2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大：第一章勾股定理 15%+第二章实数 14%+第三章位置与坐标 7%+第四章一次函
数 37%+第五章二元一次方程 16%+第六章数据的分析 11%。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分 40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．下列二次根式中，最简二次根式的是( )
A． 18 B． 8 C． 10 D 1．
2
2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C
3．“杂交水稻之父”袁隆平培有的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的
长势，从稻田中随机抽取 7 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则
这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．23，25 B．23，24 C．24，24 D．24，25
4．若点 P1 a 1, 2 2024和P2 3,b 1 关于 x轴对称，则 a b 的值为（ ）
A． 32024 B．1 C．32024 D．52024
5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数加上 18，结果恰好成为数字对调后组成的两
位数，求这个两位数．设个位数字为 x，十位数字为 y，所列方程组正确的是（ ）
x y 8 x y 8
A． B
xy 18 yx
．
x 10y 18 10x y
x y 8 x y 8
C． D．
10x y 18 yx
10 x y yx
6．已知点 4, y1 ， 2, y2 都在直线 y x 3上，则 y1与 y2的大小关系为（ ）
A． y1 y2 B． y1 y2 C． y1 y2 D．无法确定
x y k 2
7．方程组 + 2 ( )
x 3y k
的解适合方程 x y＝ ，则 k值为
1
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣
2
8．甲、乙两车从 A地出发，沿同一路线驶向 B地．甲车先出发匀速驶向 B地，40min后，乙车出发，匀速
行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km / h，结
果与甲车同时到达 B地．甲乙两车距 A地的路程 y km 与乙车行驶时间 x h 之间的函数图象如图所示，则
下列说法：① a 4.5；②甲的速度是 60km / h ；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距 B地
180km．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．如图，在Rt△ABC中， B = 90°，AD平分 BAC，DE垂直平分 AC，若 AB 3，则DE的值为（ ）
A 3． B 2 3． 3 C．1 D．
3 3
1
10．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线 l1： y x 1与 y2 轴交于点A，过
点A作 x轴的平行线交直线 l2：y x于点O ，过点O 作 y1 1 轴的平行线交直线 l1于点 A1，以此类推，令OA a1，
O1A1 a2，…，On 1An 1 an，若a1 a2 an S对任意大于 1 的整数 n恒成立，则S的最小值为（ ）
A．1.5 B．1.75 C．1.875 D． 2
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，满分 20分）
11．将直线 y=﹣7x+4 向下平移 3 个单位长度后得到的直线的表达式是 ．
12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计
算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的
运动员是 ．
甲 乙 丙
x /环 9.7 9.6 9.7
s2 0.095 0.032 0.023
y mx n y y mx n13．如图，直线 y x 3与 交点的横坐标为1，则关于 x、 的二元一次方程组
y x 3
的解
为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为 (1,1)、 (4,1)、 (2,3)，若直线 y kx与V ABC的
三边有两个公共点，则 k的取值范围为 ．
15．如图，长方形 中， = = 6， = = 10．点 为线段 上的一个动点，△ 与△ '
关于直线 对称，当△ ' 为直角三角形时， 为
三、解答题（本大题共 10小题，满分 90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7 分）计算下列各题：
(1) 3 12 2 27 ；
1
(2) 18 8．
2
17．（7 分）解方程组
x y 10
(1) ；
2x y 1
2x 2y 15
(2) ．
5x 4y 35
18．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，V ABC三个顶点的坐标分别为 A 0，2 ，B 2，0 ，C 5，3 ．
(1)画出V ABC关于 y轴对称的△A1B1C1，写出C1的坐标______；
(2)计算：V ABC的面积是______；
(3)若点 P为 y轴上一动点，使得 PB PC的值最小，直接写出点 P的坐标______．
19．（8 分）某商场计划购进 A，B两种服装共 100 件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格
进价(元/件) 售价(元/件)
类型
A 30 45
B 50 70
(1)若商场预计进货用 3500 元，则这两种服装各购进多少件
(2)若商场规定 A种服装进货不少于 50 件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为
多少元
20．（8 分）甲、乙两车从 A城出发匀速行驶至 B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A城的距离 y（千
米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示：
(1)甲车出发 小时后，乙车才出发；
(2)甲车的速度为 km/h，乙车的速度为 km/h；
(3)请直接写出乙车对应函数的关系式 ；
(4)甲、乙两车经过 小时后第一次相遇．
21．（9 分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今
年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽
取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题：
(1)本次共抽取了______名学生的捐款；
(2)补全条形统计图；
(3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元；
(4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额．
22．（10 分）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、
分母同时乘以同一个不等于 0 的数，以达到化去分母中根号的目的．
1 1 1 ( 3 2)
例如：化简 ．解： 3 2．
3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2)
[理解应用]
2
(1)化简： ；
5 3
2
(2)若 a是 6 的小数部分，化简 a
1 1 1 1
(3)化简：
3 1 5 3 7 5 2023 2021
23．（10 分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离
分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，
数和形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析
【提出问题】已知0 x 1，求 1 x2 1 1 x 2 的最小值
2
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 1 x2 和 1 1 x 的线
段，将代数．求．和．转．化．为．线．段．求和问题．
【解决问题】
(1)如图，我们可以构造边长为 1 的正方形 ABCD，P为 BC边上的动点．设 BP x，则 PC 1 x．则
1 x2 1 1 x 2 ______+______的线段和；
(2) 2在（1）的条件下，已知0 x 1，求 1 x2 1 1 x 的最小值；
(3)【应用拓展】应用数形结合思想，求 x2 9 x2 12x 37的最大值．
24．（12 分）如图，直线 l1 : y
1
x 2和直线 l2与 x轴分别相交于 A,B两点，且两直线相交于点C，直线 l2 2与
y轴相交于点D 0, 4 ,OA 2OB．
(1)求出直线 l2的函数表达式；
(2) E是 x轴上一点，若 S ABC 2S BCE，求点 E的坐标；
(3)若F是直线 l1上方且位于 y轴上一点， ACF 2 CAO，判断V BCF的形状并说明理由．
25．（12 分）如图 1，在同一平面直角坐标系中，直线 AB：y 2x b与直线 AC：y kx 3相交于点 A m，4 ，
与 x轴交于点 B 4，0 ，直线 AC与 x轴交于点 C．
(1)填空：b ，m ， k ；
(2)如图 2，点 D为线段 BC上一动点，将 ACD沿直线 AD翻折得到△AED，线段 AE交 x轴于点 F．
①求线段 AE的长度；
②当点 E落在 y轴上时，求点 E的坐标；
③若 DEF为直角三角形，请直接写出满足条件的点 D的坐标．2024-2025 学年八年级数学上学期第三次月考卷
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B C B B C D C D
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
x 1 1 3
11．y=﹣7x+1 12．丙 13． 14． k 15．2
y 2 4 2
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7 分）
【详解】（1）解：原式 3 2 3 6 3，--------------------------------1 分
5 3；--------------------------------3 分
2
（2）解：原式 3 2 2 2 ，--------------------------------4 分
2
5 2
2 2，--------------------------------5 分
2
10．--------------------------------7 分
17．（7 分）
x y 10①
【详解】（1） ，
2x y 1②
① ②得：3x 9，
解得 x 3．--------------------------------1 分
把 x 3代入①得：3 y 10，
解得 y 7，--------------------------------2 分
x 3
故原方程组的解是： ；--------------------------------3 分
y 7
2x 2y 15①
（2） ，
5x 4y 35②
① 2得： 4x 4y 30③，--------------------------------4 分
② ③得： x 5，--------------------------------5 分
把 x 5代入①得：10 2 y 15，
解得 y
5
，--------------------------------6 分
2
x 5
故原方程组的解是： 5 ．--------------------------------7 分
y 2
18．（7 分）
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为 5，3 ，
，--------------------------------1 分
故答案为： 5，3 ；--------------------------------2 分
1 1 1
（2）解： S ABC 2 3 5 2 2 3 3 6，2 2 2
故答案为：6；--------------------------------4 分
（3）解：连接 B1C交 y轴于点 P，连接BP，此时满足PB PC的值最小，
设直线 B1C的解析式为： y kx b，
2k b 0
将 B1 2，0 ，C 5，3 代入得： ，
5k b 3
k 3 7
解得： ，
b 6
7
直线 B1C的解析式为： y
3 6
x ，
7 7
6
令 x 0，则 y ，
7
0 6 点 P的坐标为 ， ，
7
6
故答案为： 0， ．--------------------------------7 分
7
19．（8 分）
【详解】（1）解：设购进 A种服装 a件，B种服装 b件，--------------------------------1 分
a b 100
，，--------------------------------2 分
30a 50b 3500
a 75
解得 ，--------------------------------3 分
b 25
答：购进 A种服装 75 件，B种服装 25 件．--------------------------------4 分
（2）设 A种服装进货为 x件，则 B种服装进货为（100 x）件，总的利润为 w元，
由题意可得：w＝（45 30）x＋（70 50）（100 x）＝ 5x＋2000，--------------------------------5 分
∴w随 x的增大而减小，
∵商场规定 A种服装进货不少于 50 件，购进 A，B两种服装共 100 件，
∴50≤x≤100，--------------------------------6 分
∴当 x＝50 时，w取得最大值，此时 w＝1750，100 x＝50，--------------------------------7 分
答：当购进 A种服装 50 件，乙种服装 50 件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为 1750
元．--------------------------------8 分
20．（8 分）
【详解】（1）由图像可直接得出：甲车出发 1 小时后，乙车才出发；
故答案为：1；--------------------------------2 分
（2）由图像可知，甲车的速度为 240 5 48(km/h ) ,
乙车的速度为 240 (4 1) 80(km/h)，
故答案为：48；80；--------------------------------4 分
（3）设乙所在的直线解析式为 y kt b，
k b 0
把 (1,0)
， (4, 240)代入解析式得： ，
4k b 240
k 80
解得 ，
b 80
∴乙所在的直线解析式为 y 80t 80，
故答案为： y 80t 80；--------------------------------6 分
（4）设甲出发 t小时，两车相遇，
根据题意得： 48t 80(t 1)，
解得 t 2.5，
∴甲、乙两车经过 2.5 小时后第一次相遇．
故答案为：2.5．--------------------------------8 分
21．（9 分）
【详解】（1）解：条形图中捐款5元的有4人，饼图中捐款5元的百分比为8%，
∴本次共抽取的捐款学生有： 4 8% 50（名），
故答案为：50；--------------------------------2 分
（2）解：样本容量为50，
∴捐款15元的人数为：50 4 16 10 8 12（人），--------------------------------3 分
∴补全条形统计图如下，
--------------------------------4 分
（3）解：捐款5元的有 4人，捐款10元的有16人，捐款15元的有12人，捐款 20元的有10人，捐款30元的
有8人，
∴捐款的众数是10，
捐款的中位数是第 25名， 26名的和的一半，
15 15
∴捐款的中位数是： 15，
2
故答案为：10，15；--------------------------------6 分
5 4 10 16 15 12 20 10 30 8 20 160 180 200 240
（4）解： 16，----------------------------8 分
50 50
∴本次抽取样本学生捐款的平均金额为16元．--------------------------------9 分
22．（10 分）
2
【详解】（1）解：（1）
5 3
2 5 3
--------------------------------1 分5 3 5 3
5 3；--------------------------------3 分
（2）∵a是 6 的小数部分，且2 6 3，--------------------------------4 分
∴a 6 2，--------------------------------5 分
2 2 2 6 2
∴ 6 2 ；--------------------------------6 分a 6 2 6 2 6 2
1 1 1 1
（3）
3 1 5 3 7 5 2023 2021
3 1 5 3 7 5 2023 2021
--------------------------------7 分
2 2 2 2
1
3 1 5 3 7 5 2023 2021 --------------------------------8 分2
2023 1
．--------------------------------10 分
2
23．（10 分）
【详解】（1）解：由题意可得：
1 x2 1 1 x 2 AP DP的线段和；--------------------------------3 分
（2）作点D关于 BC的对称点 D ，连接 AD ，
则DD 1 1 2，
则 AP PD的最小值即为 AD 的长，--------------------------------4 分
在Rt△ADD 中，由勾股定理得， AD AD 2 DD 2 12 22 5 ，--------------------------------5 分
1 x2 1 1 x 2即 的最小值为 5 ；--------------------------------6 分
故答案为： 5 ；
（3） x2 9 x2 12x 37 x2 32 (x 6)2 12 ，--------------------------------7 分
如图， AB 3，CD 1，BC 6， AB BC，CD BC，
设BE x，
--------------------------------8 分
则 x2 32 (x 6)2 12 AE DE，
当点A、D、E三点共线时， AE ED的最大值为 AD，
延长 AD， BC交于 E，作DH AB于 H ，
可得 AH AB BH AB CD 2，DH BC 6，
由勾股定理得， AD AH 2 DH 2 22 62 2 10，--------------------------------9 分
x2 9 x2 12x 37的最大值为 2 10．--------------------------------10 分
24．（12 分）
1
【详解】（1）解：当 y 0时， x 2 0，解得 x 4，
2
∴ A 4,0 ，
∴ AO 4，--------------------------------1 分
∵OA 2OB，
∴OB 2，
∴ B 2,0 ，--------------------------------2 分
设直线 l2的函数表达式为 y kx b，
把 B 2,0 ，D 0, 4 代入，
2k b 0
得 ，
b 4
k 2
解得 ，--------------------------------3 分
b 4
∴直线 l2的函数表达式为 y 2x 4；--------------------------------4 分
y 2x 4
（2）解：联立方程组 ，
y
1
x 2
2
x 4
解得 ，
y 4
∴C 4,4 ，--------------------------------5 分
∵ S ABC 2S BCE，
1
∴ 2 4
1
4 2 BE 4，--------------------------------6 分2 2
∴BE 3，
∵ B 2,0 ，
∴E 5,0 或 1,0 ；--------------------------------8 分
（3）解：V BCF是等腰直角三角形.--------------------------------9 分
理由：设直线 l1与 y轴交于点 E，过点 C作CG y轴于点 G，
∵C 4,4
∴OG 4，--------------------------------10 分
y 1对于 x 2，当 x 0，则 y 2，
2
∴E 0,2 ，
∴OE 2，
∴GE OG OE 2，
∵CG y轴， AO y轴，
∴CG∥ AO，
∴ CAO ACG，
∵ ACF 2 CAO，
∴ ACF 2 ACG，
∴ ECG FCG，
又 CGE CGF 90 ，CG CG，
∴ CGE≌ CFG，
∴FG EG 2，
∴OF 6，
∴ F 0,6 ，--------------------------------11 分
∴BF 2 22 62 40，CF 2 4 6 2 42 20， BC 2 4 2 2 42 20，
∴BF 2 CF 2 BC 2 ， BC FC，
∴ BCF 90 ，
∴V BCF 是等腰直角三角形．--------------------------------12 分
25．（12 分）
【详解】（1）解：把 B 4，0 代入 y 2x b，
∵0 2 4 b，
∴b 8，
∴直线 AB： y 2x 8，
把 A m，4 代入 y 2x 8，
∴m 2，
∴ A 2，4 ，
把 A 2，4 代入y = kx +3，
∵4 2 k 3，
∴ k
1
．
2
1
故答案为：8， 2， ；--------------------------------3 分
2
1
（2）解：①∵直线 AC： y x 3，
2
∴点 C的坐标为 6，0 ，--------------------------------4 分
如下图，过点 A作 AH y轴于点 H，作 AG x轴于点 G，则 AH 2，CG 8，
∵ ACD翻折得到△AED
∴ AE 2 AC 2 6 2 2 42 80，--------------------------------5 分
∴ AE 4 5 --------------------------------6 分
②当 E点落在 y轴上时，
在Rt△AHE中，
∵ AE2 AH 2 HE2
∴HE AE2 AH 2 80 22 2 19，--------------------------------7 分
∴OE HE OH 2 19 4，--------------------------------8 分
∴点 E的坐标为 0，4 2 19 ；--------------------------------9 分
③如下图，
ADC ADE 360 90 当 EDF 90 时，由翻折得 135 ，
2
∴ ADO 135 90 45 ，
∵ AG 4，
∴DG AG 4，
∴OD DG OG 4 2 2，
∴点 D的坐标为 2，0 ； --------------------------------10 分
如下图，
当 DFE 90 时， AE AC 80 4 5，
设DF x，则 DE = DC = 8- x ，
2
在Rt△DEF中，由勾股定理得： 8 x 2 x2 4 5 4 ，
解得： x 2 5 2，
∴OD DF OF 2 5 4，
∴点 D的坐标为 2 5 4,0 ， --------------------------------11 分
综上，点 D的坐标为 2，0 或 2 5 4,0 ．--------------------------------12 分
