2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册第21章-第25章
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．方程 x2 3x的解是 （ ）
A． x 0 B． x 3 C． x 0或 x 3 D． x 3
2．新能源汽车是指使用除汽油、柴油等传统能源的汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺．近几年，
新能源汽车如雨后春笋，发展迅速．以下几个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点 1, y ， 1 a, y 21 2 ， 1 2a, y3 在二次函数 y ax bx c的图象上，且当 x 0和 x 2时，函数
值相等，则下列说法不可能成立的是（ ）
A． y1 y2 y3 B． y3 y1 y2
C． y3 y2 y1 D．该函数对称轴为 x 1
4．如图，锐角V ABC中， B 45 ，要作V ABC的高线CD，下列说法正确的是（ ）
甲的作法： 乙的作法： 丙的作法
A．只有甲对 B．只有乙和丙对 C．只有甲和丙对 D．甲，乙，丙都对
5．下列诗句所描写的是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣——白居易《赋得古原草送别》
B．白发三千丈，缘愁似个长——李白《秋浦歌》
C．年年岁岁花相似，岁岁年年人不同——刘希夷《代悲白头翁》
D．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙——赵师秀《约客》
6．某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为 2万元，共销售 60台．根据市场调查知：这种机床每台售
价每增加0.1万元，就会少售出 1台．四月份该专卖店想将销售额提高 25%，则这种机床每台的售价应
定为（ ）
A．3万元 B．5万元 C．8万元 D．3万元或 5万元
7．如图，二次函数 y x2 2x 3的图象与 x轴正半轴交于点 A，与 y轴正半轴交于点 B，设二次函数图象
上点 A，B之间的部分（含点 A，B）为曲线 L，过点C 0,5 作直线 l∥ x轴．将曲线 L向上平移 m个单
位长度，若曲线 L与直线 l有两个交点，则 m的取值范围为（ ）
A．m 1 B．1 m 2 C．1 m 2 D．1 m 2
8．在正方形 ABCD中，将 AB绕点A逆时针旋转到 AE，旋转角为 ，连接 BE，并延长至点 F ，使CF CB，
连接 DF，则∠DFC的度数是（ ）
A． 45 B． 45 C．90 D．2 45 2 2
9．如图，扇形 OBA中，点 C在弧 AB上，连接 BC，P为 BC中点．若OA 6， AOB 120 ，则点 C沿
弧从点 B运动到点 A的过程中，点 P所经过的路径长为（ ）
A． 4 B．2 C．3 3 D．6
10．如图，在矩形 ABCD中，点 E是 AB的中点，点 F是 BC的中点，连接 EF，G是 EF的中点，连接 DG．在
△BEF中， BE 2， BFE 30 ，若将△BEF绕点 B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段 DG长的
最大值是（ ）
A． 67 B．2 17 C．10 D．12
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．我国古典的“四部小说”《水浒传》《西游记》《三国演义》《红楼梦》．在中国文学史上有着非常重要的地
位，被誉为中国古典小说代表作．也是世界文化遗产之一，若从这四本著作中，随机抽取 1本，则抽
取的是《水汻传》的概率是 ．
12．如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径OA 60 cm，刷子的长度
AB 40 cm．当雨刮器摆动时，最大旋转角 AOD = 81°，则雨刮器的刷子 AB扫过的面积（图中阴影
部分）为 cm2（结果保留 ）．
13．某公园计划在一块长为 10米，宽为 8米的矩形草坪中央划分出一块 30平方米的矩形区域作为宠物乐
园，若宠物乐园四周草坪的宽度都一样，记为 x米，根据题意，请列．出．方．程． ．（不化简，
不解答）
14．二次函数 y ax 2 bx 1（ a，b是常数， a 0)的图象过点 (1, 2)．现有以下结论：
①b 1；
x 1②若 ，则 y随 x的增大而增大；
2
③若该抛物线过点 ( 2,0)， P(m,n)
5 1
在抛物线上，则在m 时， n ；
2 24
④若该抛物线与直线 y x没有交点，则0 a 4；
其中，正确的结论是 ．
15．如图，已知V ABC和V ADE为等腰直角三角形， ACB AED 90 ，AC 10 ，AE 2，连接CE、
BD．在△AED绕点 A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于 AD时， BD ．
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（8分）用适当的方法解下列方程：
(1) x 1 2 2 x 1 ；
(2) x2 2x 1 0．
17．（8分）如图，AB为 O直径，点C为 O上一点，AC平分 HAB，AH CH ，垂足为 H ，AH交 O
于点D．
(1)求证：直线HC是 O的切线；
(2)若HC 8，DH 4，求 O的直径．
18．（8分）如图，在四边形 ABCD中， DAB 30o，连接 AC，将V ABC绕点 B逆时针旋转 60°，点 C与
点 D重合，得到△EBD，若 AB 5， AD 4
(1)求证： ABE是等边三角形；
(2)求线段 AC的长度．
19．（8分）随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激
发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取
的 27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某
旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一
条路线．
(1)小米家这周想选 A路线，小明家选不到 A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状
图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
20．（9分）请根据以下素材，完成探究任务.
制定购买方案
巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款吉祥物“弗里吉”钥匙扣样式，网店第
背景 1
一次用 850元购进A款钥匙扣 20件、 B款钥匙扣 10件，且每件A比每件 B贵 5元.
购买
A款钥匙扣售价为 45元/件， B款钥匙扣售价为 37元/件，第一次购进的“弗里吉”钥匙扣
背景
背景 2 售完后，该网店计划再次购进A、B两款“弗里吉”钥匙扣共 80件（进货价和售价均不变），
且进货总价不高于 2200元.
巴黎奥运会临近结束时，网店打算把 B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天
背景 3
可销售 4件，经过调查发现，销售价每降价 1元，平均可多售 2件.
若A款钥匙扣的进价为 x元/件， B款钥匙扣的进价为 y元/件，列表如下：
类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货量（件） 20 10
信息
整理 进价（元/件） y
售价（元/件） 45 37
单件利润（元/件） ① ②
任务 1 求两款钥匙扣的进价
探究 任务 2 请完成填空①和②，根据背景 2中的信息，获得的销售利润最大为 元.
任务
网店要使 B款钥匙扣的销售利润平均每天达到 90元，每件 B款钥匙扣的定价应为多少
任务 3
元？
21．（9分）阅读与理解
阅读下列材料，完成后面任务：
汽车能通过隧道吗？如图 1，在通过隧道时，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上
的高度至少为 0.5米，那么怎样确定通过隧道车辆的限制高度（在最边缘能通过的最大高度）？小明所在的
数学兴趣小组对此进行了如下研究：
【测量数据】首先测量哪些数据？如何进行测量．
如图 2，这是隧道的横截面，已知该隧道内设双行线公路，它是由抛物线 AOB和矩形 ABCD组成的，测得
隧道宽 AB 10米，矩形的边长BC 2米，隧道最高处距路面OF 7米．
【建立坐标系】老师根据所给的数据，以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为 y轴，建立平面直角
坐标系．
【计算限制高度】老师让同学们根据老师所建立的坐标系及所给的数据确定通过隧道车辆的限制高度．
任务：
(1)根据老师所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
(2)若行车道总宽度MN为 7米，请计算可以通过该隧道的车辆的限制高度为多少米？
1 9
22．（12分）如图，抛物线 y a x h 2 k的顶点坐标是 ( , )，与 x轴交于点A、点 B 2,0 ，与 y轴交于
2 4
点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 BOC的面积；
(3)点 P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以 B、C、 P、Q为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（13分）综合与实践
旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成
新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或
等边）三角形、正方形中常进行旋转变换．
(1)正方形中的“旋转"：如图①，点 E、点 F分别是正方形的边 DC、BC上的点，连接 AF、FE、AE，
若 EAF 45 ，则 BF、DE、EF之间的数量关系为______．
问题解决：将V ADE绕点 A顺时针旋转 90°，得到 ABG，则点 G、点 B、点 F三点 ，可
证明△AEF≌ ，从而得出结论．请你完成上述全等关系的证明．
(2)如图②，P为正方形 ABCD内一点，且PA 1， PB 2， PC 3，请你确定 APB的度数：
APB = ．
小杰同学的思路是：设法将 PA、PB、PC相对集中，于是将 BCP绕点 B顺时针旋转 90°得到 BAE，
连接 PE，确定△PBE与V APE的形状分别为： ，问题得以解决．
(3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题：
如图③，P点是等边三角形 ABC内一点，若 APB 115 ， APC 120 ，请你直接写出：以线段 PA、
PB、PC的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为 ．2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A B D D D B A B C
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11 1． 12．720p 13． (8 2x)(10 2x) 304 14．①②④ 15． 2 2或 4 2
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（8分）
2
【详解】（1）解：∵ x 1 2 x 1 ，
∴ x 1 2 2 x 1 0， .........................................................................................................1分
∴ x 1 2 x 1 0 ， .......................................................................................................2分
∴ x 3 0或 x 1 0， ......................................................................................................3分
解得 x1 1，x2 3； ..........................................................................................................4分
（2）解：∵ x 2 2 x 1 0 ，
∴ x2 2x 1， ..........................................................................................................................5分
∴ x2 2x 1 2，
x 1 2∴ 2， ....................................................................................................................6分
∴ x 1 2， ......................................................................................................................7分
解得 x1 1 2，x2 1 2． ..........................................................................................8分
17．（8分）
【详解】（1）证明：连接OC，
∵ AC平分 HAB，
∴ DAC CAO， ..............................................................................................1分
∵ AO CO，
∴ OAC ACO，
∴ DAC ACO， ........................................................................................2分
∴ AD∥OC，即 AH∥OC，
∵ AH CH ，
∴OC CH， .....................................................................................................3分
又OC是 O的半径；
∴直线HC是 O的切线； ...........................................................................4分
（2）解：作OI AH于点 I，则 AI DI ，
∵ OCH CHI OIH 90 ，HC 8，DH 4，
∴四边形OCHI是矩形， ...............................................................................................6分
∴ IH OC OA，OI HC 8，
∴ AI DI IH DH OA 4，
∵ OIA 90 ，
OA 4 2∴ 82 OA2， .................................................................................7分
解得OA 10，
∴ AB 2OA 20，
∴ O的直径长为 20． ......................................................................................8分
18．（8分）
【详解】（1） △EBD是由V ABC旋转得到的，
△EBD≌△ABC， ....................................................................2分
BA BE， ABE 60 ， AC DE，
ABE是等边三角形 ..................................................................................4分
（2） ABE是等边三角形，
EAB 60 ， AE AB 5 ......................................................................5分
DAB 30 ，
EAD 90 ， .................................................................................................6分
在Rt EAD中，DE 52 42 41，
AC DE 41 . ...............................................................................................8分
19．（8分）
3
【详解】（1）解：根据题意：小明家选不到 A路线的概率是 ； ...............................3分
4
（2）解：画树状图如下：
共有 16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有 4种， ...........6分
4 1
∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为 ． .............................................................8分
16 4
20．（9分）
x y 5
【详解】解：任务 1：由题意得， .............................................................................2分
20x 10y 850
x 30
解得 ，
y 25
答：A款钥匙扣的进价为 30元/件， B款钥匙扣的进价为 25元/件． ........................................3分
任务 2：有任务 1可知A款钥匙扣的利润为 45 30 15元/件， B款钥匙扣的利润为37 25 12元/件；
设第二次购进A款钥匙扣 m件，总利润为 w元，则第二次购进 B款钥匙扣 80 m 件，
由题意得，30m 25 80 m 2200，
解得m 40，
∵w 15m 12 80 m 3m 960，
∴w随 m增大而增大，
∴当m 40时，w有最大值，最大值为3 40 + 960 = 1080，
∴获得的销售利润最大为 1080元．
故答案为：①15；②12；1080； ............................................................................................6分
任务 3：设 B款钥匙扣的售价定为 a元，则每件的销售利润为
a 25 元，平均每天可售出 4 2 37 a 78 2a 件，
依题意得： a 25 78 2a 90， ........................................................................................8分
整理得： a2 64a 1020 0，
解得：a1 30， a2 34．
答：将销售价定为每件 30元或 34元时，才能使 B款钥匙扣平均每天销售利润为 90元． ............9分
21．（9分）
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为 y ax2，由题图可知点 A 5, 5 ，
将点 A 5, 5 代入 y ax2，得 5 25a， .................................................................2分
解得 a
1
，
5
1
故抛物线的表达式为 y x2； .................................................................................4分
5
（2）解：当 x 3.5 y 1时， 3.52 2.45， .......................................................6分
5
2.45 0.5 2.95，
7 2.95 4.05． ......................................................................................................................8分
答：该隧道通过车辆的限制高度为4.05米． ....................................................................9分
22．（12分）
2 1 9
【详解】（1）∵抛物线 y a x h k的顶点坐标是 ( , )，
2 4
2
∴ y 1 a 9 x ，
2 4
∵点 B 2,0 在抛物线上，
2
∴0 a 2
1
9
，
2 4
∴a 1，
2
∴ y 1 9 x
2
x x 2，
2 4
∴抛物线的解析式为： y x 2 x 2． ....................................................................3分
（2）∵抛物线的解析式为： y x 2 x 2，
∴点C的坐标为： 0,2 ，
∴OC 2，
又∵点B 2,0 ，
∴OB 2，
1
∴ S△BOC 2 2 2． ......................................................................................................6分2
（3）存在，理由如下：
2 (1 9∵抛物线 y a x h k的顶点坐标是 , )，
2 4
1
∴对称轴为： x ，
2
P 1∴点 的横坐标为： ，
2
1
∴设点 P的坐标为： , p2
，
设点Q的坐标为： q, q 2 q 2 ，
若以 B、C、 P、Q为顶点的四边形是平行四边形，有以下几种情况：
①当 BC为平行四边形的对角线时，则
1
q
2
1,1 2 , p q q 2
BC中点 ， PQ的中点 ，
2 2
1
q 3
2
1
p
4
∴ 2 ，解得
p q2 q 2 1 q
3
2
2
5 3 5
∴ q2 q 2
，即Q
4
,
2 4
； ..............................................................................................8分
②当 BQ为平行四边形的对角线时，则
0 1 2 , 2 p
2
CP中点 ， BQ
q 2 , q q 2中点为 ，
2 2
2 2
0
1
q 2 15
2
p
2 2 4∴ ，解得： ，
2 p q2 q 2 q 3
2 2 2
7 3 7
∴ q2 q 2 ，即Q ,
； ....................................................................................10分4 2 4
③当 BP为平行四边形的对角线时，则
1
2 2
BP的中点 2
p 0 , CQ 0 q , q q 2 2
2 2
， 的中点 ，
2 2
1
2 0 q 12 p
∴ 2 2
4
，解得： ，
5p 0 q 2 q 2 2 q
22 2
q2
5 7
∴ q 2
7
，Q
4
， ．
2 4
Q Q 3 , 5 3 7 5 7综上，点 的坐标为： 或 , 或 ，
时，以 B、C、 P、Q为顶点的四边形是平行四边
2 4 2 4 2 4
形． ....................................................................................................................................................12分
23．（13分）
【详解】（1）解：如图，V ADE绕点 A顺时针旋转 90°，得到 ABG，
在正方形 ABCD中，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AD=AB，
根据题意得：∠ABG=∠D=90°，AG=AE，∠BAG=∠DAE，
∴∠ABG+∠ABC=180°，
∴点 G、点 B、点 F三点共线；
∵∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠BAF+∠BAG=45°，即∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF；
故答案为：BF+DE=EF；共线； AGF． ...........................................................................3分
（2）解：如图，将 PA、PB、PC相对集中，于是将 BCP绕点 B顺时针旋转 90°得到 BAE，连接 PE，
∴∠PBE=90°，BE=PB=1，AE=PC=3，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴PE PB2 BE 2 2 2 ，∠BPE=45°，
∵PE 2 AP2 22 2 12 9 AE 2 ，
∴△APE是直角三角形， .........................................................................................................5分
∴∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=135°；
故答案为：135 ；等腰直角三角形、直角三角形 ..............................................................7分
（3）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
如图，将△APC绕点 A顺时针旋转 60°得到△ABD，连接 PD，则∠DAP=60°，AD=AP，BD=PC，∠ADB=
∠APC=120°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD=PA，∠APD=∠ADP=60°，
∴以线段 PA、PB、PC的长度为边长的三角形是△BDP，
∵∠APB=115°，∠ADB=∠APC=120°，
∴∠BPD=55°，∠BDP=60°，
∴∠PBD=180°-∠BDP-∠BPD=65°．
故答案为：55°、60°、65° ............................................................................................12分
