2.3 等腰三角形的性质定理同步练习2024-2025学年八年级上册数学浙教版
第一课时
例1 在螳螂的示意图2-3-1中,AB∥DE,△ABC 是等腰三角形,∠ABC = 124°,∠CDE=72°,则∠ACD等于 ( )
A.16° B. 28° C. 44° D. 45°
例2 如图2-3-2,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧,交直线BC于点 P,连结AP,则∠BAP 的度数是 .
例3 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1:在等腰三角形ABC中,∠A=100°,求∠B 的度数.(答案:40°)
例2:在等腰三角形ABC中,∠A=50°,求∠B的度数.(答案:50°或65°或80°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题.
变式:在等腰三角形ABC中,∠A=70°,求∠B的度数.
(1)请你解答小敏编的变式题.
(2)解第(1)小题后小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.
同步训练
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°.若CD∥AB,则∠BCD的度数为 ( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC于点D,连结BD,则∠ABD的度数为( )
A. 36° B. 46°
C. 54° D. 72°
3.如图,在△ABC中,DE是AC 的垂直平分线,且分别交 BC,AC于点D,E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD 的度数为 ( )
A. 50° B. 70°
C. 75° D. 80°
4.已知等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个内角的度数为 ( )
A. 70°,70°
B. 40°,100°
C. 70°,70°或40°,100°
D. 40°,70°
5.量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中,OA=OB,射线OC 交边AB 于点D，则∠ADC的度数为 ( )
A. 60° B. 70° C. 80° D. 85°
6.如图,在△ABC中,D是边 BC 上的一点.若AB = AD = DC,且∠BAD= 44°,则∠C的度数为 .
7.如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B 的南偏西40°方向，C 在B 的南偏东35°方向，且B，C到A 的距离相等，求小岛C相对于小岛A 的方向.
8.如图，△ABC三个内角的平分线相交于点O,点 D在AB 的延长线上,AD=AC,BD=BO.若∠ACB=40°,求∠ABC的度数.
9.如图,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,点 C 在直线b上,直线a交AB 于点 D,交 AC 于点 E.若∠1 =145°,则∠2的度数为( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
10.在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若 则∠A的度数为 ( )
A. 14° B. 13° C. 12° D. 11°
11.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 .
12.已知△ABC是三边都不相等的三角形，P是三个内角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，当点 P，O 同时在△ABC的内部时,求∠BOC 和∠BPC 之间的数量关系.
13. 如图,△ABC 是等腰三角形,CA=CB,∠ACB=90°,点 M 在边AC 上,点 N 在边BC 上(点M，N不与所在线段端点重合),BN=AM,连结AN,BM.射线AG∥BC,延长BM交射线AG 于点D,点 E在直线AN上,且AE=DE.
(1)求证:△ACN≌△BCM.
(2)求∠BDE的度数.
14.(1)已知在△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数).
已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系.
第二课时
例1 如图2-3-4,已知D,E两点在线段BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.
例2 如图2-3-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,连结AE 并延长,交BC的延长线于点 F，连结BE.
(1)求证:AD=CF.
(2)若AB=BC+AD,求证:BE⊥AF.
例3 如图2-3-6,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC 于点D.
②作边 AB 的垂直平分线EF,EF 与AD相交于点 P.
③连结PB,PC.
请你观察图形并解答下列问题：
(1)线段 PA,PB,PC 之间的数量关系是
(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.
同步训练
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D 是BC 中点，下列结论错误的是 ( )
A. BD=CD B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. BC=2AD
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC 中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为 ( )
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 60°
3.如图,在△ABC中,AB=AC=6,AD⊥BC,垂足为D.若CD=4,则△ABC的周长为 ( )
A. 18 B. 20
C. 22 D. 24
4.根据等腰三角形的性质定理2填空：如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)∵AD⊥BC,
∴∠ =∠ , = .
(2)∵AD是△ABC的中线,∴ ⊥ ,∠ =∠ .
(3)∵AD是∠BAC的平分线,∴ ⊥ , = .
5.如图，在等边三角形ABC中，D是边BC 的中点,则∠B= ,∠C= ,∠BAC= ,∠BAD= .
6.如图,在△ABC中.点 D在BC边上,BD=AD=AC,E 为CD 的中点.若∠CAE=16°,求∠B的度数.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,点 F在AC上,延长BA 至点E,使AE=AF,连结EF,求AD与EF 之间的位置关系.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交 AC,AD,AB于点E，O，F，则图中全等的三角形的对数是 ( )
A.1 B. 2
C. 3 D. 4
9.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,点B关于AC 的对称点 B'恰好落在CD上.若∠BAD=110°,则∠ACB的度数为 ( )
A. 40° B. 35°
C. 60° D. 70°
10.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD 与CE 相交于点O,连结AO,有如下命题:①∠1=∠2;②OE=OD;③∠3=∠4;④AO所在的直线是线段BC 的对称轴.其中属于真命题的是 (填序号)，选择其中一个并写出推理过程.
11.如图,在 中， D 是BC 的中点， 于点 F,交 AD 于点 E, 求证：
12.如图，在等腰三角形ABC中，. 的平分线与AB 的垂直平分线相交于点O，点C 沿EF 折叠后与点O重合，求 的度数.
