2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：九上第二章一元二次方程+第四章图形的相似+第六章反比例函数+九下第一章直角三
角形的边角关系+第二章二次函数。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分 40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．已知 为锐角，且 sin
1
，则 （ ）
2
A．30 B． 45 C．60 D．90
2．将一元二次方程 x2 8x 5 0化成 (x a)2 b（a，b为常数）的形式，则 a，b的值分别是（ ）
A． 4，21 B． 4，11 C．4，21 D． 8，69
3．抛物线 y 2(x 9)2 3的顶点坐标是（ ）
A． (9, 3) B． ( 9, 3) C． (9,3) D． ( 9,3)
4．下列函数中， y随 x的增大而减小的是（ ）
3
A． y (x 0) B． y x 3
x
1
C． y 2x2 (x 0) D． y x
4
5．如图，在平面直角坐标系中，V AOB与△COD是以原点为位似中心的位似图形，若 AC 3OA，点 B的
坐标为 (1,3)，则点 D的坐标为（ ）
A． (2,6) B． ( 2, 6) C． (3,9) D． ( 3, 9)
6．据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020 年和 2022 年全国居民人均可
支配收入分别为 3.2 万元和 3.7 万元．设 2020 年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x，
依题意可列方程为（ ）
A．3.2(1 x)2 3.7 B．3.2(1 x)2 3.7
C．3.7(1 x)2 3.2 D．3.7(1 x)2 3.2
7．已知△ABC∽△DEF，且 AB 3，DE 6，若V ABC的周长为 20，则 DEF的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80
8．已知二次函数 y ax2 2x c，其中 ac 0，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点 C与点 D重合，折痕
CE
为 EF，且点 E点 F分别在边 AC和 BC上，则 的值为( )
CF
11 3 4 8
A． B． C． D．
13 5 5 9
10．函数 y x2 4 x 2的自变量 x的取值范围为全体实数，其中 x 0部分的图象如图所示，对于此函数有
下列结论：
①函数图象关于 y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当 x< 2时，y随 x的增大而减小；
④当 6 a 2 x x2时，关于 的方程 4 x 2 a有 4 个实数根；
其中正确的结论个数是．（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，满分 20分）
11．若 x 2是关于 x的方程 x2 x 2m 0的一个解，则m的值是 ．
3
12．如图，P是反比例函数 y = 图象上一点，PA⊥x轴于点 A，则 S
x PAO
．
13．如图， AB表示一个窗户，窗户的下端到地面距离BC 0.5m， AM 和BN表示射入室内的光线．若某
一时刻BC在地面的影长CN 0.4m， AC在地面的影长CM 2m，则窗户的高度为 ．
14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度 y m 和
x m y 1 2 4运动员出手点的水平距离 之间的函数关系为 x x 2，由此可知铅球的落地点与运动员出手
10 5
点的水平距离是 m．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点 D是 BC边上的一动点（不与 B，C重合），∠ADE＝∠B＝∠α，
DE交 AB于点 E，且 tan∠α＝ ，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当 CD＝9时，△ACD与△DBE
全等；③△BDE为直角三角形时，BD为 12 或 ；④0＜BE≤5，其中正确的结论是 （填
入正确结论的序号）
三、解答题（本大题共 10小题，满分 90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 116．（7 分）计算： 2 3 tan 60 2023
2
17 2．（7 分）已知二次函数 y mx m 1 x m 1有最小值为 0，求 m的值．
18．（7 分）如图，在V ABC中， AB = AC = 5，点 P为 BC边上一动点（不与点 B，C重合），过点 P作射线
PM交 AC于点 M， APM B， BC 8．
(1)求证：△ABP∽△PCM ；
(2)当BP 2时，求CM的值．
19．（8 分）已知 A(n, 2),B(2, 3)
m
两点是一次函数 y kx b和反比例函数 y 图象的两个交点．
x
(1)求一次函数的解析式和m的值；
(2)求V AOB的面积．
20．（8 分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设
计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建 AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，
中途设计了一段与 AF 平行的观光平台 BC为50m．索道 AB与 AF 的夹角为15 ，CD与水平线夹角为 45 ，
A、B两处的水平距离 AE为576m，DF AF，垂足为点 F．（图中所有点都在同一平面内，点 A、E、F在
同一水平线上）
(1)求索道 AB的长（结果精确到1m）；
(2)求水平距离 AF 的长（结果精确到1m）．
（参考数据： sin15 0.25， cos15 0.96， tan15 0.26， 2 1.41）
21．（9 分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图 2，将喷灌架置于坡度为1:5的坡地底部点 O
处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1 米，当
喷射出的水流与喷水头的水平距离为 20 米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9 米．
(1)求图 2 中抛物线表达式；
(2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度 AB的长；
(3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离．
22．（10 分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，增加盈利，尽量
减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 5 元，商场平均每天可多售
出 10 件．求：
（1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天盈利 1600 元，可能吗？请说明理由．
23．（10 分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来
改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值 RL 2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电
U
阻R、RL之间关系为 I R R ，通过实验得出如下数据：L
R / Ω … 1 a 3 4 6 …
I / A … 4 3 2.4 2 b …
(1) a _______，b _______；
y 12(2)【探究】根据以上实验，构建出函数 x 0 12，结合表格信息，探究函数 y x 0 的图象
x 2 x 2
与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数 y x 0 的图象；
x 2
②随着自变量 x的不断增大，函数值 y的变化趋势是_________．
x 0 12 3(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 时， x 6的解集为________．
x 2 2
24．（12 分）如图 1，在Rt△ABC和Rt△CDE中， ACB DCE 90 ， CAB CDE 45 ，点 D是线
段 AB上一动点，连接 BE ．
BE
(1)填空：① 的值为 ；② DBE的度数为 ．
AD
(2)类比探究：如图 2，在Rt△ABC和Rt△CDE中， ACB DCE 90 ， CAB CDE 60 ，点 D是
BE
线段 AB上一动点，连接 BE ．请求出的 值及 DBE的度数，并说明理由．
AD
(3)拓展延伸：如图 3，在Rt△ABC和Rt△CDE中， ACB DCE 90 ， CAB CDE，点 D是线段 AB
上一动点，连接 BE ，P为DE中点．若 AC 6，BC 8，在点 D从 A点运动到 B点的过程中，请直接写出
点 P经过的路径长．
25．（12 分）如图 1，已知二次函数图象与 y轴交点为C(0,3)，其顶点为D(1, 2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直线CD与 x轴交于M ，现将线段CM上下移动，若线段CM与二次函数的图象有交点，求CM向上和向
下平移的最大距离；
(3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90 ，得到抛物
线G，如图 2 所示，直线 y x 2与G交于A， B两点， P为G上位于直线 AB左侧一点，求 ABP面积
最大值，及此时点 P的坐标．2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A B A B B C C A C
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
3
11．3 12． 13． 2m 14．10 15．②③
2
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7 分）
1
【详解】解： 2 3 tan 60 1 2023
2
2 3 3 2 2023 --------------------------------2 分
2 3 2 2023 --------------------------------4 分
2020 --------------------------------7 分
2020
17．（7 分）
2
【详解】解：∵ y mx m 1 x m 1有最小值 0，
4m m 2 1 m 1
∴ 0且m 0，--------------------------------3 分
4m
1
解得m 1或m （舍去）．--------------------------------5 分
3
经检验：m 1是该方程的解．--------------------------------6 分
即 m的值为 1．--------------------------------7 分
18．（7 分）
【详解】（1）证明： AB AC，
B C．--------------------------------1 分
APM B，
BAP 180 B APB 180 APM APB CPM ，--------------------------------2 分
△ABP∽△PCM ．--------------------------------3 分
（2）解： AB AC 5， BC 8，BP 2，
CP 6．--------------------------------4 分
△ABP∽△PCM ，
AB BP ，--------------------------------5 分
PC CM
5 2 ，--------------------------------6 分
6 CM
CM 12 ．--------------------------------7 分
5
19．（8 分）
m
【详解】（1）解：由题意可得：点 B(2, 3)在反比例函数 y 图象上，
x
∴m 6，--------------------------------1 分
y 6∴反比例函数的解析式为 ，--------------------------------2 分
x
将 A(n, 2)代入 y
6
，得： n 3，即 A( 3, 2)，
x
∵一次函数 y kx b图象经过 A( 3,2),B(2, 3) ，
3k b 2
∴ ，
2k b 3
k 1
解得： ，--------------------------------3 分
b 1
∴一次函数的解析式为 y= x 1；--------------------------------4 分
（2）解：设一次函数 y= x 1的图象与 x轴交于C点，
当 y 0时， x 1，
∴点C( 1,0)，--------------------------------6 分
∴OC 1，--------------------------------7 分
S S S 1 1 5∴ AOB AOC BOC 1 2 1 3 ．--------------------------------8 分2 2 2
20．（8 分）
【详解】（1）解：∵ A、B两处的水平距离 AE为576m，索道 AB与 AF 的夹角为15 ，-------------------2 分
AB AE 576∴ 600m；--------------------------------4 分
cos15 0.96
（2）解：过点 C 作水平线 CG 交 DF 于点 G,
∵ AB、CD两段长度相等，CD与水平线夹角为45 ，
2 1.41
∴CD 600m，CG CD cos 45 600 600 423m，--------------------------------6 分
2 2
∴ AF AE BC CG 576 50 423 1049m；--------------------------------8 分
21．（9 分）
【详解】（1）∵ 抛物线的顶点坐标为 20,9 ，且过点 0,1 ，
2
设抛物线的解析式为 y a x 20 9，--------------------------------1 分
∴1 a 0 20 2 9，
a 1解得 ，--------------------------------2 分
50
y 1故抛物线的解析式为 x 20 2 1 9或 y x2 4 x 1．--------------------------------3 分
50 50 5
（2）设铅直高度 AB与水平面的交点为 N，
BN 1
根据坡比为1:5，得 ，ON 20，--------------------------------4 分
ON 5
解得 BN 4， --------------------------------5 分
AB AN BN 9 4 5(米)．
答：铅直高度 AB为 5 米．--------------------------------6 分
（3）设点 P为抛物线上的一点，且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为 PM 3.5米且 PM与水平面的交
点为 G，
设G n,0 ，则OG n，
∵坡比为1:5，
MG 1
∴ ，
OG 5
1
解得MG n，
5
1
∴P n, n 3.5
，--------------------------------7 分
5
1 2
∵点 P在抛物线 y x 20 9上，
50
1 1
∴ n 3.5 n 20 2 9，--------------------------------8 分
5 50
整理，得 n2 30n 125 0，
解得 n1 5,n2 25，
答：水流与喷水头的水平距离为 5 米或 25 米．--------------------------------9 分
22．（10 分）
【详解】（1）设每件衬衫应降价 x 元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200--------------------------------2 分
整理，得 x2-30x+200=0
解得 x1=10，x2=20． --------------------------------3 分
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10 应略去，--------------------------------4 分
∴x=20．
答：每件衬衫应降价 20 元．--------------------------------5 分
（2）不可能．理由如下：--------------------------------6 分
令 y=（40-x）（20+2x），--------------------------------7 分
当 y=1600 时，（40-x）（20+2x）=1600
整理得 x2-30x+400=0--------------------------------8 分
∵△=900-4×400＜0，
方程无实数根．--------------------------------9 分
∴商场平均每天不可能盈利 1600 元．--------------------------------10 分
23．（10 分）
12
【详解】（1）解：由题意， I ，
R 2
12
当 I 3时，由3 得 a 2，
a 2
12
当 R 6时，b 1.5，
6 2
故答案为：2，1.5；--------------------------------2 分
12
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数 y x 0 的图象如图：
x 2
--------------------------------4 分
②由图象可知，随着自变量 x的不断增大，函数值 y逐渐减小，
故答案为：函数值 y逐渐减小；--------------------------------6 分
3
（3）解：当 x 2时， y 2 6 3，当 x 0时， y 6，
2
12
∴函数 y x 0 与函数 y 3 x 6的图象交点坐标为 2,3 ， 0,6 ，
x 2 2
3
在同一平面直角坐标系中画出函数 y x 6的图象，如图，
2
由图知，当 x 2或 = 0 12 3时， x 6，
x 2 2
12 3
即当 x 0时， x 6的解集为 x 2或 = 0，
x 2 2
故答案为： x 2或 = 0．--------------------------------10 分
24．（12 分）
【详解】（1）①∵ ACB DCE 90 ， CAB CDE 45 ，
∴ ABC CAB 45 CDE CED，
∴ AC BC，CD CE，
∵ ACB DCE 90 ，
∴ ACD BCE，
在 ACD和 BCE中，
AC BC
ACD BCE，
CD CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE AD， CAB CBE 45 ，
BE
∴ 1
AD
故答案为：1；--------------------------------2 分
②由①得： ABC 45 ， CAB CBE 45 ，
∴ DBE ABC CBE 90 ，
故答案为：90°；--------------------------------4 分
BE
（2）解： 3， DBE 90 ，理由如下：
AD
∵ ACB DCE 90 ， CAB CDE 60 ，
∴ ACD BCE， CED ABC 30 ，
∴BC 3AC，
BC
∴ 3，--------------------------------5 分
AC
∵ ACB DCE 90 ， CAB CDE 60 ，
∴ ACB∽ DCE，--------------------------------6 分
AC CD
∴ ，
BC CE
同①得： ACD BCE，
∴△ACD∽△BCE，--------------------------------7 分
BE BC
∴ 3， CBE CAD 60 ，
AD AC
∴ DBE ABC CBE 90 ；--------------------------------8 分
（3）解：同（2）得：△ACD∽△BCE，
∴ A CBE，
∵ ACB 90 ，
∴ A ABC 90 ，
∴ CBE ABC 90 ，即 DBE 90 ，
当点 D与 A重合时，点 E与 B重合， AB的中点，记为P ；
当点 D与 B重合时，点 E是 AC的延长线与 BE 的延长线的交点，记为 E ，如图 3 所示：
则点 P的运动轨迹为 P P ， P P 是 ABE 的中位线，
∴ P P
1
AE ，
2
∵ ACB BCE 90 ， A CBE ，
∴ ABC∽ BE C，
BC AC 8 6
∴ ，即 ，
CE BC CE 8
CE 32∴ ，
3
∴ AE
50
AC CE ，
3
P P 1∴ AE
25
，
2 3
25
即 P点经过的路径长为 ．--------------------------------12 分
3
25．（12 分）
【详解】（1）解： 顶点D(1, 2)，
设二次函数的解析式为 y a(x 1)2 2，--------------------------------1 分
把 (0,3)代入得：3 a 2，
a 1，--------------------------------2 分
y (x 1)2 2，
即 y x2 2x 3；--------------------------------3 分
（2）解：由点C、D的坐标得，直线CD解析式为 y x 3，
M (3,0)，--------------------------------4 分
①设直线CD向下平移最大距离为m，
平移后的直线解析式为 y x 3 m，
此时直线与抛物线有一个交点，
把 y x 3 m 代入 y x2 2x 3，
得 x2 2x 3 x 3 m，--------------------------------5 分
x2 x m 0，
△ 1 4m 0，
即：m
1
．--------------------------------6 分
4
②设直线CD向上平移最大距离为 n，
此时C，M 对应点为C ，M ，
则M (3,m)，
当M 恰在二次函数上时，
32 2 3 3 m，--------------------------------7 分
m 6，
向上平移的最大距离为 6．
综上，CM 1向下平移的最大距离为 ，向上平移的最大距离为 6；--------------------------------84 分
（3）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为 (0,0)，
则函数的解析式为： y = x2，
设 F(m,m2 ) 为 y = x2 上一点，
F绕O顺时针旋转90 后，对应点为 F ，
则△FMO≌△F M O，
则 FM F M m，FN OM OM m2，
F : (m2， m)，
若F在 y轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以G : x y2 ，
把 y x 2 代入 x y2，
y2 y 2，
解得： y1 2， y2 1；
则 A(1,1)， B(4, 2)，--------------------------------9 分
设： P(m2，m)，
过点 P作PQ∥x轴交 AB于点Q，
AB : y x 2，
Q(2 m,m)，
PQ 2 m m2，
S 1 ABP PQ(yA yB )2
1
(2 m m2 ) 3
2
3 3
m2 m 3，--------------------------------10 分
2 2
m 1当
27
时， S ABP有最大值， Smax ，--------------------------------11 分2 8
P 1 , 1 此时 ．--------------------------------12 分
4 2
