2024年全国各地中考压轴题—二次函数
1．（2024 广安）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【思路点拔】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解C（0，2），及直线BC为，设，可得，再建立二次函数求解即可；
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，可得∠BCK＝∠BCT＝45°，CK，CT与抛物线的另一个 交点即为M，如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，求解T（m，m﹣1），进一步求解直线CT为y＝﹣5x+2，直线CK为，再求解函数的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0），
∴．
（2）当x＝0时，，
∴C（0，2），
设直线BC为y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直线BC为，
设，
∴，
∴2PD+PE，
当时，有最大值，
此时．
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
∴∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M，
如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG，
∵CT＝BT，
∴△CQT≌△TGB（AAS），
∴QT＝GB，CQ＝TG，
设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，
∴Q0＝3﹣m﹣2＝1﹣m，
∴T（m，m﹣1），
由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2，
解得，
∴，
设CT为y＝nx+2，
∴，
解得n＝﹣5，
∴直线CT为y＝﹣5x+2，
∴，
解得或，
∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK．
∴，
同理可得直线CK为，
∴，
解得或，
∴，
综上，点M的坐标为或．
2．（2024 东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．
【思路点拔】（1）将点A和点B坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果；
（2）先求出直线BC的解析式，进而表示出DE的长，进一步得出结果；
（3）分四种情形：当0＜t＜2时，作AG∥DE，交BC于G，可得出△DEF∽△AGF，从而，进而得出（t﹣1）2，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴E（t，t﹣2），
∵D（t，t2﹣t﹣2），
∴l＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）；
（3）如图1，
当0＜t＜2时，
作AG∥DE，交BC于G，
∴△DEF∽△AGF，
∴，
把x＝﹣1代入y＝x﹣2得，
y＝﹣3，
∴AG＝3，
∴（t﹣1）2，
∵当x＝1时，最大，
∵，
∴最大．
3．（2024 甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，即可求解；
（3）由PQ＝OB，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，
则OB＝5＝OA＝OC，
则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由：
△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
则点M（﹣2，﹣3）；
（3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5），
则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故当PQ＝OB时，满足题设条件，
即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，
解得：x，
则点P的坐标为：（，）或（，）．
4．（2024 河北）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y（x﹣t）2t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．
（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．
淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当t＝4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
【思路点拔】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2），再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点；
（3）①先求解P的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，设l与x轴交点横坐标为x，再进一步求解即可；
（4）如图，由题意可得C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，可得四边形APBQ是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线过点（4，0），顶点为Q，
∴16a﹣8＝0，
解得，
∴抛物线为，
∴Q（2，﹣2）；
（2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2），
当x＝0时，，
∴（0，﹣2）在C2上，
∴嘉嘉说法正确；
，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴，
过定点（0，﹣2），
∴淇淇说法正确；
（3）①当t＝4时，，
∴顶点P（4，6），
而Q（2，﹣2），
设PQ为y＝cx+f，
∴，
解得，
∴PQ为y＝4x﹣10；
②∵P（4，6），
∴P到x轴的距离为6，
∴l与C2交点的纵坐标为﹣6，
当时（等于6两直线重合不符合题意），
（x﹣4）2＝24，
∴，
∵直线PQ的解析式为y＝4x﹣10，
当y＝﹣6时，﹣6＝4x﹣10，
解得x＝1，
y＝4x﹣10＝0时，x，
设l与x轴交点横坐标为x，
则1﹣（4﹣2），
解得，
此时直线l与x轴交点的横坐标为；
（4+2）﹣1＝x，
解得，
此时直线l与x轴交点的横坐标为．
综上，直线l与x轴交点的横坐标为或；
（4）∵，，
∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，
∴四边形APBQ是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，
∵Q（2，﹣2），P（t，），
∴L的横坐标为，，，
∴L的横坐标为，
∴，
解得n＝2+t﹣m．
5．（2024 南充）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求的值．
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求QM+QN的最小值．
【思路点拔】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c解得b，c的值，可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（0，p），求出直线AP解析式为y＝px+p，联立得 ，可解得E（3﹣p，﹣p2+4p），同理可得D（，），即可得，，故；
（3）作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过M点作MF⊥NN'于F，求出K（1，0），设直线MN解析式为y＝kx+d，把K（1，0）代入即可知直线MN解析式为y＝kx﹣k，设M（m，﹣m2+2m+3），N（n，﹣n2+2n+3），则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣3，求出N'（n，n2﹣2n+5），QM+QN＝QM+QN'≥MN'，又F（n，﹣m2+2m+3），故N'F＝|m2+n2﹣2（m+n）+2|，FM＝|m﹣n|，可得MN'2＝MF2+N'F2＝k4+17k2+80，即知当k＝0时，MN'2最小80，此时MN'＝4，从而QM+QN的最小值为．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（0，p），直线AP解析式为y＝k1x+b1，
把A（﹣1，0），P（0，p）代入得：
，
解得：
∴直线AP解析式为y＝px+p，
联立得 ，
解得或，
∴E（3﹣p，﹣p2+4p），
同理可得D（，），
∴，，
∴；
∴的值为；
（3）作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过M点作MF⊥NN'于F，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴K（1，0），
设直线MN解析式为y＝kx+d，
把K（1，0）代入得：k+d＝0，
∴d＝﹣k，
∴直线MN解析式为y＝kx﹣k，
设M（m，﹣m2+2m+3），N（n，﹣n2+2n+3），
联立，可得x2+（k﹣2）x﹣k﹣3＝0，
∴m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣3，
∵N，N'关于直线l：y＝4对称，
∴N'（n，n2﹣2n+5），
∴QM+QN＝QM+QN'≥MN'，
∵F（n，﹣m2+2m+3），
∴N'F＝|m2+n2﹣2（m+n）+2|，FM＝|m﹣n|，
在Rt△MFN'中，
MN'2＝MF2+N'F2
＝（m﹣n）2+[m2+n2﹣2（m+n）+2]2
＝（m+n）2﹣4mn+[（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2]2
＝（2﹣k）2﹣4（﹣k﹣3）+[（2﹣k）2﹣2（﹣k﹣3）﹣2（2﹣k）+2]2
＝k4+17k2+80，
∴当k＝0时，MN'2最小80，此时MN'＝4，
∴QM+QN≥4，
∴QM+QN的最小值为．
6．（2024 连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
【思路点拔】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接CN，根据题意，求得M（﹣1，a﹣2），N（1，a），进而求出CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，利用勾股定理求出，求出，从而得到∠NDM＝∠NMD，结合平行线的性质即可证明结论；
（3）设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，求出当a＝1时，x2＝1﹣b≥3，得到点G在H的上方，设GH＝t，故t＝﹣m2+（1﹣b）m，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中，
得，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为．
（2）证明：连接CN，如图，
∵b＝1，
∴y＝ax2+x﹣1，
当x＝﹣1时，y＝a﹣2，
∴M（﹣1，a﹣2），
当x＝1时，y＝a，
∴N（1，a），
∵C（﹣1，a），N（1，a），
∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，
∴，
∵，
∴DN＝MN，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵DN∥CM，
∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN．
（3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，
当a＝1时，y＝x2+bx﹣1，
∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，
令x2+bx﹣1＝x﹣1，
解得x1＝0，x2＝1﹣b．
∵b≤﹣2，
∴x2＝1﹣b≥3，
点G在H的上方，如图，
设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m，
其对称轴为，且，
①当时，即﹣5≤b≤﹣2，
由图可知，
当时，t取得最大值，
解得b＝﹣3或b＝5（舍去），
②当时，得b＜﹣5，
由图可知，
当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4，
解得（舍去），
综上所述，b的值为﹣3．
7．（2024 绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6），同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6），求出点P的坐标，进而求解；
（3）当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，用解直角三角形的方法求出CQ，即可求解；点Q（Q′）在点C下方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3，
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝4，即顶点坐标为：（﹣1，4）；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点P1（m，m2+2m﹣3），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，则点E（m，m+3），
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（﹣m﹣3）x+m+3，
连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D，则点D（0，m+3），
则S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6），
同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6），
解得：m（舍去）或，
即点P（，2）；
则△ABP的面积AB×yP（1+3）×24；
（3）存在，理由：
由（2）知，P（，2）；
由点C、P的坐标得，PC＝3；
当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，
由点C、P的坐标得，tan∠PCQ＝2，
过点Q作QH⊥PC于点H，
设CH＝（2）x，则PH＝QH＝x，
则PC＝3（2）x+x，
解得：x，
则QH＝x，CH（2），
则CQ22，
则OQ＝3+22＝21，
即点Q（0，21）；
当点Q（Q′）在点C下方时，
同理可得：CQ′＝6﹣2，
则点Q′（0，23）；
综上，Q（0，21）或（0，23）．
8．（2024 巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
【思路点拔】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入解析式中，求出a和b的值，得到抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，DE＝﹣m+3，PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，根据PE＝2ED，得出﹣m2+3m＝2（﹣m+3），解得m1＝2，m2＝3（不合题意舍去），得出m＝2，得到P（2，3）；
（3）设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），PQ＝﹣n2+3n，先求出，得出最大值，再证明△CPQ∽△ACB，得出∠BCP＝∠CAB，得到．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），D（m，0），
∴DE＝﹣m+3，
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PE＝2ED，
∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m1＝2，m2＝3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m＝2，
∴P（2，3）；
（3）∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x+b′，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b′，得：0＝﹣（﹣1）+b′，
解得：b′＝﹣1，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝0时，yN＝﹣1，
∴N（0，﹣1），
∴ON＝1，CN＝ON+CO＝4，
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），
∴PQ＝﹣n2+3n，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠ANC＝45°，
∵∠ANC＝∠PQF，
∴∠OBC＝∠PQF，
∵，AB＝4，
∴，
∴，
∴△CPQ∽△ACB，
∴∠BCP＝∠CAB，
∵，
∴．
9．（2024 甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝ 2 ，n＝ ±1 ．
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
【思路点拔】（1）根据二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，得出22＝m，n2，求得m＝2，n＝±1；
（2）①抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），得出d＝4，e＝5；
②当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，
∴22＝m，n2，
∴m＝2，n＝±1，
故答案为：2；±1；
（2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），
又C2始终是C0的伴随抛物线，
∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），
∴，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9），
当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5，
抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；
∵若C2是C0的伴随抛物线，则C0也是C2的伴随抛物线，即C0的顶点P（b，c）在C2上，
∴（2，9）在C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
10．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）先求直线解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将P、D坐标用m表示出来，用P的纵坐标减去D的纵坐标即可得出PD的关系式，从而求最值；
（3）由∠AOC＝90°得到△AOC是直角三角形，要使△BPD与△AOC相似，则△BPD也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y＝kx+n，
∴将A、B两点代入得，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴0≤m≤4，
由题知P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m）2，
∵﹣1＜0
∴当m时，PD是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）法一：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∵OC＝OA＝4，
∴∠BDP＝∠ADE＝∠OAC＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴PDBD，
由①知PD＝﹣m2+5m﹣4，
∵B（1，3），D（m，﹣m+4），
∴BD（m﹣1），
∵PDBD，
∴﹣m2+5m﹣4＝2（m﹣1），
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法二：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
过B作GH∥y轴，作PG⊥GH，作DH⊥GH，
则易证△PGB∽△BHD，
∴，
∵PG＝m﹣1，BG＝﹣m2+4m﹣3，BH＝m﹣1，DH＝m﹣1，
∴，
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法三：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝﹣1，
∴kBP＝1，
∴直线BP的解析式为：y＝x+2，
联立方程组得，
解得：或，
∴P（2，4）
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）．
11．（2024 凉山州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）把B（3，m）代入y＝x+2求出B（3，5），再用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），由PE＝2DE，可得﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），解出t的值可得P的坐标为（1，9）；
（3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，求出C（4，0），知AC＝6，故S△ABC6×5＝15，设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），可得MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，S△ABMMK |xB﹣xA||﹣m2+m+6|，根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半，有|﹣m2+m+6|15，可得|﹣m2+m+6|＝3，即﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，解出m的值可得答案．
【解答】解：（1）把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5，
∴B（3，5），
把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），
∵PE＝2DE，
∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），
解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）；
∴P的坐标为（1，9）；
（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图：
在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），C（4，0），
∴AC＝6，
∵B（3，5），
∴S△ABC6×5＝15，
设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），
∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，
∴S△ABMMK |xB﹣xA||﹣m2+m+6|×5|﹣m2+m+6|，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|﹣m2+m+6|15，
∴|﹣m2+m+6|＝3，
∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，
解得m或m，
∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
12．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为（3，0），则t＝ 6 ；
②求t的取值范围；
③求OD DB的最大值．
【思路点拔】（1）根据顶点式可直接得出点C的坐标；令y＝0，解方程，可得出点A，B的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线x，再根据点C，M的坐标可得出C，M关于对称轴对称，由此可得出t的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0），再由对称性可知，D（t﹣3，0），由点D在线段OB上，且与端点不重合，可得，即3＜t＜7，而当t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，由此可得3＜t＜7且t≠4；
③OD DB＝（t﹣3） （7﹣t）＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，根据二次函数的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y（x﹣1）2+4的图象的顶点为C，
∴C（1，4）；
令y（x﹣1）2+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）；
（2）①由题知，该函数过点B（4，0），C（1，4），D（3，0），
∴函数的解析式为：y′＝a（x﹣4）（x﹣3），
∴函数的对称轴为直线x，
∵C（1，4），M（t，4），
∴点C，M关于对称轴对称，
∴，
∴t＝6，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
将M（t，4），C（1，4）两点代入，得，
∴a（t2﹣1）+b（t﹣1）＝0，
∵t≠1，
∴，
∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0），
∵B，D两点关于对称轴对称，点B（4，0），
∴D（t﹣3，0），
∵点D在线段OB上，且与端点不重合，
∴，即3＜t＜7，
∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，
∴3＜t＜7且t≠4；
③∵OD＝t﹣3，DB＝7﹣t，
∴OD DB＝（t﹣3） （7﹣t）．
∴OD DB＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，
∵3＜t＜7且t≠4，
∴t＝5时，OD DB有最大值，最大值为4．
13．（2024 绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCPtan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【思路点拔】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，由题意得tan∠BCPtan∠ACB，由tan∠BCP，可得BMBC4＝2，即|yM﹣1|＝2，得出M1（0，3），M2（0，﹣1），利用待定系数法可得：直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1，分别与抛物线联立求解即可；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为y′＝﹣x2+5，联立求得D（1，4），由题意设E（2，t），F（m，n），又B（0，1），根据菱形的性质分三种情况：当BD、EF为对角线时，当BE、DF为对角线时，当BF、DE为对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B（0，1），
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝﹣x2+4x+1，
解得：x1＝0（舍去），x2＝4，
∴C（4，1），
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中，∵A（3，4），
∴Q（3，1），
∵tan∠BCPtan∠ACB，
∴tan∠BCP，
∵BC＝4，∠CBM＝90°，
∴tan∠BCP，
∴BMBC4＝2，
∴|yM﹣1|＝2，
∴yM＝3或﹣1，
∴M1（0，3），M2（0，﹣1），
∴直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1，
由，解得，（舍去），
由，解得，（舍去），
∴P1（，），P2（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（，）；
（3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′，
∴y′＝﹣x2+5，
联立得，
解得：，
∴D（1，4），
又B（0，1），
设E（2，t），F（m，n），
当BD、EF为对角线时，
则，
解得：，
∴F（﹣1，3）；
当BE、DF为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）；
当BF、DE为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（3，4）或F（3，4）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4）或（3，4）．
14．（2024 资阳）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意得出B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：，得出；
（2）设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），则，，得出，故当时，S1﹣S2的最大值为；
（3）①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，FE1的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出；取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，E2F的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出．
【解答】解：（1）∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵∠BOC＝90°，，
∴，
∴C（0，4），
把B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：
，
解得：，
∴；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），
∴，DK＝﹣m+4，DB＝4﹣m，
∴，，
∴
，
∴当时，S1﹣S2的最大值为；
（3）令，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），
∵C（0，4），点E为AC的中点，
∴E（﹣1，2），
∵FE⊥AC，，
∴AF＝CF，
∴∠AFE＝∠CFE，
设OF＝a，则CF＝AF＝a+2，
在Rt△COF中，由勾股定理，得：a2+42＝（a+2）2，
∴a＝3，
∴F（3，0），CF＝5，
∵FE⊥AC，∠AOC＝90°，
∴∠AFE＝∠OCA＝90°﹣∠CAF，
∴∠AFE＝∠OCA＝∠CFE，
①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，则：∠Q1FE＝2∠EFA＝2∠OCA，E1（﹣1，﹣2），
设FE1的解析式为：y＝k1x+b，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，则：∠Q2FE＝2∠CFE＝2∠OCA，EG⊥CF，
∵CE，CF＝5，
∴，
∵，
∴，
∴EG＝2，
∴，
过点G作GH⊥x轴，则：，，
∴，
∴，
∵E（﹣1，2），
∴，，
∴，，
∴，设直线E2F的解析式为：y＝k2x+b1，则：，
解得：，
∴，
联立，
解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
15．（2024 西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA﹣PD有最大值？若存在，求出PA﹣PD的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN，求点M的坐标．
【思路点拔】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接AC并延长交直线l于P，在直线l上取点P'，连接CP'，求出C（0，3），由点C关于直线l的对称点为点D，知P'C＝P'D，当P'不与P重合时，P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＜AC，当P'与P重合时，PA﹣PD＝P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＝AC，此时PA﹣PD最大，最大值为AC的长，而AC，故PA﹣PD的最大值为；
（3）过M作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过N作NT⊥KT于T，设M（m，﹣m2+2m+3），证明△MNT∽△CMK，得，由tan∠MCN，即可得
，从而解得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在直线l上存在一点P，使PA﹣PD有最大值，理由如下：
连接AC并延长交直线l于P，在直线l上取点P'，连接CP'，如图：
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴P'C＝P'D，
当P'不与P重合时，P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＜AC，
∴当P'与P重合时，PA﹣PD＝P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＝AC，此时PA﹣PD最大，最大值为AC的长，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC，
∴PA﹣PD的最大值为；
（3）过M作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过N作NT⊥KT于T，如图：
设M（m，﹣m2+2m+3），
∵MN⊥CM，
∴∠NMT＝90°﹣∠CMK＝∠KCM，
又∠T＝∠K＝90°，
∴△MNT∽△CMK，
∴，
∵tan∠MCN，
∴，
∴，
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知直线l解析式为x＝1，
∴，即||，
∴或，
解得m＝3或m或m＝﹣1或m，
∴M的坐标为（3，0）或（，）或（﹣1，0）或（，）．
16．（2024 淄博）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．
【思路点拔】（1）求出点A、B的坐标，再用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）①求出角的关键信息，再用三角函数即可求解；
②运用轴对称求两条线段和最短即将军饮马模型在函数中运用即可得解．
【解答】解：（1）∵x1，x2是x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①存在，理由如下：
∵直线y＝3x+9与x、y轴分别交于点D、E，
∴x＝0时，y＝9，
y＝0时，3x+9＝0，x＝﹣3，
∴点D（﹣3，0）、E（0，9），
∴OD＝3，OE＝9，
∴tan∠OED，
由抛物线可知：当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠FCE＝∠OCB＝45°，
∵∠DFB是△CEF的外角，
∴∠DFB＝∠FCE+∠FEC＝45°+∠FEC，
∵∠DFB＝∠PBF＝∠CBO+∠PBQ＝45°+∠PBQ，
∴∠PBQ＝∠FEC，
∴tan∠PBQ，
设P（m，﹣m2+2m+3），则BQ＝3﹣m，PQ＝m2﹣2m﹣3，
∴，
∴m＝3（舍去）或，
∴P（，）；
②∵过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的解析式 为：y＝﹣x+n，
设直线BM的解析式为y＝k1x+m，
将B（3，0）代入得3k1+m＝0，
解得：m＝﹣3k1，
∴直线BM的解析式为y＝k1x﹣3k1，
设直线CN的解析式为y＝k2x+m1，
将C（0，3）代入得m1＝3，
∴直线CN的解析式为y＝k2x+3；
联立方程组，得x2﹣3x+n﹣3＝0，
∴x1+x2＝3，
将M（x1，y1）代入y＝k1x﹣3k1，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（k1﹣2）x﹣3（k1+1）＝0，
∴（x1﹣3）[x1+（k1+1）]＝0，
解得：k1＝﹣1﹣x1，
将N（x2，y2）代入y＝k2x+3，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（ k2﹣2）x2＝0，
∴x2（x2+k2﹣2）＝0，
解得：k2＝2﹣x2，
联立方程组，
得出xQ，
∴点Q在直线x上运动，
在y＝3x+9中，令x＝0，则y＝9，即E（0，9），
如图，作点E关于直线x的对称点E'，连接DE'交直线x于Q'，连接EQ'，则E'（3，9），
由轴对称性质可得EQ'＝EQ'，
∴QD+QE的最小值＝DQ'+EQ'＝DQ'+E'Q'＝DE'，
由两点之间线段最短可得：线段QD+QE的最小值为DE'，
∵DE'，
∴线段QD+QE的最小值为．
17．（2024 日照）已知二次函数y＝﹣x2+（2a+4）x﹣a2﹣4a（a为常数）．
（1）求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）当a+1≤x≤2a+5（a≥﹣1）时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
（3）若二次函数图象对称轴为直线x＝1，该函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为CD的中点，过点M的直线l（直线l不过C，D两点）与二次函数图象交于E，F两点，直线CE与直线DF相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若S△COPS△ABP，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
【思路点拔】（1）当y＝0时，解得方程的两个根，从而得出结论；
（2）可判定得出根据抛物线的顶点取最大值，当x＝2a+5取得最小值，进一步得出结果；
（3）作FG⊥CD于G，作FH⊥对称轴x＝1于点H，作PQ⊥CD于Q，作PV⊥FH于V，作DW⊥FH于W，设E（m，﹣m2+2x+3），F（n，﹣n2+2n+3），根据tan∠FMG＝tan∠MFH得出，从而得出mn＝m+n﹣2，设P（x，y），根据同理可得，，得出，，从而得出x，y把mn＝m+n﹣2代入y＝5，从而得出点P在一条定直线上y＝5上；
②可求得S△ABP，根据S△COPS△ABP求得xP＝±4，当xP＝4时，可求得F（﹣1，0），进而求得直线l的解析式为：y，同样方法求得当x＝﹣4时直线l的解析式．
【解答】（1）证明：当y＝0时，
﹣x2+（2a+4）x﹣a2﹣4a＝0，
∴（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝0，
∴x1＝a，x2＝a+4，
∴不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：∵y＝﹣（x﹣a﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点是（a+2，4），
∵a≥﹣1，
∴（2a+5）﹣（a+2）＝a+3≥2，
∴a+1＜a+2＜2a+5，
∴y最大＝4，y最小＝﹣（a+3）2+4，
∵当a+1≤x≤2a+5（a≥﹣1）时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，
∴4+（a+3）2﹣4＝9，
∴a＝﹣6（舍去）或a＝0，
∴y＝﹣x2+4x；
（3）①证明：如图，
作FG⊥CD于G，作FH⊥对称轴x＝1于点H，作PQ⊥CD于Q，作PV⊥FH于V，作DW⊥FH于W，
∵对称轴x＝a+2＝1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，D（2，3），M（1，3），
设E（m，﹣m2+2x+3），F（n，﹣n2+2n+3），
∵CD∥FH，
∴∠FMG＝∠MFH，
∴tan∠FMG＝tan∠MFH，
∴，
∴，
化简得，
（m﹣n）（mn﹣m﹣n+2）＝0，
∵m﹣n≠0，
∴mn﹣m﹣n+2＝0，
∴mn＝m+n﹣2，
设P（x，y），
同理可得，
，
∴，，
∴x，y
把mn＝m+n﹣2代入y＝5，
∴点P在一条定直线上y＝5上；
②解：由﹣x2+2x+3＝0得，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵yP＝5，
∴S△ABP，
∵S△COPS△ABP，
∴，
∴6，
∴xP+±4，
当xP＝4时，
，
又mn﹣m﹣n+2＝0，
∴或（舍去），
当n＝﹣1时，﹣n2+2n+3＝﹣1﹣2+3＝0，
∴F（﹣1，0），
∵M（1，3），
∴直线l的解析式为：y，
当x＝﹣4时，
，
∴或（舍去），
∴，
∴F（），
∴直线l的解析式为：yx，
综上所述：当S△COPS△ABP时，直线l的解析式为：y或yx．
18．（2024 眉山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过D作DK∥y轴交AC于K，求得直线AC解析式为y＝x+3，设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），故DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，由△ACD的面积为3，得DK |xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，解出t的值可得D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）求出A（﹣3，0），B（1，0），直线BC解析式为y＝﹣3x+3，设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，分始终情况分别画出图形根据等腰直角三角形性质和全等三角形判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过D作DK∥y轴交AC于K，如图：
由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵△ACD的面积为3，
∴DK |xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∴D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
由B（1，0），C（0，3）得直线BC解析式为y＝﹣3x+3，
设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），
过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，
①∵OA＝OC＝3，
∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD是等腰直角三角形，如图：
此时P（0，3）；
②当P在第一象限，D在第四象限时，
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴DM＝ON，OM＝PN，
∴，
解得（n小于0，舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣33，
∴P的坐标为（，）；
③当P在第四象限，D在第三象限时，如图：
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
∴﹣3m+3＝﹣33，
∴P的坐标为（，）；
④当P在第四象限，D在第一象限，如图：
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
∴，
解得（舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣33，
∴P的坐标为（，）；
综上所述，P的坐标为（0，3）或（，）或（，）或（，）．
19．（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F最小，即可求解；
（3）∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，即可求解；当点Q（Q′）在AC上方时，同理可解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4，
∵tan∠CBA＝4，则OB＝1，
即点B（1，0），
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），则点F（，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4，
设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则点D（x，x+4），
则PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，
当x＝﹣2时，PD取得最大值，则点E（﹣2，0）、D（﹣2，2），则MN＝2，
将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，
则四边形MNA′A为平行四边形，则AM＝A′N，
则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝22为最小；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m，
将点D（﹣2，2）的坐标代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2﹣3（﹣2+m）+4﹣m，
解得：m＝2，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣4x+4，
当点Q在AC下方时，
∵∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，
则直线DQ和BC表达式中的k值相同，
而DQ过点D（﹣2，2），
则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1，
即点Q（﹣1，﹣2）；
当点Q（Q′）在AC上方时，
同理可得，点H′（﹣4，），
由点D、H′的坐标得，直线DH′的表达式为：y（x+2）+2，
联立上式和新抛物线的表达式得：（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7x﹣8，
解得：x＝﹣2（舍去）或，
即点Q（，）；
综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）．
20．（2024 济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
【思路点拔】（1）根据抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2）列方程组即可得到结论；
（2）如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，设点E的横坐标为t．设直线AD的表达式为y＝kx+b，解方程组得到直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），求得EG＝t2﹣t，求得，于是得到S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE，解方程得到E（4，10），根据平移的性质得到F（5，9）；将F（5，9代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），解方程得到m1＝2，m2＝9；
（3）如图2，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，设 M（h，h2﹣2h+2），h＜1且h≠0，N（n，0），求得抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），得到DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，推出MP＝NP，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2），
得 ，
解得 ，
∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x+2；
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点D（1，1）；
（2）如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，
设点E的横坐标为t．
设直线AD的表达式为y＝kx+b，
由题意知 ，
解得 ，
∴直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，
则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），
∴EG＝t2﹣t，
∵ ADFE的面积为12，
∴S△ADES△四边形ADFE6，
∴S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE，
∵H′D＝1，
∴EG＝12，
∴t2﹣t＝12，
解得t1＝4，t2＝﹣3 （舍），
∴E（4，10），
∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F，
∴F（5，9），
将F（5，9）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），
得m2﹣11m+18＝0，
解得m1＝2，m2＝9，
（3）如图3，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，
设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），
∵y＝x2﹣2mx+m2+2﹣m＝（x﹣m）2+2﹣m，
∴抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），
∴DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，
∴DK＝KQ，∠DQK＝45°，
∵MN∥DQ KQ∥NP，
∴∠MNP＝∠DQK＝45°，
∴∠NMP＝45°，
∴MP＝NP，
∴n﹣h＝h2﹣2h+2，
∴n＝h2﹣h+2＝（h）2，
∴当时，，
∴点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，
最近距离即边BD上的高，高为：，
∴△BDN面积的最小值为S△BDN．
21．（2024 湖南）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
【思路点拔】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，即可求解；
（2）由S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6），同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6），即可求解；
（3）求出线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29，则MN＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2，即可求解．
【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，9）、（x2，9）、（x1，﹣x1+3），
则S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6），
同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6），
则3为定值；
（3）解：点P、Q的坐标分别为：（x1，9）、（﹣2x1，﹣49），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29，
则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2，
故MN的最大值为：．
22．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8＝m（x﹣2），得到xQ＝4+m，即可求解；
（3）求出直线CM的表达式为：y＝（mt﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（mt﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x；
而y2过（2，0）、（4，0），
则y2＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；
（2）设点P（m，m2﹣2m）、点A（2，0），
设直线PA的表达式为：y＝k（x﹣2），
将点P的坐标代入上式得：m2﹣2m＝k（m﹣2），
解得：k＝m，
则直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8＝m（x﹣2），
解得：xQ＝4+m，
则xQ﹣xP＝4+m﹣m＝4；
（3）由（1）知，y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
联立y1、y3得：x2﹣2x＝x2﹣8x+t，
解得：xt，
则点C（t，t2t），
由点C、M的坐标得，直线CM的表达式为：y＝（mt﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（mt﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
整理得：x2﹣（6+mt）x+（1m）t＝0，
则xC+xN＝6+mt，即t+n＝6+mt，
即n﹣m＝6，
即|m﹣n|＝6为定值．
23．（2024 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．
（1）求b．c的值；
（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CMRB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．
【思路点拔】（1）将点O和点A坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果；
（2）OA＝3，表示出处P点纵坐标，进而得出结果；
（3）作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，可得出∠PAJ＝45°，进而得出△ACD是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，可推出点F、G、B共线，进而得出点G、E、D、B共圆，进而推出△DEG是等腰直角三角形，可证得△EGV≌△DEG，从而得出EV＝CD，CE＝GV，设CMx，WI＝a，从而得出WM＝CW＝x，RB＝3x，根据△MWI∽△RBI，可得出，从而得出BI＝3WI＝3a，从而表示出AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，根据△RBI∽△RAD得出，即得出，从而得出x＝2a，从而得出正方形的边长BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，根据△GFD∽△GBR得出，从而BGBF＝2，进而得出GV＝BVBG＝2a，CE＝GV＝2a，BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，ER，进而得出CE＝EN＝2a，作IK⊥RN于K，根据S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，从而得出IK＝3a，从而得出∠NRD＝∠ARD，进而证得△ARD≌△NRD（SAS），从而得出∠RND＝∠RAD＝90°，进而证得Rt△DCE≌Rt△DNE，从而DN＝CD＝6a，根据△EQN∽△NEO得出，从而得出NS＝3EQ，QNDS，设N（x，y），可得出NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ（3﹣6a﹣x），进而得出3（3﹣8a﹣x）（3﹣6a﹣x）＝6a，从而x＝3，y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）a，进而得出a，求得a，进而得出C（，）；延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，可推出DH＝HZ，设HZ＝DH＝m，则XH＝DH＝2m，DZDH，可证得△ADZ≌△CDX，从而CX＝DZ，DL＝XL，CL＝CX+XL，根据tan∠DCL得出DY，从而得出Y（2，0），进一步得出结果．
【解答】解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线yx2+bx+c得，
，
∴，
∴；
（2）SyP；
（3）如图1，
作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，
则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，
把t＝﹣2代入y得，y，
∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5，
∴AJ＝PJ，
∴∠PAJ＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°，
∴∠PAJ＝∠ACD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴可得四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°，
∵CF＝CD＝BC，
∴∠CFB＝∠CBF＝45°，
∵FG∥AC，
∴∠CFG＝∠ACD＝45°，
∴点F、G、B共线，
∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°，
∴∠FBD+∠DEG＝180°，
∴点G、E、D、B共圆，
∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴EG＝ED，
∵∠EVG＝∠DCE＝90°，
∴∠EGV+∠VEG＝90°，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DCE+∠VEG＝90°，
∴∠DEC＝∠EGV，
∴△EGV≌△DEG（AAS），
∴EV＝CD，CE＝GV，
设CMx，WI＝a，
∴∠ACB＝45°，CMRB，
∴WM＝CW＝x，RB＝3x，
∵MW∥BR，
∴△MWI∽△RBI，
∴，
∴BI＝3WI＝3a，
∴AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，
∵BC∥AD，
∴△RBI∽△RAD，
∴，
∴，
∴x＝2a，
∴BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，
∴BFBC＝6a，DF＝2CD＝12a，
∵DF∥RB，
∴△GFD∽△GBR，
∴，
∴BGBF＝2，
∴GV＝BVBG＝2a，
∴CE＝GV＝2a，
∵BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，
∴ER，
∵RN＝RA＝12a，
∴EN＝RN﹣RE＝2a，
∴CE＝EN＝2a，
作IK⊥RN于K，
由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，
∴，
∴IK＝3a，
∴∠NRD＝∠ARD，
∵RD＝RD，
∴△ARD≌△NRD（SAS），
∴∠RND＝∠RAD＝90°，
∴∠RND＝∠ECD＝90°，
∵DE＝DE，
∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL），
∴DN＝CD＝6a，
∵∠Q＝∠NSO＝90°，
∴∠QEN+∠QNE＝90°，
∵∠EDN＝90°，
∴∠QNE+∠DNS＝90°，
∴∠DNS＝∠QEN，
∴△EQN∽△NEO，
∴，
∴NS＝3EQ，QNDS，
设N（x，y），
∵E（3﹣8a，6a），D（3﹣6a，0），
∴EQ＝3﹣8a﹣x，DS＝3﹣6a﹣x，
∴NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ（3﹣6a﹣x），
∵NQ+NS＝QS＝CD＝6a，
∴3（3﹣8a﹣x）（3﹣6a﹣x）＝6a，
∴x＝3，
∴y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）a，
∴a，
∴a，
∴6a，
∴C（，），
如图2，
延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，
∵∠DHT＝90°，∠ATC＝135°，
∴∠XHT＝90°，∠XTH＝45°，
∴∠TXH＝45°，
∴∠XDL＝90°﹣∠TXH＝45°，
∴∠HZD＝90°﹣∠XDL＝45°，
∴DH＝HZ，
设HZ＝DH＝m，则XH＝2DH＝2m，DZDH，
∵∠XDL＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠CDX+∠ADZ＝45°，
∵∠CDX+∠DCX＝∠DXL＝45°，
∴∠ADZ＝∠DCX，
∵∠DXC＝∠AZD＝135°，AD＝CD，
∴△ADZ≌△CDX（AAS），
∴CX＝DZ，
∵DX＝DH+XH＝m+2m＝3m，
∴DL＝XL，
∴CL＝CX+XL，
∴tan∠DCL，
∴DY，
∴Y（2，0），
设直线CT的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y．
24．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ 3 ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
【思路点拔】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，即可求解；
（2）①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，即可求解；
②当点P在x轴上方时，由∠DPQ＝∠ACO，得到直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，则点Q（0，﹣m2﹣m+3），即可求解；当点P在x轴下方时，
同理可可解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3，
即OC＝3，
故答案为：3；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝1（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上，点P的横坐标为：1或1.5或．
25．（2024 大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【思路点拔】（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，解得：，得出抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），得出CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，解﹣q2+2q＝q，解得：q＝0（舍去）或q＝1，得出Q（1，4）；
（3）①设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），解得：，得出y＝﹣3x+3，联立，解得：或，得出D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②设DF的解析式y＝k（x﹣1），联立，消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，得出x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），联立，解得：，得出，根据，，得出，，8，不为定值，得出P在直线y＝8上运动，P到x轴的距离为定值8，根据直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，得出△ABP的面积为是定值．
【解答】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，
﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，
∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CQ＝QG，
设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q2+2q＝q，
解得：q＝0（舍去）或q＝1，
∴Q（1，4）；
（3）①证明：点F与点C重合，则F（0，3），
∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），
∴，
解得：，
∴y＝﹣3x+3，
联立，
解得：或，
∴D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②解：设D（x1，y1），F（x2，y2），
∵D，E，F三点共线，E（1，0）
∴设DF的解析式y＝k（x﹣1），
联立，
消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），
联立，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴8，
而不为定值，
∴P在直线y＝8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，
∴△ABP的面积为是定值．
26．（2024 宁夏）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线解析式，解之即可得出结论；
（2）令y＝0，可得B（4，0）；令x＝0可得点C的坐标（0，﹣2）；则BC2；BC的解析式为：yx﹣2；根据题意，点D的坐标为（m，0），把x＝m分别代入抛物线和直线BC的解析式，可得P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；所以DE＝2m，EP＝2mm2；由PD⊥x轴，可得PD∥y轴，所以△BDE∽△BOC，则BD：BO＝BE：BC，即BE BO＝BC BD，可得BE（4﹣m），所以PEBE（4﹣m），由此可建立关于m的方程，解之即可；
（3）由C、F的坐标可得，直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，所以M（，3）；当y＝3时，x2x﹣2＝3，解得x＝﹣2或x＝5；当N（﹣2，3）时，FH＝MN；当N（5，3）时，FH＝MN；分别求解即可得出结论．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入 得；
解得a；
∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2．
（2）把y＝0代入yx2x﹣2得，x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0）；
当x＝0是，y＝﹣2，
∴点C的坐标（0，﹣2）；
∴BC2；BC的解析式为：yx﹣2；
根据题意，点D的坐标为（m，0），
把x＝m代入yx2x﹣2得，ym2m﹣2．
把x＝m代入yx﹣2，得ym﹣2，
∴P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；
∴DE＝2m，EP＝2mm2；
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴△BDE∽△BOC，
∴BD：BO＝BE：BC，即BE BO＝BC BD，
∴BE（4﹣m），
∵PEBE（4﹣m），
∴2mm2（4﹣m），
解得m或m＝4（舍）；
（3）存在，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．理由如下：
∵C（0，﹣2），F（1，0），
∴直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，
当x时，y＝22＝3；
∴M（，3）；
∵点N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y＝3时，x2x﹣2＝3，
解得x＝﹣2或x＝5；
当N（﹣2，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）；
当N（5，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）．
综上，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
27．（2024 济宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）将已知两点代入到解析式进行计算分析即可得解；
（2）①将第一问求出的a、c代入配成顶点式即可得到含b的最小值，再根据题中条件建立方程即可求出b值，最后求二次函数与x轴交点，令y＝0即可得解；
②分两种情况讨论，点P在点A的左右两侧，再利用△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，求出PG的长度，从而得到PH解析式，联立求解即可．
【解答】解：（1）∵函数过（0，﹣3），（﹣b，c）
∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c，
∴（a﹣1）b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
（2）①由（1）知该函数的解析式为：y＝x2+bx﹣3＝（x）2，
∵a＝1＞0，
∴当x时，函数最小值为y，
∵二次函数最小值为﹣4，
∴4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0）．
②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC，
∴BF2，
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，
∴，
∴PG，
过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CHCK，
∴OH，
∴点H坐标（0，），
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组可得，
解得，，
∴P点坐标为（，）或（，）．
Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，
同第一种情况的方法可得H（0，）
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组得，
解得（舍），，
∴P点坐标为（，）．
综上，P点的横坐标为或或．
28．（2024 广元）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【思路点拔】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，可知△CDM∽△ODB，由此得到，设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），所以CM＝﹣（t）2，当t时，CM有最大值，此时 的最大值为，此时点C的坐标为（，）；
（3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，求出E（1，﹣1），抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），设G（m，m+2），当BE为平行四边形的对角线时，G（﹣2，0）；当BG为平行四边形对角线时，G（4，6）；当BH为平行四边形的对角线时，G（2，4）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入 y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+2；
（2）如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，
∴△CDM∽△ODB，
∴，
设AB的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入解析式得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），
∴CM＝﹣t2﹣2t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，
∵﹣3＜t＜0，
∴当t时，CM有最大值，此时 的最大值为，
此时点C的坐标为（，）；
（3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，
∴x2﹣2x+2＝1，
解得x＝﹣3（舍）或x＝1，
∴E（1，﹣1），
∵抛物线F：y＝﹣x2﹣2x+2 的顶点坐标为（﹣1，3），
∴点（﹣1，3）关于点E（1，﹣1）的对称点坐标为（3，﹣5），
∴抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），
设G（m，m+2），
当BE为平行四边形的对角线时，x+3＝1，解得x＝﹣2，
∴G（﹣2，0）；
当BG为平行四边形对角线时，x＝3+1＝4，
∴G（4，6）；
当BH为平行四边形的对角线时，x+1＝3时，解得x＝2，
∴G（2，4）；
综上所述：G点坐标（﹣2，0）或（4，6）或（2，4）．
29．（2024 泰安）如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：C2：y（x﹣1）2（x﹣1）﹣4+3（x）2，当x＝1时，y（x）2（1）21，即可求解；
（3）当∠BAP为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点E（2，2），当x＝2时，y（x）2（2）22，即点E在抛物线C2上，即点P即为点E（2，2）；当∠DBP为直角时，同理可解；当∠HPD为直角时，如图3，同理可得点E（0，1），即可求解．
【解答】解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a4，
解得：a，
则抛物线的表达式为：yx2x﹣4；
（2）由题意得：C2：y（x﹣1）2（x﹣1）﹣4+3（x）2，
当x＝1时，y（x）2（1）21，
故点D在抛物线C2上；
（3）存在，理由：
当∠BDP是直角时，
如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BE，则△BDE为等腰直角三角形，
∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DEH，
∵∠DGB＝∠EHD＝90°，
∴△DGB≌△EHD（AAS），
则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3，
则点E（2，2），
当x＝2时，y（x）2（2）22，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E（2，2）；
当∠DBP为直角时，如图2，
同理可得：△BGE≌△DHB（AAS），
则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，
则点E（﹣1，3），
当x＝﹣1时，y（x）2（﹣1）23，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E（﹣1，3）；
当∠BPD为直角时，如图3，
设点E（x，y），
同理可得：△EHB≌△DGE（AAS），
则EH＝x+2＝GD＝y+1且BH＝y＝GE＝1﹣x，
解得：x＝0且y＝1，即点E（0，1），
当x＝0时，y（x）2（0）21，
即点E不在抛物线C2上；
综上，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）．
30．（2024 雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，即可求解；
（3）当∠EDB为直角时，则直线DE的表达式为：y（x﹣5）+8，则点E（0，），再分类求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点Q（x，x2﹣4x+3），则点P（x，﹣x+3），
则PQ＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
此时x，则y＝x2﹣4x+3，
即点Q（，）；
（3）存在，理由：
由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：yx+3，
过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO，
∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO，
则∠CQT＝∠QQT，
即直线AQ和DQ关于直线QT对称，
则直线DQ的表达式为：y（x），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3（x），
解得：x（舍去）或5，
即点D（5，8）；
设点E（0，y），由B、D、E的坐标得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2，
当DE＝BD时，
则68＝25+（y﹣8）2，
解得：y＝8±，即点E（0，8±）；
当DE＝BE或BD＝BE时，
同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68，
解得：y＝5或±，
即点E（0，5）或（0，±）；
综上，点E（0，8±）或（0，5）或（0，±）．
31．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM；
（3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由．
【思路点拔】（1）根据顶点坐标，求出b的值，再将点A代入函数解析式即可确定具体解析式；
（2）过点M作MN⊥x轴交于点N，利用勾股定理逆定理证明△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，则tan∠ACM＝2，在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，由此可证明∠ACM＝∠BAM；
（3）过点D作DH⊥x轴交于H点，根据OE∥DH，可知，即，从而求出D（，），再求AD，DM'，设B点到AM'的距离为h，根据3S△ABDh，2S△M′BDh，即可得到3S△ABD＝2S△M′BD．
【解答】（1）解：∵顶点为M（2，d），
∴2，
∴b＝8，
∴y＝﹣2x2+8x+c，
将点A（1，0）代入y＝﹣2x2+8x+c，
∴﹣2+8+c＝0，
解得c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6；
（2）证明：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
∴M（2，2），
过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（1，0），C（0，），
∴AC，AM，CM，
∵CM2＝AC2+AM2，
∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，
∴tan∠ACM＝2，
在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，
∴∠ACM＝∠BAM；
（3）解：3S△ABD＝2S△M′BD，理由如下：
∵M（2，2），
∴M'（2，﹣2），
过点D作DH⊥x轴交于H点，
∵OE∥DH，
∴，
当y＝0时，﹣2x2+8x﹣6＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴，
解得xD，
设直线AM'的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AM'的解析式为y＝﹣2x+2，
∴D（，），
∴AD，DM'，
设B点到AM'的距离为h，
∴3S△ABD3hh，2S△M′BD2hh，
∴3S△ABD＝2S△M′BD．
32．（2024 齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，即可求解；
（3）E、C、F、A共线，EF＝AC，则xF﹣xE＝xA﹣xC，即可求解；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，即可求解．
【解答】解：（1）直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝﹣2，则a，
则抛物线的表达式为：yx2x﹣2；
（2）设点D（x，0），
由点A、C、D的坐标得，AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，
则AC＝AD或AC＝CD，
即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，
解得：x＝4±2或4（舍去）或﹣4，
即点D（4±2，0）或（﹣4，0）；
（3）设点P（x，x2x﹣2），
当yx2x﹣2x﹣2，则x＝x2﹣3x，即点E（x2﹣3x，x2x﹣2），
∵E、C、F、A共线，EF＝AC，
则xF﹣xE＝xA﹣xC，
即x﹣（x2﹣3x）＝4﹣0，
解得：x＝2，
即点P（2，﹣3）；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（，0），
连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，
∵A′A″∥MN且A′A″＝MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N＝A″M，
则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，最小值为，
故答案为：．
33．（2024 武汉）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．
【思路点拔】（1）在yx2+2x中，令x＝0得C（0，），令y＝0得A（1，0），B（﹣5，0）；
（2）由A（，0），C（0，）得直线AC的解析式为yx，设直线PQ的解析式为yx+b'，P（t，t2+2t），可得b't2t，故Q（0，t2t）；根据BC平分线段PQ，知PQ的中点（，t2t）在直线BC上，求得直线BC解析式为yx，有t2t，解出t的值从而可得P（﹣2，）；
（3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，证明△ETG∽△GSF，可得ET FS＝GS TG，求出D（0．﹣5），设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5，联立得x2+（2﹣k1）x0，联立 得x2+（2﹣k2）x0，设xE＝e，xF＝f，xG＝g，故ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4，从而知f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g），故（e+g+4）（e﹣g） （f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g），可得e+g＝﹣5，即得2k2﹣4＝﹣5，k2，得直线DE解析式为yx﹣5．
【解答】解：（1）在yx2+2x中，令x＝0得y，
∴C（0，），
令y＝0得0x2+2x，
解得x＝﹣5或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣5，0）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（，0），C（0，）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为yx，
由PQ∥AC，设直线PQ的解析式为yx+b'，
设P（t，t2+2t），
∴t2+2tt+b'，
∴b't2t，
∴直线PQ的解析式为yxt2t，
令x＝0得yt2t，
∴Q（0，t2t）；
∵BC平分线段PQ，
∴PQ的中点（，t2t）在直线BC上，
由B（﹣5，0），C（0，）得直线BC解析式为yx，
∴t2t，
解得t＝﹣2或t＝0（舍去），
∴P（﹣2，）；
（3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，如图：
∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°，
∴∠EGT＝90°﹣∠FGS＝∠GFS，
∴△ETG∽△GSF，
∴，
∴ET FS＝GS TG，
∵点D与原点O关于 对称，
∴D（0，﹣5），
设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5，
联立得：k1xx2+2x，
∴x2+（2﹣k1）x0，
联立 得：k2x﹣5x2+2x，
∴x2+（2﹣k2）x0，
设xE＝e，xF＝f，xG＝g，
∴ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4，
∴f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g），
∵ET FS＝GS TG，
∴（e+g+4）（e﹣g） （f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g），
∴（e+g+4）（e﹣g） （﹣g+g+4）（﹣g﹣g）＝（g﹣e）（﹣g﹣g），
∴e+g＝﹣5，
∴2k2﹣4＝﹣5，
解得k2，
∴直线DE解析式为yx﹣5．
34．（2024 湖北）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标；
（3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N，设L的顶点横坐标为n，NC的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W，当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
【思路点拔】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设M（m，﹣m2+2m+3），作MH⊥x轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于m的方程求解即可；
（3）①由二次函数平移可得出图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，从而得到CN＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，再分类讨论去绝对值即可；
②根据题干条件得出整数点（0，1），（0，2），（1，1），再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b+3，
解得：b＝2；
（2）∵b＝2，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，解得x＝﹣1或x＝3，令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），
设M（m，﹣m2+2m+3），
作MH⊥x轴于点H，如图，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴
解得m或m＝﹣1（舍
2024年全国各地中考压轴题—二次函数
1．（2024 广安）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
2．（2024 东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．
3．（2024 甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
4．（2024 河北）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y（x﹣t）2t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．
（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．
淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当t＝4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
5．（2024 南充）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求的值．
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求QM+QN的最小值．
6．（2024 连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
7．（2024 绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024 巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
9．（2024 甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝ ，n＝ ．
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
10．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024 凉山州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024 镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为（3，0），则t＝ ；
②求t的取值范围；
③求OD DB的最大值．
13．（2024 绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCPtan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
14．（2024 资阳）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
15．（2024 西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA﹣PD有最大值？若存在，求出PA﹣PD的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN，求点M的坐标．
16．（2024 淄博）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．
17．（2024 日照）已知二次函数y＝﹣x2+（2a+4）x﹣a2﹣4a（a为常数）．
（1）求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）当a+1≤x≤2a+5（a≥﹣1）时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
（3）若二次函数图象对称轴为直线x＝1，该函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为CD的中点，过点M的直线l（直线l不过C，D两点）与二次函数图象交于E，F两点，直线CE与直线DF相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若S△COPS△ABP，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
18．（2024 眉山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
20．（2024 济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
21．（2024 湖南）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
22．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
23．（2024 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．
（1）求b．c的值；
（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CMRB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．
24．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
25．（2024 大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
26．（2024 宁夏）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024 济宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2024 广元）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
29．（2024 泰安）如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2024 雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM；
（3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由．
32．（2024 齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
33．（2024 武汉）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．
34．（2024 湖北）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标；
（3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N，设L的顶点横坐标为n，NC的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W，当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
35．（2024 临夏州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
36．（2024 苏州）如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求图象C1对应的函数表达式；
（2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式．
37．（2024 烟台）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；
（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；
（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2024 甘肃）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
39．（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
40．（2024 达州）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
41．（2024 泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
42．（2024 德阳）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PAPM的最小值．
43．（2024 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
（3）延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
44．（2024 宜宾）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
45．（2024 遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
46．（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PDPE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PDPE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
47．（2024 自贡）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式及P点坐标；
（2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长；
（3）过点P的直线y＝kx+n分别与抛物线、直线x＝﹣1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论．
