给出如下定义：如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么就把点叫做点的“倍关联点”．
例如：图①中，点表示的数是，点表示的数是2，点到原点的距离是1，点到点的距离是3，就把点叫做点的“3倍关联点”．
（1）当点表示的数是时，
①如果点表示的数是6，那么点叫做点的“___倍关联点”；
②如果点是点的“2倍关联点”，那么点表示的数是______；
（2）如果点表示的数是1，点是点的“倍关联点”，且点表示的数是大于－4且小于4的整数，那么整数的最大值为______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】若零上记作，则表示零下．
故选：A．
【分析】
此题主要考查正负数的意义，若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论，即可求解．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据450000000用科学记数法表示为．
故选：C．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
3．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意，有理数在数轴上对应的点的位置，如图所示，
故选：C．
【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，根据，得到对应的点在和之间，且靠近，进行判断，即可求解．
4．【答案】B
【知识点】判断两个数互为相反数；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A中，由2和不互为相反数，故A错误；
B中，由和互为相反数，故B正确；
C中，由和不互为相反数，故C错误；
D中，由和不互为相反数，故D错误．
故选：B．
【分析】本题主要考查了相反数的定义，化简绝对值和多重符号，绝对值相等，符号不同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另外一个数的相反数 ，首先化简绝对值和多重符号，然后根据相反数的定义进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：由，，
∴零件直径的合格范围是：零件直径，
∵，∴不合格．
故选：A．
【分析】本题考查了有理数的加法和减法的实际应用，根据图片信息得出零件直径的合格范围，对比四个选项，即可选出正确答案．
6．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A中，由不是同类项，不能合并，故A错误；
B中，由，故B错误；
C中，由，故C正确；
D中，由，故D错误；
故选：C．
【分析】此题考查了合并同类项：将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变根据合并同类项法则，逐项判定，即可求解．
7．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得，，
A中，由，故A错误，不符合题意；
B中，由，故B正确，符合题意；
C中，由，故C错误，不符合题意；
D中，由，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的减法，乘法，根据有理数的乘法法则，判断A选项；根据绝对值的定义，判断B选项；根据数轴上右边的数总比左边的大，判断C选项；根据有理数的减法法则，判断D选项．
8．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图可知，第个正方形有个小正方形，
第个正方形有个小正方形，
第个正方形有个小正方形，
∴第个正方形有个小正方形，
∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为，
∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为，
∴第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为，
…
∴拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形的个数为．
故选：D．
【分析】本题考查了图形的变化规律型问题，首先求出前4个正方形中小正方形个数的规律，然后求出后一个正方形比前一个正方形中多出的小正方形的个数的规律，即可求解．
9．【答案】，，0.016
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：在，，0，，，0.016中，是正分数的有，，0.016，
故答案为：，，0.016．
【分析】此题主要考查有理数的分类， 正分数是指大于零的有理数，也就是可以用两个整数的比表示，分子为正整数，分母为正整数的数 ，根据正分数的意义，进行分析，即可得到答案.
10．【答案】539.63
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：用四舍五入法将539.626精确到0.01，所得到的近似数为539.63．
故答案为：539.63．
【分析】本题考查了近似数与精确度，近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．把千分位上的数字6进行“四舍五入”，即可求解．
11．【答案】（答案不唯一）；4
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（1）根据单项式的定义，得到一个含有字母且次数是3的单项式：（答案不唯一）；
（2）由多项式，可得多项式的次数为．
故答案为：（答案不唯一）；4．
【分析】本题考查了单项式定义，以及多项式的次数概念，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；多项式的次数是多项式中单项式的最高次作为多项式的次数，据此求解，即可得到答案．
12．【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：
【分析】本题考查了有理数大小比较，其中正数大于零，负数小于零，对于负数，绝对值大的反而小，据此分析判断，即可求解．
13．【答案】8或
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，∴，或，，
∴当，时，；
当，时，；
故答案为：8或．
【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的运算，代数式的值问题，根据绝对值的定义，求得，，结合，可得，或，，分别代入计算，即可求解．
14．【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了同类项的定义及其应用，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，据此得到，，即可求解．
15．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：919快车距离德胜门公交车站的路程还有千米.
故答案为：．
【分析】本题考查列代数式， 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式 ，根据时间=路程÷速度，列出代数式，即可求解．
16．【答案】一；30；210到250之间
【知识点】有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）按照活动一需付费：（元）
按照活动二需付费：150（元）
（元）更划算的是活动一，能省30元；
（2）解：按照活动一需付费：（元）
按照活动二需付费：元
∵选择活动二比活动一更划算，
∴
解得
又∵在210元至400元之间
∴的取值范围是210到250之间．
【分析】本题考查了列代数式，以及理数的乘法和减法的实际应用.
（1）分别按照活动一和活动二的方案，计算出活动后的价格，比较后得到选择哪种活动更合算；
（2）分别表示出按照活动一和按照活动二需付的费用，进而根据选择活动二比选择活动一更合算，列出不等式求解，即可求解．
17．【答案】解：在数轴上画出各点，如下图所示：
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】本题主要考查数轴及有理数大小的比较，首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，由小到大用 “” 号连接起来，即可求解．
18．【答案】（1）解：
.
（2）解：．
．
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的加法运算法则和运算顺序，准确运算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算法则和运算顺序，取括号，准确运算，即可求解.
（1）解：
；
（2）解：．
．
19．【答案】（1）解：代数式可以解释为：小明从家开始出发，记向东为正，向西为负，先向东走3米，再向西走2米，离家的距离为；
（2）解：代数式可以解释为：一块橡皮x元钱，一个笔记本y元钱，3个橡皮和4个笔记本总费用为．
【知识点】代数式的实际意义
【解析】【分析】此题考查了代数式的实际意义， 代数式不仅包括数字和字母的组合，还包括这些组合之间的各种代数运算。代数式的定义是用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，据此直接列代数式，即可求解.
（1）解：代数式可以解释为：小明从家开始出发，记向东为正，向西为负，先向东走3米，再向西走2米，离家的距离为；
（2）解：代数式可以解释为：一块橡皮x元钱，一个笔记本y元钱，3个橡皮和4个笔记本总费用为．
20．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘法法则
【解析】【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和有理数乘法运算， 包括同底数幂法则、正整数指数幂法则、平方差、分数的乘方法则、幂的乘方法则、积的乘方、同指数幂乘法和完全平方等运算法则等.
（1）根据有理数乘法运算法则，进行计算，即可求解；
（2）根据有理数四则混合运算法则，进行计算，即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；有括号时，先算小括号，后算中括号，再算大括号.
（1）利用有理数的乘法分配律，准确计算，即可求解；
（2）根据有理数的混合运算法则，先计算乘方，然后计算乘除，再计算括号里的，最后计算加减，即即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
22．【答案】解：
．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】本题考查了整式的加减混合运算，以及合并同类项问题，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算；如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法；在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，据此去括号、合并同类项，即可求解.
23．【答案】解：
当，时，
原式．
【知识点】去括号法则及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题主要查了整式加减的混合运算—化简求值．先去括号，再合并同类项得到，然后把，代入计算结果，即可得到答案.
24．【答案】（1）；25；25.4
（2）解：；
答：10袋大米的总质量为；
（3）解：根据题意， 这10袋大米配送到某学校食堂的费用为，
答：运费是48元．
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：(1)，，；
【分析】本题考查了正数与负数，有理数的运算在实际中的应用．
（1）根据 每袋为标准，结合表格中的数据，结合有理数的运算性质，列式求解即可；
（2）根据表格中的数据，结合有理数的运算法则，求出10袋大米的总重量，结合用10×50加上正负数的和，即可求解；
（3）根据题意，结合有理数的混合运算法则，列式求解，即可得到答案．
（1）解：，，；
故答案为：；25；
（2）解：；
答：10袋大米的总质量为；
（3）解：；
答：运费是48元．
25．【答案】解：①观察、判断运算类型：有理数的加法；
②再观察运算对象：异号两数；
③确定和的符号：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，因为，
，所以确定和的符号为“”；
④确定和的绝对值：根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，
所以；
⑤得出结果：，
解：．
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算法则，观察、判断运算类型，异号两数，根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，逐步计算，即可求解.
26．【答案】（1）解：
.
（2）解：；
且，
且，
，
答：阴影部分的面积为12．
【知识点】绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意，结合矩形和三角形的面积公式，得到，列代数式，即可求解；
（2）根据平方式与绝对值的非负性，得到且，求出，值，再代入代数式计算即可．
（1）解：；
；
（2）；
且，
且，
，
答：阴影部分的面积为12．
27．【答案】（1）同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值
（2）解：
.
（3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用.例如：
；
这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用
【知识点】有理数的加法法则；有理数的加法运算律
【解析】解：（1） 由“”运算的运算法则：
两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加.
一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值.
【分析】（1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解；
（2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可求解；
（3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解．
（1）解： “”运算的运算法则：
两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加.
一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值
（2）解：
（3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用.
例如：
；
这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用
28．【答案】（1）①4；②2或
（2）解：∵点表示的数是1，∴点到原点的距离为，
∵点是点的“倍关联点”，
∴点到点的距离是；
设点表示的数是，则；
∵，
∴，
∴，即，
∴整数的最大值为4，
故答案为：4．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】解：(1)①∵点表示的数是，点表示的数是6，
∴点到原点的距离为，点到点的距离是；
∵，∴点叫做点的“4倍关联点”；
②设点表示的数，
点到点的距离是；
∵点是点的“2倍关联点”，∴，
解得：2或，
∴点表示的数是2或.
【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离公式，结合点到原点的距离为，点到点的距离是，即可求解；
②设点表示的数，得到点到点的距离是，求得，即可求解；
（2）由题意得点到点的距离是，设点表示的数是，得到，结合可推出，求得，即可求解.
（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是6，
∴点到原点的距离为，点到点的距离是；
∵，
∴点叫做点的“4倍关联点”；
②设点表示的数，
点到点的距离是；
∵点是点的“2倍关联点”，
∴，
解得：2或，
∴点表示的数是2或
故答案为：①4；②2或；
（2）解：∵点表示的数是1，
∴点到原点的距离为，
∵点是点的“倍关联点”，
∴点到点的距离是；
设点表示的数是，则；
∵，
∴，
∴，即，
∴整数的最大值为4，
故答案为：4．
