5.2二次函数的图像和性质
一、填空题
1．已知二次函数，当时，y随x的增大而 ．
2．如果抛物线不经过第三象限，那么k的值可以是 ．（只需写一个）
3．已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则 ．
4．对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
-1
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，则y1 y2．(填“＞”“＜”或“＝”)
6．已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为 ．
二、单选题
7．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
9．抛物线向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
10．将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11．在同一平面直角坐标系中，一次函数（，，为常数）与二次函数（，，为常数）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
13．对于函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是 B．图象开口向上
C．图象关于直线 对称 D．图象最大值为﹣9
14．若点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
15．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B，直线y2=mx+n（m≠0）经过A、B两点，下列结论：
①当x＜1时，有y1＜y2；
②a+b+c=m+n；
③b2﹣4ac=﹣12a；
④若m﹣n=﹣5，则B点坐标为（4，0）
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
16．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列说法∶①；②；③；④ 若，是抛物线上的两点，则；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
三、解答题
17．求抛物线y=2x2﹣3x+1的顶点和对称轴．
18．已知二次函数．
（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
（2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大．
19．《2024年政府工作报告》明确提出优化消费环境的目标，开展了“消费促进年”活动和实施“放心消费行动”等多项举措，旨在引导消费市场正向发展．某文具店为回馈顾客一直以来的信赖与支持，特地推出了商品促销活动．顾客每购买一本笔记本便赠送两支铅笔，若顾客一次性购买支钢笔（为正整数），则每支钢笔的价格在售价的基础上降低元．已知一本笔记本比一支铅笔贵元，钢笔的售价为元/支．
（1）小华到此文具店购买了本笔记本，支铅笔，共消费元，求此文具店所售卖笔记本和铅笔的单价．
（2）小明计划到此文具店买支铅笔和笔记本若干，但身上只带了元，问小明最多可以买多少本笔记本？
（3）已知此文具店所售卖钢笔的进价为元/支，当顾客一次性购买多少只钢笔时，文具店此次交易的利润达到最大值？
20．根据解析式业出二次函数图象， 并结合图象从开口方向、对称轴、顶点坐标、是否过定点、 变化对函数图象的影响几个方面分析图象特征．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
四、计算题
21．（1）计算：．
（2）求二次函数的最小值．
22．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣8x=0．
（2）x2﹣3x+4=0．
（3）y= x2﹣x+3，求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
23．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】减小
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
2．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
3．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】-1；3
【知识点】二次函数y=ax²的图象
5．【答案】>
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
6．【答案】-12＜ｙ<-3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
13．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
14．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
15．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
16．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
17．【答案】解：∵y=2x2﹣3x+1=2（x﹣ ）2﹣ ，
∴抛物线y=2x2﹣3x+1的顶点坐标为（ ，﹣ ），对称轴是x= ．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
18．【答案】（1），
（2）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
19．【答案】（1）一本笔记本的单价为 10 元，一支铅笔的单价为 2 元
（2）小明最多可以买6本笔记本
（3）当顾客一次性购买6只钢笔时，文具店此次交易的利润达到最大值，最大利润为144元
【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
20．【答案】（1）解：① ， 其图象如图 ①所示． ①开口向上 (开口方向不变、开口大小不变)；
②对称轴为直线 (对称轴不变)；③顶点坐标为 ) (上下移动)； ④图象不过定点；⑤ 随着 的变化， 函数图象上下平移．
（2）解：， 其图象如图 ②所示．
①开口向上 (开口方向不变、开口大小不变)；②对称轴为直线 (左右平移)；③顶点坐标为 ；④过定点 ； ⑤随着 的变化， 函数图象上下左右平移．
（3）解：， 其图象如图 ③所示．
①开口方向不确定， 开口大小变化； ②对称轴为直线 会变化； ④过定点 ； ⑤ 随着 的变化， 图象的开口方向和开口大小发生变化．
（4）解： ， 其图象如图④所示．
①函数图象开口方向和大小不定；②函数图象的对称轴为直线 ；③顶点坐标为 ； ④函数图象过定点 ， 即与 轴交于点 ； ⑤ 随 的变化， 函数图象开口方向、开口大小、顶点坐标在变，对称轴不变．
（5）解： ， 其图象如图⑤)所示．
①开口方向、大小不确定；② 函数图象的对称轴为直线 ； ③函数图象过定点 ； ④顶点坐标为 ； ⑤若 ， 当 越来越大时， 开口越来越小， 顶点下移； 若 ， 当 越来越大时， 开口越来越小， 顶点上移．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
21．【答案】（1）2023；（2）
【知识点】二次根式的性质与化简；二次函数的最值
22．【答案】（1）解： 或
（2）解： ∴原方程无解．
（3）解： ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 顶点坐标为
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
23．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
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