第2章《直线与圆的位置关系》单元测试B卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P坐标（3，﹣4），以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（ ）
A．原点O在⊙P内
B．原点O在⊙P上
C．⊙P与x轴相切，与y轴相交
D．⊙P与y轴相切，与x轴相交
3．（3分）已知⊙O是△ABC的内切圆，那么点O一定是△ABC的（ ）
A．三边中线交点
B．三边高的交点
C．三个顶角的角平分线交点
D．三边的垂直平分线的交点
4．（3分）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则该圆的半径为（ ）
A． cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．7 C．7 D．12
7．（3分）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
8．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
①CE CA＝CD CB；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2＝AE AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则OP．正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ．
12．（3分）如图，AB为⊙O的弦，AC切⊙O于点A，BC过圆心O，若∠B＝20°，则∠C＝ ．
13．（3分）如图，已知∠BAC＝45°，点O在AC上，且，以点O为圆心，r为半径画⊙O．若⊙O与射线AB有1个公共点，则r的取值范围是 ．
14．（3分）已知如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，连接BC，点M是BC上一点，射线MN与以A为圆心，1为半径的⊙A相切于点N，则线段MN的最小值是 ．
15．（3分）如图，∠ACB＝45°，半径为1的⊙O与∠ACB的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在边BC上，CD＝6，BD＝10．点P是线段AD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点．
（1）在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点M的坐标： ；
（2）判断⊙M与y轴的位置关系： ．
18．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若BD＝2，，求⊙O的半径长．
19．（8分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：CF＝CE；
（2）若AD＝8，AC＝5，求⊙O的半径．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D．
（1）求证：点F是的中点；
（2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 ．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E，记∠EPD＝∠1，∠EDO＝∠2．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若PC＝6，tan∠PDA，求OE的长．
22．（10分）如图，AB是圆O的切线，切点为B，AO交圆O于点C，且AC＝OC．
（1）求的度数；
（2）设圆O的半径为5，求图中阴影部分面积．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，cosC，求CF的长．
24．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
第2章《直线与圆的位置关系》单元测试B卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【思路点拔】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交，
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P坐标（3，﹣4），以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（ ）
A．原点O在⊙P内
B．原点O在⊙P上
C．⊙P与x轴相切，与y轴相交
D．⊙P与y轴相切，与x轴相交
【思路点拔】根据点P坐标（3，﹣4），求得点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，到原点的距离为5，于是得到结论．
【解答】解：∵点P坐标（3，﹣4），
∴点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，到原点的距离为5，
∵以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，
∴原点O在⊙P外，⊙P与x轴相切，与y轴相交，故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
3．（3分）已知⊙O是△ABC的内切圆，那么点O一定是△ABC的（ ）
A．三边中线交点
B．三边高的交点
C．三个顶角的角平分线交点
D．三边的垂直平分线的交点
【思路点拔】直接根据三角形内心的定义即可得出结论．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴若⊙O是△ABC的内切圆，那么点O一定是△ABC的三个顶角的角平分线交点．
故选：C．
4．（3分）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则该圆的半径为（ ）
A． cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
【思路点拔】设OB＝rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC＝r﹣2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．
【解答】解：设OB＝rcm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC＝r﹣2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BCBD6＝3，
在Rt△OBC中，
∵OB2＝OC2+BC2，即r2＝（r﹣2）2+32，解得rcm．
故选：A．
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
【思路点拔】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．7 C．7 D．12
【思路点拔】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2
故（x+2）2+（x+3）2＝52，
解得：x＝1，
∴BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC3×4＝6，
故选：A．
7．（3分）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【思路点拔】首先画出图形，连接OA、OC、OE、OD、OB，根据切线性质，∠P+∠AOB＝180°，可知∠AOB＝140°，再根据CD为切线可知∠COD∠AOB．
【解答】解：由题意得，连接OA、OC、OE、OD、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
∵AO＝OE＝OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD∠AOB，
∵∠APB＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴∠COD＝70°．
故选：C．
8．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OC，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用S阴影＝SRt△OCD﹣S扇形BOC即可解答．
【解答】解：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵∠OCD＝90°，
∴，
∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC2．
故选：D．
9．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
①CE CA＝CD CB；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2＝AE AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拔】由DE与AC垂直，得到三角形CDE为直角三角形，而由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为90°，得到AD与BC垂直，又D为BC中点，进而得到AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到AC与AB相等，故三角形ABC不是直角三角形，所以三角形CDE与ABC不相似，CE CA与CD CB不相等，选项①错误；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确；由两对对应角相等得到三角形ADE与三角形ACD相似，根据对应边成比例得到选项⑤正确，从而得到所有正确选项的个数．
【解答】解：显然，△CED为直角三角形，而△ABC不是直角三角形，故两三角形不相似，
所以CE CA≠CD CB，选项①错误；
连接OD，∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OAAB，
∴OAAC，选项③正确；
∵∠DAC＝∠EAD，∠DEA＝∠CDA＝90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴，即AD2＝AE AB，选项⑤正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：C．
10．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则OP．正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【思路点拔】①用反证法判断即可得出结论．
②想办法证明∠GPD＝∠GDP，可得结论．
③想办法证明AP＝PQ，可得结论．
④说明∠CAP与∠DAB不一定相等，即可判断本结论错误．
⑤证明△AOC是等边三角形，求出OP即可判断．
【解答】解：不妨设∠BAD＝∠ABC，则，
∵，
∴，这个显然不符合题意，故①错误，
连接OD，∵GD是⊙O的切线，
∴OD⊥DG，
∴∠ODG＝90°，
∴∠GDP+∠ODA＝90°，
∵GE⊥AB，
∴∠AEP＝90°，
∴∠PAE+∠APE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠APE＝∠GPD，
∴∠GDP＝∠GPD，
∴GP＝GD，故②正确，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACP+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵，
∴∠CAP＝∠ABC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PC＝PA，
∵∠AQC+∠CAP＝90°，∠ACP+∠PCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴PA＝PQ，
∵∠ACQ＝90°，
∴点P是△ACQ的外接圆的圆心，故③正确，
∵与不一定相等，
∴∠CAP与∠DAB不一定相等，
∴点P不一定是△AOC的内心，故④错误，
∵DG∥BC，OD⊥DG，
∴OD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∠CAD＝∠DAB＝30°
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵CE⊥OA，
∴∠ACE＝∠OCE，
∴点P是△AOC的外心，
∴OP＝AP＝PC，故⑤错误，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 5 ．
【思路点拔】根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的斜边等于其外接圆的直径可得这个三角形的外接圆的半径．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴直角三角形的斜边10，
所以这个三角形的外接圆的半径10＝5，
故答案为：5．
12．（3分）如图，AB为⊙O的弦，AC切⊙O于点A，BC过圆心O，若∠B＝20°，则∠C＝ 50° ．
【思路点拔】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝40°，
∵AC切⊙O于点A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
13．（3分）如图，已知∠BAC＝45°，点O在AC上，且，以点O为圆心，r为半径画⊙O．若⊙O与射线AB有1个公共点，则r的取值范围是 r＝4或r＞4 ．
【思路点拔】此题应分情况讨论：当圆和射线BA相切时，则圆心到直线的距离等于圆的半径；当圆和射线相交时亦可．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：根据等腰直角三角形的性质，求得圆心到直线的距离是OD＝4．
若相切时，则此时圆的半径是4；
当圆和射线AB相交，但另一个交点在AB的延长线上时，则r＞4．
则r＝4或r＞4．
故答案为：r＝4或r＞4．
14．（3分）已知如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，连接BC，点M是BC上一点，射线MN与以A为圆心，1为半径的⊙A相切于点N，则线段MN的最小值是 ．
【思路点拔】解方程得到A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），求得AB＝4，OC＝2，连接AN，当MN⊥BC时，线段MN的值最小，过点A作AH⊥BC于H，根据矩形的性质得到MN＝AH，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），
∴AB＝4，OC＝2，
连接AN，
∵射线MN与以A为圆心，1为半径的⊙A相切于点N，
∴∠ANM＝90°，
当最小时，MN取最小值，AM垂直于BC时，AM最小，
∵BC4＝AB，∠AMB＝∠BOC＝90°，
∠ABM＝∠CBO，
∴△ABM≌△CBO（AAS），
∴AM＝OC＝2，
∴线段MN的最小值，
故答案为：．
15．（3分）如图，∠ACB＝45°，半径为1的⊙O与∠ACB的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ．
【思路点拔】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得t＝PE+PQ＝EQ，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：设⊙O与∠ACB两边的切点分别为D、G，连接OG、OD，延长DO交CB于点H，
由切线的性质可得∠OGC＝∠ODC＝∠OGH＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠OHC＝45°，
∴，
∴，
如图，延长EP交CB于点Q，
同理，
∵，
∴t＝PE+PQ＝EQ，
当EQ与⊙O相切时，EQ有最大或最小值，
连接OP，
∵D、P都是切点，
∴∠ODE＝∠DEP＝∠OPE＝90°，
∴四边形ODEP是矩形，
∵OD＝OP，
∴四边形ODEP是正方形，
∴t的最大值为；
如图，
同理，t的最小值为；
综上，t的取值范围是．
故答案为：．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在边BC上，CD＝6，BD＝10．点P是线段AD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 5或或4 ．
【思路点拔】根据勾股定理得到AB，AD，当⊙P于BC相切时，过P作PH⊥BC于H，求得PH，当⊙P于AB相切时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BD+CD＝16，
∴AB＝8，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，
∴AD＝10，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝4，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝4，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴，
∴PD＝5，
∴AP＝5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝4，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝4，
∵AD＝BD＝10，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴，
∴AP＝4，
当半径为4的⊙P与△ABC的AC边相切，
过P作PM⊥AC于M，
∴PM＝4，
∴，
∴，
∴AP，
综上所述，AP的长为5或或4，
故答案为：5或或4．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点．
（1）在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点M的坐标： （3，2） ；
（2）判断⊙M与y轴的位置关系： 相交 ．
【思路点拔】（1）作AB、BC的垂直平分线交于点M，则M为圆心，MA的长为半径的圆即为所求；
（2）确定圆的半径及圆心M到y轴的距离即可判断；
【解答】（1）解：连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于点M，以M为圆心，MA的长为半径的圆即为所求，如图所示：
点M坐标为：（3，2）
故答案为：（3，2）；
（2）∵，
即：⊙M的半径，
点M到y轴的距离d＝3，
∵，
∴⊙M与y轴相交，
故答案为：相交．
18．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若BD＝2，，求⊙O的半径长．
【思路点拔】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠DCB+∠BCO＝∠OCD＝90°，根据切线判定推出即可；
（2）在Rt△OCD中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠DCB＝∠A，
∴∠DCB＝∠ACO，
∴∠DCB+∠BCO＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝OC，BD＝2，
设OC＝x，则DO＝3，
∵∠OCD＝90°，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2（x+2）2，
解得：x＝4，
⊙O的半径是4．
19．（8分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：CF＝CE；
（2）若AD＝8，AC＝5，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）根据切线的性质和圆周角定理得到∠CAE＝∠B，∠DAC＝∠B，即可得到∠CAE＝∠CAF，然后通过证得△CAE≌△CAF即可证得结论；
（2）连接OC，则根据垂径定理得到OC⊥AD，AH＝DH，根据勾股定理求得CH＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2，得到r2＝42+（r﹣3）2，解得即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，AC⊥EF，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠CAE＝∠B，
∵，
∴∠DAC＝∠B，
∴∠CAE＝∠CAF，
在△CAE和△CAF中
∴△CAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝CE；
（2）解：连接OC，交AD于H，
∵，
∴OC⊥AD，AH＝DH，
∵AD＝8，AC＝5，
∴AH＝4，
在Rt△ACH中，CH3，
设⊙O的半径为r，
∴OH＝r﹣3，
在Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2，
∴r2＝42+（r﹣3）2，
解得r
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D．
（1）求证：点F是的中点；
（2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 ．
【思路点拔】（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OED＝90°，求得∠D＝∠AEO，根据垂直的定义得到AE⊥OD，根据垂径定理得到，得到F是AE的中点；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠COE＝∠DOE，由（1）知，，求得∠AOF＝∠DOE，得到∠COE＝∠DOE＝∠AOD，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴∠OED＝90°，
∴∠D+∠DOE＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠A＝∠AEO，
∴∠D＝∠AEO，
∴AEO+∴DOE＝90°，
∴AE⊥OD，
∴，
∴F是AE的中点；
（2）解：∵∠A＝∠C，∠A＝∠D，
∴∠C＝∠D，
∴OC＝OD，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
由（1）知，，
∴∠AOF＝∠DOE，
∴∠COE＝∠DOE＝∠AOD，
∵OE＝3，
∴DE，
∴阴影部分的面积＝S△DOE﹣S△扇形FOE3×3．
故答案为：．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E，记∠EPD＝∠1，∠EDO＝∠2．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若PC＝6，tan∠PDA，求OE的长．
【思路点拔】（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠1＝∠2；
（2）连接OC，利用tan∠PDA，可求出CD＝4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．
【解答】证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO＝∠1且PA⊥AO，
∴∠PAO＝90°，
∵∠AOP＝∠EOD，∠PAO＝∠E＝90°，
∴∠APO＝∠2，
∴∠1＝∠2；
（2）解：连接OC，
∴PA＝PC＝6，
∵tan∠PDA，
∴在Rt△PAD中，AD＝8，PD＝10，
∴CD＝4
∵tan∠PDA，
∴在Rt△OCD中，OC＝OA＝3，OD＝5，
∵∠EPD＝∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴2，
∴DE＝2OE
在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即5OE2＝52，
∴OE．
22．（10分）如图，AB是圆O的切线，切点为B，AO交圆O于点C，且AC＝OC．
（1）求的度数；
（2）设圆O的半径为5，求图中阴影部分面积．
【思路点拔】（1）连接OB、BC，根据切线的性质求得OB⊥AB，根据直角三角形斜边中线的性质得出BCOA，进而求得OB＝BC＝OC，得出△OBC是等边三角形，
求得∠BOC＝60°，即可求得的度数；
（2）先求得直角三角形的面积和扇形的面积，根据S阴影＝S△AOB﹣S扇形即可求得．
【解答】解：（1）连接OB、BC，
∵AB是圆O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，
∵AC＝OC．
∴BCOA，
∵AC＝OCOA，
∴OB＝BC＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴的度数为60°；
（2）∵∠BOC＝60°，OA＝10，
∴AB＝sin60° OA10＝5，
∴S△AOBAB OB55，
∵S扇形60，
∴S阴影＝S△AOB﹣S扇形．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，cosC，求CF的长．
【思路点拔】（1）根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥AC；
（2）连接AD，根据余弦的定义求出CD，进而求出CE，根据平行线分线段成比例定理得到FE＝CE，得到答案．
【解答】（1）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
在Rt△ADC中，cosC，
∴CD＝4，
在Rt△CED中，cosC，
∴CE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴EF＝CE，
∴CF．
24．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
【思路点拔】（1）连接BD，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC，由题意可得∠ACB＝90°＝∠AEC，即可证∠BCO＝∠ACE＝∠ABC，可得∠ECO＝∠ACB＝90°，则可证CE是⊙O的切线；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得CE＝CF，可证△CED≌△CFB，可得DE＝BF，根据勾股定理可求⊙O的半径长．
【解答】证明：（1）连接BD
∵，
∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC
∵四边形ACBD是圆内接四边形
∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠AEC，
又∵∠CAB＝∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCO＝∠ACE，
∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（3）过点C作CF⊥AB于点F，
又∵∠CAB＝∠CAE，CE⊥DA，
∴AE＝AF，
在△CED和△CFB中，
∴△CED≌△CFB（AAS），
∴ED＝FB，
设AB＝x，则AD＝x﹣2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，
∴⊙O的半径的长为．
