《切线的性质与判定》同步提升训练题
一．选择题（共22小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1）
2．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件嘉嘉说：“这个条件可以是AB＝AC”；淇淇说：“满足条件AC∥OD也可以判定DE是⊙O的切线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．他们都正确 D．他们都错误
3．如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A．OC∥AE B．∠OAC＝∠CAE C．∠OCA＝∠CAE D．OA＝AC
5．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（ ）
A．∠O+∠P＝90° B．∠O+∠P＝∠OMP
C．OM2+PM2＝OP2 D．点N是OP的中点
8．如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（ ）
①点A'在⊙O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与⊙O相切．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．55° D．60°
11．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝2∠D，且AB＝4，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
13．如图，在⊙O中，∠BAC＝50°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形OABC的顶点B，与AB、BC分别相交．若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，9）．则圆心P的坐标为（ ）
A．（6，6） B．（5，5） C．（5，6） D．（4，5）
15．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，连接OC，若∠AOC＝70°，则∠P的度数是（ ）
A．45° B．55° C．35° D．50°
16．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（ ）
A．18° B．36° C．48° D．72°
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
18．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点为点D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BOD＝2∠BAD
B．如果AD平分∠ODC，ADOD
C．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC
D．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线
19．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
20．如图所示，直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，AB＝8cm，若要使直线l与⊙O相切，则l应沿OC方向向下平移（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
21．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（ ）
A．2 B． C． D．2
二．填空题（共6小题）
23．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝ cm时，⊙M与OA相切．
24．如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③OC＝BC；④AB＝BD中，能使命题成立的有 （只要填序号即可）．
25．如图所示，⊙O的半径为4cm，BC是直径，若AB＝10cm，则AC＝ cm时AC是⊙O的切线．
26．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后⊙P与直线CD相切．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是 ．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，则BC＝3．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 ．
三．解答题（共32小题）
29．如图，CD是⊙O的直径，点D是线段AB的中点，AC＝BC．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求证：AB是⊙O的切线．
30．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
31．如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．
32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，说明理由；
（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的长．
33． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
34．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线．
35．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC．求证：CD与⊙O相切．
36．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求AC的长．
37．如图，已知⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC＝6，OA＝5，求AC的长；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
38．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线．
39．如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E＝90°，，连接AG．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若，，求线段AE的长．
40．如图AB、CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是弧BD的中点，弦CE、BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若BF＝3，求CF的长．
41．如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）若，AB＝5，求BD的长．
42．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E．求证：CF＝CE；
43．如图，在 ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径．
44．如图，AB为⊙O 的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若0A＝2OE，DF＝3，求PB的长．
45．如图，以AB为直径的⊙O上有C，D两点，过点C作⊙O的切线CE，连接AD并延长交CE于点E，连接AC，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠AEC＝90°．
（2）若AD＝6，CE＝2，求⊙O的半径．
46．如图，AB是⊙O的直径，点D在BA的延长线上，DC与⊙O相切于点C，连接AC，BC，过点B作BE⊥DC于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠CBE；
（2）若AD＝2，CD＝4，求⊙O半径的长．
47．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
48．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∠ACB＝90°，，连接AB、CD，过点C的切线与DB的延长线交于点E．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
49．如图，△ABC内接于⊙O．
（1）若∠C＝45°，⊙O的半径是2cm，求AB的长；
（2）过A点作⊙O的切线DE，求证：∠BAE＝∠C．
50．如图△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，以点E为圆心，EC为半径作⊙E交AC于点F．
（1）求证：AB与⊙E相切；
（2）若AB＝15，BC＝9，试求AF的长．
51．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
52．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
53．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE是⊙O的切线；
（2）若CA＝2，CD＝4，求⊙O的半径及DE的长．
54．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
55．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．
56．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，点F在BC上，且BF＝DF．
（1）求证：DF是半圆O的切线；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
57．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，点P为AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BAC．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠P．
58．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．
59．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长．
60．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：DM＝DB．
《切线的性质与判定》同步提升训练题
一．选择题（共22小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1）
【思路点拔】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可．
【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF＝BD＝2，
∴F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）和（1，3）．
故选：B．
2．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件嘉嘉说：“这个条件可以是AB＝AC”；淇淇说：“满足条件AC∥OD也可以判定DE是⊙O的切线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．他们都正确 D．他们都错误
【思路点拔】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，AC∥OD，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．
【解答】解：当AB＝AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC∥OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
当AC∥OD时，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
故选：C．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OAAB，
∴OAAC，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A．OC∥AE B．∠OAC＝∠CAE C．∠OCA＝∠CAE D．OA＝AC
【思路点拔】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质，逐项判定即可得到答案．
【解答】解：A、∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，
当OC∥AE时，则∠OCD＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，则∠CAE+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
当∠OAC＝∠CAE时，则∠OCA+∠ACE＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当∠OCA＝∠CAE时，OC∥AE，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠OCD＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当OA＝AC时，由OA＝OC得到OA＝OC＝AC，则△OAC是等腰三角形，无法确定∠OCD＝90°，不能得到CD切⊙O于点C，该选项不正确，符合题意；
故选：D．
5．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
【思路点拔】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴ABAC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】连接OE，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，从而得出四边形OEB′H是矩形且OE＝OD＝OC＝5，继而求得B′E＝OH4，由A′E＝A′B′﹣B′E可得答案．
【解答】解：连接OE，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，
∴四边形OEB′H是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B′H＝OE＝5，
∴CH＝B′C﹣B′H＝3，
∴B′E＝OH4，
则A′E＝A′B′﹣B′E＝10﹣4＝6，
故选：B．
7．如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（ ）
A．∠O+∠P＝90° B．∠O+∠P＝∠OMP
C．OM2+PM2＝OP2 D．点N是OP的中点
【思路点拔】根据切线的判定定理进行判断即可．
【解答】解：A．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝90°，
∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线，
故选项A不符合题意；
B．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝∠OMP，
∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线，
故选项B不符合题意；
C．∵OM2+PM2＝OP2，
∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线，
故选项C不符合题意；
D．点N是OP的中点不能得出∠OMP＝90°，即不能判断出PM是⊙O的切线，
故选项D符合题意；
故选：D．
8．如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（ ）
①点A'在⊙O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与⊙O相切．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】可证得△AOA′和△ABB′是等边三角形，可推出OA′＝OA，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出A′B′＝OB＝AA′，进一步得出③正确；作OC⊥B′B，可推出∠OB′B＝30°，进而得出OB′＝2OC，结合OB′＝2OB可推出点C和点B重合，进而得出④正确，从而得出结果．
【解答】解：∵OA＝AA′，∠OAA′＝60°，
∴△AOA′是等边三角形，
同理可得，
△ABB′是等边三角形，
①∵△AOA′是等边三角形，
∴OA′＝OA，
∴点A′在⊙O上，
故①正确，
∵∠OAA′＝∠BAB′＝60°，
∴∠OAB＝∠A′AB′，
∵OA＝AA′，AB＝AB′，
∴△OAB≌△A′AB′，
故②正确，
③由②知，
△OAB≌△A′AB′，
∴A′B′＝OB，
∵OB＝OA＝AA′，
∴AA′＝A′B′，
∴∠A′AB′＝∠A′B′A，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′＝∠AB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠BAA′，
∵∠BOA′＝2∠BAA′，
∴∠BB′A′∠BOA′，
故③正确，
④如图，
过点O作OC⊥BB′于C，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，
∵OA＝OB，B′A＝B′B，
∴B′O垂直平分AB，
∴∠OB30°，
∴OB′＝2OC，
∵OB′＝2OA＝2OB，
∴OC和OB重合，
∴OB⊥B′B，
∴BB′是⊙O的切线，
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，
故选A．
9．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故①正确；
连接DO，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，
又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴AC＝AB，∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线，故④正确；
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵∠ODB＝∠B，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OAAB，
∴OAAC，选项③正确；
故选：D．
10．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．55° D．60°
【思路点拔】连接OA，OB，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，最后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解答】解：连接OB，OA，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB，
故选：B．
11．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝2∠D，且AB＝4，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【思路点拔】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D，等量代换可得∠A＝∠BOC，进而可得OB＝AB＝4，根据切线的定义得出AB⊥OB，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：如图，连接OB．
由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D，
∵∠A＝2∠D，
∴∠A＝∠BOC，
∴OB＝AB，
∵AB＝4，
∴OB＝OC＝4．
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥OB，
∴．
∴．
故选：D．
12．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【思路点拔】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD2，
故选：C．
13．如图，在⊙O中，∠BAC＝50°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【思路点拔】连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP＝∠OCP＝90°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝100°，则∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB、OC，
∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C，
∴PB⊥OB，PC⊥OC，
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝80°，
故选：B．
14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形OABC的顶点B，与AB、BC分别相交．若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，9）．则圆心P的坐标为（ ）
A．（6，6） B．（5，5） C．（5，6） D．（4，5）
【思路点拔】根据⊙P与x轴、y轴都相切，设圆心P的坐标为（r，r），连接PB，过点P作PE⊥CB于点E，设⊙P与y的切点为F，连接FP并延长，与AB交于点G，由点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，9），得到OA＝BC＝8，OC＝AB＝9，求得PE＝9﹣y，PB＝r，BE＝8﹣r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵⊙P与x轴、y轴都相切，
设圆心P的坐标为（r，r），
连接PB，过点P作PE⊥CB于点E，设⊙P与y的切点为F，连接FP并延长，与AB交于点G，
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，9），
∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝9，
∴PE＝9﹣y，PB＝r，BE＝8﹣r，
根据勾股定理：EB2+PE2＝PB2，
即（8﹣r）2+（9﹣r）2＝r2，
解得r＝5或r＝29（不合题意舍去）
∴圆心P的坐标为（5，5），
故选：B．
15．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，连接OC，若∠AOC＝70°，则∠P的度数是（ ）
A．45° B．55° C．35° D．50°
【思路点拔】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴∠PAB＝90°，
∵∠AOC＝70°，
∴∠B∠AOC＝35°，
∴∠P＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
16．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（ ）
A．18° B．36° C．48° D．72°
【思路点拔】连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，再由切线长定理得BD＝DC，从而得∠DBC＝∠DCB＝90° 18°＝72°，进而即可求解．
【解答】解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90° 18°＝72°，
∴∠D＝180°﹣72°×2＝36°．
故选：B．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【思路点拔】由OA＝OC，点D是AC中点，根据等腰三角形的“三线合一”可证明OQ垂直平分AC，可判断②正确；因为∠AOD＝∠COD∠AOC，∠B∠AOC，所以∠B＝∠AOD，可判断①正确；由∠PCA＝∠PAB，得∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B＝∠AOD，则∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°，再证明∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC，则∠QCO＝∠QAO＝90°，可证明直线PA和CQ都是⊙O的切线，可判断③正确；假设CQ∥AO正确，∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°，可推导出∠AOC＝90°，则∠B∠AOC＝45°，与已知条件不符，所以CQ∥AO不正确，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点D是AC中点，
∴AD＝CD，
∵OA＝OC，
∴OQ⊥AC，
∴OQ垂直平分AC，
故②正确；
∴∠AOD＝∠COD∠AOC，
∵∠B∠AOC，
∴∠B＝∠AOD，
故①正确；
∵∠PCA＝∠PAB，
∴∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B，
∵∠B＝∠AOD，
∴∠PAC＝∠AOD，
∵∠ADO＝90°，
∴∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°，
∵OC＝OA，QC＝QA，
∴∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC，
∴∠QCO＝∠OCA+∠QCA＝∠OAC+∠QAC＝∠QAO＝90°，
∵OA、OC都是⊙O的半径，PA⊥OA，CQ⊥OC，
∴直线PA和CQ都是⊙O的切线，
故③正确；
假设CQ∥AO正确，则∠AQC＝180°﹣∠QAO＝90°，
∴∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°，
∴∠AOC＝360﹣∠AQC﹣∠QAO﹣∠QCO＝90°，
∴∠B∠AOC＝45°，显然与已知条件不符，
∴CQ∥AO不正确，
故④错误，
故选：C．
18．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点为点D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BOD＝2∠BAD
B．如果AD平分∠ODC，ADOD
C．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC
D．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线
【思路点拔】A．由圆周角定理可得∠BOD＝2∠BAD，便可判断正误；
B．由角平分线与等腰三角形的性质可知△AOD为等腰直角三角形，可得AD与OD的数量关系，便可判断正误；
C．由角平分线与等腰三角形的性质得AC∥OD，便可判断正误；
D．证明△OAC≌△ODC，得∠OAC＝∠ODC＝90°，便可判断正误．
【解答】解：A．∵∠BOD、∠BAD是所对的圆心角、圆周角，
∴∠BOD＝2∠BAD；故选项正确，不合题意；
B．∵AD平分∠ODC，DC是⊙O的切线，
∴，
∵OA＝OD，则∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴，
故选项错误，符合题意；
C．∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，则∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∵DC是⊙O的切线，OD为半径，
∴OD⊥CD，
∴AC⊥DC，
故选项正确，不合题意；
D．∵CO⊥AD，
∴，
∴∠AOC＝∠DOC，
∵OC＝OC，OC＝OC，
∴△OAC≌△ODC（SAS），
∴∠OAC＝∠ODC＝90°，
∴AC也是⊙O的切线，
故选项正确，不合题意；
故选：B．
19．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【思路点拔】如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时MC+MD的值最小．设AB与⊙O相切于F，连接OF，得到∠OFB＝90°，根据勾股定理得到BF2；根据切线的性质得到DF＝CD，再根据勾股定理即可得结论．
【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时MC+MD的值最小．
设AB与⊙O相切于F，
连接OF，
则∠OFB＝90°，
∵OC＝1，
∴OF＝OC＝1，
∴BF2；
∵CD⊥OB，OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴DF＝CD，
∵∠DCB＝90°，
∴CD2+CB2＝BD2，
∴CD2+22＝（2CD）2，
解得：CD，
∴DE，
∴△MCD周长最小值为2，
故选：A．
20．如图所示，直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，AB＝8cm，若要使直线l与⊙O相切，则l应沿OC方向向下平移（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【思路点拔】连接OB，根据已知条件可以推出HB＝4cm，所以OH＝3cm，HC＝2cm，所以l应沿OC所在直线向下平移2cm．
【解答】解：连接OB，
∴OB＝5cm，
∵直线l⊙O相交于A、B两点，且与AB⊥OC，AB＝8cm，
∴HB＝4cm，
∴OH＝3cm，
∴HC＝2cm．
故选：B．
21．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】连接OC，OD，根据全等三角形的性质得到∠ODM＝∠OCM，求得∠ODM＝90°，得到MD与⊙O相切；故①正确；根据全等三角形的性质得到AC＝AD，求得AC＝AD＝CM＝DM，于是得到四边形ACMD是菱形，故②正确；根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠COM＝2∠CMO，求得∠CMO＝30°，求得AB＝OM，故③正确；根据菱形的性质和三角形的内角和得到∠ADM＝120°，故④正确．
【解答】解：连接OC，OD，
∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，
∴△CMO≌△DMO（SSS），
∴∠ODM＝∠OCM，
∵MC与⊙O相切于点C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ODM＝90°，
∵OD是⊙O的直径，
∴MD与⊙O相切；故①正确；
∵△CMO≌△DMO，
∴∠COM＝∠DOM，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵OA＝OA，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝CM＝DM，
∴四边形ACMD是菱形，故②正确；
∵AC＝CM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∵∠COM＝2∠CAM，
∴∠COM＝2∠CMO，
∴∠CMO＝30°，
∴OCOM，
∵OCAB，
∴AB＝OM，故③正确；
∵四边形ACMD是菱形，
∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，
∴∠ADM＝120°，故④正确；
故选：A．
22．如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（ ）
A．2 B． C． D．2
【思路点拔】设⊙O'为⊙O向左平移后与PM相切的圆，切点为B，连接O'B交PO于D，过O作OA⊥PM于A，OC⊥O'B于C，则OO'即为平移的距离，O'B＝OP＝4，O'B⊥PM，先由直角三角形的性质得OAOP＝2，再由矩形的性质得BC＝OA＝2，则O'C＝O'B﹣BC＝2，由平行线的性质得∠DOO'＝∠OPN＝30°，求出∠DO'O＝30°，然后由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：设⊙O'为⊙O向左平移后与PM相切的圆，切点为B，连接O'B交PO于D，过O作OA⊥PM于A，OC⊥O'B于C，如图所示：
则OO'即为⊙O平移的距离，O'B＝OP＝4，O'B⊥PM，
∵∠MPN＝60°，PO是∠MPN的平分线，
∴∠MPO＝∠OPN∠MPN＝30°，
∵OA⊥PM，
∴OAOP＝2，
∵OA⊥PM，OC⊥O'B，O'B⊥PM，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝2，
∴O'C＝O'B﹣BC＝2，
由平移的性质得：OO'∥PN，
∴∠DOO'＝∠OPN＝30°，
∵O'B⊥PM，
∴∠O'BP＝90°，
∴∠BDP＝90°﹣∠MPO＝60°，
∵∠BDP＝∠DOO'+∠DO'O，
∴∠DO'O＝∠BDP﹣∠DOO'＝30°，
∴OCO'C，OO'＝2OC，
即⊙O平移的距离为，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
23．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝ 4 cm时，⊙M与OA相切．
【思路点拔】作MH⊥OA于点H，如图，根据切线的判定方法得到当MH＝2cm时，⊙M与OA相切，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OM＝4cm，
【解答】解：作MH⊥OA于点H，如图，
当MH＝2cm时，⊙M与OA相切，
因为∠O＝30°，
所以此时OM＝2MH＝4cm，
即OM＝4cm时，⊙M与OA相切．
24．如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③OC＝BC；④AB＝BD中，能使命题成立的有 ①②③④ （只要填序号即可）．
【思路点拔】经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，分析每种情况后，能得到经过半径的外端且垂直于半径的直线就是圆的切线．
【解答】解：连接圆心和B点，OC＝OB
①∵AC＝BC，
∴∠BCO＝∠CBO＝2∠A，
∵∠ABC＝∠BDC，
∴∠ABO＝90°，
∴①正确；
②证明：过A作AE∥BD交BC延长线于点E，
∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABE＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，
∵AE∥BD，
∴∠E＝∠CBD＝90°，
∴AEAB，
∵AC＝OC，
∴AC，
∵AE∥BD，
∴△ACE∽△DCB，
∴，
∴AEBD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝30°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝30°，
∴∠OBA＝90°，即OB⊥AB，
∵点B在圆上，
∴AB是⊙O的切线，
故②正确；
③∵OC＝BC，
∴△OBC＝60°，
∵∠BCO＝∠CBO＝2∠A，
∴∠ABO＝90°，
∴③正确；
④∵AB＝BD，
∴∠A＝∠D＝∠OBD，
∵∠CBD＝90°
∴∠ABO＝90°，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
25．如图所示，⊙O的半径为4cm，BC是直径，若AB＝10cm，则AC＝ 6 cm时AC是⊙O的切线．
【思路点拔】根据切线的判定定理当∠BCA＝90°时，AC是⊙O的切线，然后根据勾股定理计算AC．
【解答】解：如图，BC＝8cm，
∵BC是直径，当∠BCA＝90°时，AC是⊙O的切线，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AC6（cm）．
故答案为6．
26．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过 4或8 秒后⊙P与直线CD相切．
【思路点拔】分类讨论：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE＝1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP＝2PE＝2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PF⊥CD于F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间．
【解答】解：当点P在射线OA上⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间（秒）；
当点P在射线OB上⊙P与CD相切，如图2，过P作PF⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间（秒）．
故答案为：4或8．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是 ①③④ ．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，则BC＝3．
【思路点拔】根据已知条件得出∠ACD＝∠FCD，根据圆内接四边形得出∠FCD＝∠DAB，进而得出∠ACD＝∠DAB，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明△AOB≌△BOD得出∠ADO＝∠BDO，根据三线合一得出DO⊥AB，进而根据AC是直径，得出AB⊥BC，结合已知条件即可判断③，证明△DEC≌△DFC，Rt△ADE≌Rt△BDF，得出DE＝DF，BF＝AE，进而即可求解．
【解答】解：如图，连接DB，
∵∠ACD+∠BCD＝180°，∠ACD+∠ACB+∠DCF＝180°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠DCF，
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠FCD＝∠DAB，
∴∠ACD＝∠DAB，
∴，
∴∠ABD＝∠BAD，∠AOD＝2∠ABD，
∴∠AOD＝2∠BAD，故①正确，
∵不能确定，
∴∠DAC＝∠BAC不一定成立，故②错误，
如图，连接BO，
∵，
∴AD＝DB，
在△AOD和△BOD中，
，
∴△AOD≌△BOD（SSS），
∴∠ADO＝∠BDO，
∴DO⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
即AB⊥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AB，
∴DF⊥OD，
∴DF与⊙O相切，故③正确，
∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，
∴△DEC≌△DFC（AAS），
∴DE＝DF，CF＝CE，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD＝DB，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴BF＝AE，
∵AE＝4，EC＝1，
∴BC＝BF﹣CF＝4﹣1＝3，故④正确．
故答案为：①③④．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 （1，﹣1） ．
【思路点拔】过点B作BM⊥OA，垂足为M，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，则AB⊥OB，根据已知可设点B的坐标为（m，﹣m），从而可得OM＝BM＝m，进而可得∠MOB＝45°，然后再证△AOB是等腰直角三角形，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得OM＝AM，最后根据直角三角形的斜边上的中线性质可得BMOA＝1，即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BM⊥OA，垂足为M，
当⊙A与直线y＝﹣x相切时，
则AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵点A（2，0），
∴OA＝2，
∵点B是直线y＝﹣x上的一个动点，
∴设点B的坐标为（m，﹣m），
∴OM＝BM＝m，
∴∠MOB＝45°，
∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OB，
∵BM⊥OA，
∴OM＝AMOA，
∴BMOA＝1，
∴OM＝BM＝1，
∴点B的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
三．解答题（共32小题）
29．如图，CD是⊙O的直径，点D是线段AB的中点，AC＝BC．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求证：AB是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）由点D是线段AB的中点，得到AD＝BD，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）∵点D是线段AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ACD与△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS）；
（2）∵点D是线段AB的中点，AC＝BC，
∴CD⊥AB，
∵CD是⊙O的直径，
∴AB是⊙O的切线．
30．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【思路点拔】（1）先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据等腰三角形的性质得AD＝CD；
（2）连接OD，如图，先证明OD为△BAC的中位线，则OD∥BC，再利用DE⊥BC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD；
（2）证明：连接OD，如图，
∵AD＝CD，AO＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥BC，
∴DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线．
31．如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．
【思路点拔】先由直径所对的圆周角是直角推出∠C+∠D＝90°，再由等边对等角得到∠OAD＝∠D，结合已知条件证明∠OAB＝90°，即可证明AB是⊙O的切线．
【解答】证明：如图，连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠D+∠C＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，说明理由；
（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的长．
【思路点拔】（1）连接OD，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得∠ODE＝90°，则可得出结论；
（2）连接OE，求出AC＝6，设AE＝DE＝x，则CE＝6﹣x，由勾股定理求出x的值，则可得出答案．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠A＝∠EDA，
∴∠B+∠EDA＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB+∠EDA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，OD，如图2，
∵OB＝2，OC＝1，
∴BC＝3，
∵AC＝2BC，
∴AC＝6，
设AE＝DE＝x，则CE＝6﹣x，
∵∠OCE＝∠ODE＝90°，
由勾股定理得：OC2+CE2＝OE2，OD2+DE2＝OE2，
∴12+（6﹣x）2＝22+x2，
∴x，
∴AE．
33． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
【思路点拔】连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE为⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD为⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
34．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）根据 AB＝AC＝AD，可得∠ACB＝ABC，∠ADB＝∠ABD，两式相减即得∠BCF＝∠CBF，结论得证；
（2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF，可得∠G+∠GCF＝90°，再根据已知证明∠BCF＝∠CDB，进而得∠BCF+∠GCF＝90°，从而得CG⊥BC即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝ABC，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
又∵∠ADB＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABD，
∴∠ACB﹣∠ACF＝ABC﹣∠ABD，
即：∠BCF＝∠CBF，
∴CF＝BF；
（2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF，
∵CG为O直径，
∴∠GFC＝90°，
∴∠G+∠GCF＝90 ，
∵∠CDB＝∠G，
∴∠CDB+∠GCF＝90°，
∵CD＝CB
∴∠CDB＝∠CBD，
∵CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CDB，
∴∠BCF+∠GCF＝90°，
∴∠BCG＝90°，
∴CG⊥BC，且CG为⊙G的半径，
∴CB是⊙O的切线．
35．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC．求证：CD与⊙O相切．
【思路点拔】作直径CM，连接BM，根据圆周角定理求出∠MBC＝90°，∠A＝∠M，进而求出∠A+∠BCM＝90°，根据三角形内角和定理、平角的定义求出∠A＝∠BCN，则∠OCN＝∠BCN+∠BCM＝90°，根据切线的判定定理即可得证．
【解答】证明：如图，作直径CM，连接BM，
∴∠MBC＝90°，
∴∠M+∠BCM＝90°，
∵∠A＝∠M，
∴∠A+∠BCM＝90°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB+∠BCN＝180°，∠ACD＝∠ABC，
∴∠A＝∠BCN，
∴∠BCN+∠BCM＝90°，
即∠OCN＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切．
36．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求AC的长．
【思路点拔】（1）根据同弧所对的圆周角相等求解即可；
（2）连接OC，由圆周角定理可得∠AOC＝120°，再由等边对等角的性质，得到∠OAC＝∠OCA＝30°，进而得出∠BAE＝90°，即可证明结论；
（3）由（2）可知，∠BAC＝30°，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB＝90°，再利用锐角三角函数值求解即可．
【解答】（1）解：∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接OC，
∵∠D＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°，
∵OA＝OC，
∴，
∵∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠OAC+∠EAC＝90°，即OA⊥AE，
∵OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（3）解：∵∠BAC＝30°，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴．
37．如图，已知⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC＝6，OA＝5，求AC的长；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）由直径所对的圆周角是直角得到△ABC是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解；
（2）连结OC，证明AD∥OC，再得到∠DCO＝90°，利用切线的判定即可证明．
【解答】（1）解：∵OA＝5，
∴AB＝10．
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AB＝10，
∴根据勾股定理可得：AC8，
∴AC的长为8；
（2）证明：连结OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠D+∠DCO＝180°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
38．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理可得∠AOC＝58°，
（2）由（1）可得∠OAP＝90°，由OA为半径，即可得证．
【解答】（1）解：∵∠B＝29°，
∴∠AOC＝2∠B＝58°，
（2）证明：∵∠P＝32°，
∴∠P+∠AOC＝90°，
∴∠OAP＝90°，
又∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线．
39．如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E＝90°，，连接AG．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若，，求线段AE的长．
【思路点拔】（1）证明OF⊥EC即可得到结论；
（2）连接BG．求出AB＝4，证明△AEF∽△AFB，得到AF2＝AE AB．即可得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠FAC＝∠AFO．
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF＝∠FAC，
∴∠EAF＝∠AFO，
∴OF∥AE．
∴∠OFC＝∠E＝90°，
∴OF⊥EC，
∴EC是⊙O的切线．
（2）解：连接BG．
∵，
∴AG＝BG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，∠AFB＝90°．
∵，
∴．
∵∠EAF＝∠FAC，∠E＝∠AFB，
∴△AEF∽△AFB．
∴，
∴AF2＝AE AB．
∵，AB＝4，
∴
∴AE＝3．
40．如图AB、CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是弧BD的中点，弦CE、BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若BF＝3，求CF的长．
【思路点拔】（1）由切线的性质可得∠OCP＝90°，由OC＝OB可得∠OCB＝∠ABC，结合∠ABC＝2∠BCP，可得2∠BCP+∠BCP＝90°，求出∠BCP＝30°，则∠OCB＝2∠BCP＝60°；
（2）根据圆周角定理得到∠DBC＝90°，由E是弧BD的中点，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵CP与⊙O相切，
∴∠OCP＝90°，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，
∴2∠BCP+∠BCP＝90°，即3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠OCB＝2∠BCP＝60°；
（2）如图，连接DE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴∠OCB＝30°，
在Rt△CBF中，BF＝3，
∴CF＝2BF＝6．
41．如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）若，AB＝5，求BD的长．
【思路点拔】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥CD，再证明OC∥BD，所以∠OCB＝∠DBC，然后证明∠OBC＝∠DBC得到结论；
（2）过C点作CH⊥AB于H点，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC，再利用面积法求出CH＝2，则可计算出BH＝1，接着根据角平分线的性质得到CH＝CD，然后证明Rt△BCH≌Rt△BCD得到BH＝BD．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC，
∵CH ABBC AC，
∴CH2，
在Rt△BCH中，BH1，
∵BC平分∠ABD，CH⊥BA，CD⊥BD，
∴CH＝CD，
在Rt△BCH和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BCH≌Rt△BCD（HL），
∴BH＝BD＝1．
42．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E．求证：CF＝CE；
【思路点拔】先利用直角三角形的两个锐角互余以及平角定义可得：∠CAB+∠B＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°，再利用切线的性质可得∠BAE＝90°，从而可得∠EAC+∠CAB＝90°，进而可得∠EAC＝∠B，然后利用等弧所对的圆周角相等可得∠CAD＝∠B，从而可得∠EAC＝∠CAD，最后利用ASA证明△ACE≌△ACF，从而利用全等三角形的性质可得CE＝CF，即可解答．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EAC+∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠B，
∵，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠EAC＝∠CAD，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF．
43．如图，在 ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接并且延长AO交BC于点F，由切线的性质得AD⊥OA，由BC∥AD得∠OFB＝∠OAD＝90°，则OF⊥BC，所以BF＝CF，即可由AF垂直平分BC证明AB＝AC；
（2）设⊙O的半径为r，连接OC，则OC＝OA＝r，由AB∥CE，得∠ABE＝∠BEC，则，推导出，则AC＝BE＝9，而CFBC＝3，所以AE6，于是得（6r）2+32＝r2，求得r．
【解答】（1）证明：连接并且延长AO交BC于点F，
∵过A，B，C三点的⊙O与AD相切，
∴AD⊥OA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠OFB＝∠OAD＝90°，
∴OF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴AF垂直平分BC，
∴AB＝AC．
（2）解：设⊙O的半径为r，连接OC，则OC＝OA＝r，
∵AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝BE＝9，
∵∠CFO＝90°，BF＝CFBC6＝3，
∴AE6，
∵OF2+CF2＝OC2，且OF＝6r，OC＝r，
∴（6r）2+32＝r2，
解得r，
∴⊙O的半径长为．
44．如图，AB为⊙O 的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若0A＝2OE，DF＝3，求PB的长．
【思路点拔】（1）连接OC，可得∠OCD＝∠OCP＝90°，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，又∠OCA+∠DCA＝90°，∠OAC+∠AEO＝90°，可得∠DCA＝∠AEO．再由∠AEO＝∠DEC，则可得∠DCA＝∠DEC，即可证明结论；
（2）设OE＝x，OA＝2x，则EF＝OF﹣OE＝2x﹣x＝x，DE＝3+x＝DC，DO＝3+2x，在Rt△DOC中，由勾股定理可得方程（2x）2+（3+x）2＝（3+2x）2，解得x＝6．再证明△DCO∽△OCP，得到，故可解出CP＝16．在Rt△OCP中，由勾股定理可得OP20，进而可得PB＝OP﹣OB＝20﹣12＝8．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝∠OCP＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
又∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠DCA＝∠AEO，
又∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠DCA＝∠DEC，
∴DC＝DE．
（2）解：∵OA＝2OE，
设OE＝x，OA＝2x，
则EF＝OF﹣OE＝2x﹣x＝x，
∴DE＝DF+EF＝3+x，
又∵DC＝DE，
∴DC＝3+x，DO＝3+2x，
在Rt△DOC中，由勾股定理可得：
（2x）2+（3+x）2＝（3+2x）2，
解得：x1＝6或x2＝0（舍去）．
∴DC＝3+6＝9，OC＝2×6＝12．
∵∠D+∠DOC＝90°，OF⊥AB，
∴∠DOC+∠COP＝90°，
∴∠D＝∠COP，
又∠DCO＝∠PCO＝90°，
∴△DCO∽△OCP．
∴，即122＝CP×9，
∴CP＝16．
在Rt△OCP中，由勾股定理有：
OP20，
∴PB＝OP﹣OB＝20﹣12＝8．
45．如图，以AB为直径的⊙O上有C，D两点，过点C作⊙O的切线CE，连接AD并延长交CE于点E，连接AC，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠AEC＝90°．
（2）若AD＝6，CE＝2，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再证明∠DAC＝∠OCA得到OC∥AE，然后根据平行线的性质得到∠AEC的度数；
（2）如图，连接BD，设OC与BD交于点H．根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再判断四边形CEDH为矩形，所以DH＝CE＝2，∠CHD＝90°，接着根据垂径定理得到BH＝DH＝CE＝2，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠AEC＝180°﹣∠OCE＝90°；
（2）解：如图，连接BD，设OC与BD交于点H．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵∠EDB＝∠OCE＝∠AEC＝90°，
∴四边形CEDH为矩形，
∴DH＝CE＝2，∠CHD＝90°，
∴OH⊥BD，
∴BH＝DH＝CE＝2，
∴BD＝4．
在Rt△ABD中，∵AD＝6，BD＝4，
∴AB2，
∴⊙O的半径为．
46．如图，AB是⊙O的直径，点D在BA的延长线上，DC与⊙O相切于点C，连接AC，BC，过点B作BE⊥DC于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠CBE；
（2）若AD＝2，CD＝4，求⊙O半径的长．
【思路点拔】（1）连接CO，由切线性质可得∠OCD＝90°，又BE⊥DC，可得BE∥OC，则∠CBE＝∠BCO，又因为∠BCO+∠ACO＝90°，∠ACD+∠ACO＝90°，则∠BCO＝∠ACD，进而证明∠ACD＝∠CBE．
（2）设半径AO＝CO＝x，在Rt△DCO中，由勾股定理有x2+42＝（2+x）2，解得半径为3．
【解答】（1）证明：连接CO，如图所示．
∵DC与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
又∵BE⊥DC，
∴BE∥OC，
∴∠CBE＝∠BCO．
∵∠BCO+∠ACO＝90°，∠ACD+∠ACO＝90°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CBE．
（2）解：设半径AO＝CO＝x，
则在Rt△DCO中，由勾股定理有：
DC2+CO2＝DO2，
即x2+42＝（2+x）2，解得：x＝3．
故⊙O半径的长为3．
47．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到OD⊥CE，再证明OD∥AE得到∠ODA＝∠EAD，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠EAD，从而判断AD平分∠CAE；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，利用勾股定理得到r2+32＝（r+1）2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
48．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∠ACB＝90°，，连接AB、CD，过点C的切线与DB的延长线交于点E．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
【思路点拔】（1）根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，再根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠CAD，然后利用等量代换可得∠ABC＝∠CBE，即可解答；
（2）根据90度的圆周角所对的弦是直径可得：AB是⊙O的直径，再利用勾股定理求出AB＝10，然后利用切线的性质可得∠ACB＝∠OCE＝90°，从而利用等式的性质可得∠ACO＝∠BCE，再利用等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA，从而可得∠OAC＝∠BCE，进而可得△ABC∽△CBE，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD＝180°，
∵∠CBD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵，
∴∠ABC＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠CBE，
∴BC平分∠ABE；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵CE与⊙O相切于点E，
∴∠OCE＝90°，
∴∠ACB＝∠OCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠OCB＝∠OCE﹣∠OCB，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠BCE，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
∴，
∴，
∴CE＝4.8．
49．如图，△ABC内接于⊙O．
（1）若∠C＝45°，⊙O的半径是2cm，求AB的长；
（2）过A点作⊙O的切线DE，求证：∠BAE＝∠C．
【思路点拔】（1）如图1，连接OA，OB，则OA＝OB＝2，由圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，由勾股定理得，，计算求解即可；
（2）如图1，连接OA，OB，由过A点作⊙O的切线DE，可得∠OAE＝90°，则∠OAB+∠BAE＝90°，同理（1）∠AOB＝2∠C，由OA＝OB，可得，则∠BAE＝90°﹣∠OAB＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．
【解答】（1）解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
，
∴AB的长为；
（2）证明：∵过A点作⊙O的切线DE，
∴∠OAE＝90°，则∠OAB+∠BAE＝90°，
同理（1）∠AOB＝2∠C，
∵OA＝OB，
∴，
∴∠BAE＝90°﹣∠OAB＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C，
∴∠BAE＝∠C．
50．如图△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，以点E为圆心，EC为半径作⊙E交AC于点F．
（1）求证：AB与⊙E相切；
（2）若AB＝15，BC＝9，试求AF的长．
【思路点拔】（1）作EH⊥AB于点Q，由∠ACB＝90°，得EC⊥BC于点C，而BE平分∠ABC，所以EH＝EC，则点H在⊙E上，即可由EH是⊙E的半径，且AB⊥EH，证明AB与⊙E相切；
（2）由∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，求得AC12，由切线长定理得BH＝BC＝9，则AH＝6，由AH2+EH2＝AE2，且EH＝EC，AE＝12﹣EC，得62+EC2＝（12﹣EC）2，则EF＝EC，求得AF＝AC﹣EF﹣EC＝3．
【解答】（1）证明：作EH⊥AB于点Q，
∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴EC⊥BC于点C，
∴EH＝EC，
∵EC是⊙E的半径，EH＝EC，
∴点H在⊙E上，
∵EH是⊙E的半径，且AB⊥EH，
∴AB与⊙E相切．
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC12，
∵EH＝EF＝EC，
∴AE＝AC﹣EC＝12﹣EC，
∵EC是⊙E的半径，且BC⊥EC，
∴BC是⊙E的切线，
∴BH＝BC＝9，
∴AH＝AB﹣BH＝15﹣9＝6，
∵∠AHE＝90°，
∴AH2+EH2＝AE2，
∴62+EC2＝（12﹣EC）2，
∴EF＝EC，
∴AF＝AC﹣EF﹣EC＝123，
∴AF的长为3．
51．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【思路点拔】（1）连接OD，证明∠ODA＝∠DAC，得出OD∥AC，从而得出∠ODF＝∠AED＝90°，即可得证；
（2）证明△ABM是等边三角形，得出∠M＝60°，从而得出∠EDM＝30°，求出BD＝MD＝2，再证明∠BDF＝∠F，即可得解．
【解答】证明：（1）连接OD，则OD＝OA，
，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
52．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
【思路点拔】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OMOA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OMOA10＝5，
∴AM5，
∴AE＝2AM＝2×510．
53．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE是⊙O的切线；
（2）若CA＝2，CD＝4，求⊙O的半径及DE的长．
【思路点拔】（1）由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平方∠DOB，从而可得∠DOE＝∠BOE，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵OE∥AD，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠BOE，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠BOE，
∵OD＝OB，OE＝OE，
在△DOE和△BOE中，
，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴OB⊥BE，
∵OB为⊙O的半径，
∴直线BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝8，
由（1）得△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
∵BC2+BE2＝CE2，
∴82+DE2＝（4+DE）2，
解得DE＝6．
54．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
【思路点拔】（1）如图，连接OC，根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，根据OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根据∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切线；
（2）根据sin∠B，可知∠B＝30°，则∠PCA＝30°，根据∠ACB＝90°，则∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可证AC＝AP；
（3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易证△PAC∽△PCB，故PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠B，
∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵sin∠B，
∴∠B＝30°，
∴∠PCA＝∠B＝30°，
由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，
∴AC＝AP；
（3）设AD＝x，
在Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴CD2＝AD×BD＝6x，
∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），
在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，
即（4+x）2+6x＝4（10+x），
整理得x2+10x﹣24＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），
故AD＝2．
55．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OE，连接BO，先证明△BOE≌△BOC，得出∠BEO＝∠BCO＝90°，即可证明AB是⊙O的切线；
（2）连接OE，由题意得出BC＝15，AB＝39，由勾股定理求出AC＝36，设⊙O的半径为r，利用勾股定理得出方程（36﹣r）2＝r2+242，解方程即可求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接OE，连接BO，
在△OBC和△OBE中，
，
∴△BOE≌△BOC（SSS），
∴∠BEO＝∠BCO，
∵∠BCO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∵OE是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OE，
∵BE＝15，AE＝24，
∴BC＝BE＝15，AB＝BE+AE＝15+24＝39，
∴AC36，
设⊙O的半径为r，则OE＝OC＝r，OA＝36﹣r，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴（36﹣r）2＝r2+242，
解得：r＝10，
∴⊙O的半径为10．
56．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，点F在BC上，且BF＝DF．
（1）求证：DF是半圆O的切线；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
【思路点拔】（1）连接OD，根据BF＝DF，得∠B＝∠BDF，证明∠BDF+∠ODA＝90°，得∠ODF＝90°，进而可得结论；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵BF＝DF，
∴∠B＝∠BDF，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF是半圆O的切线；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴r．
故圆的半径为．
57．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，点P为AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BAC．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠P．
【思路点拔】（1）连接OC，根据直径所对的角是直角及等腰三角形转换得∠BCF+∠OCB＝90°，即可得证；
（2）根据同弧或等弧所对的角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化得证．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵∠BCP＝∠BAC，
∴∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴OC⊥CP，
∵OC是圆O的半径，
∴CP是⊙O的切线；
（2）∵点C是劣弧BD中点，
∴，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠BCP＝∠BAC
∴∠CAD＝∠BCP，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCP，＝∠CBD，
∴CP∥BD，
∴∠ABD＝∠P，
∵，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠P．
58．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．
【思路点拔】（1）根据已知条件证得OD∥AC即可得到结论；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，构建矩形ODEH，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠ADO＝∠C，
∴OD∥BC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE，
∵OF＝OB，
∴BH＝FH＝1，
∴OD＝EH＝EH＝2，
∴AB＝2OD＝4，OH，
∴DE＝OH，
∴BD2，
∴AD2．
59．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长．
【思路点拔】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，延长DO交BF于点H，可证明四边形DEFH是矩形，由AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF，得AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BH，则（2）2+（10﹣AB）2＝AB2，求得AB＝6，则ODAB＝3，所以OE．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接OE，延长DO交BF于点H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠F＝90°，
∵∠HDE＝∠DEF＝90°，
∴四边形DEFH是矩形，
∴∠DHF＝90°，
∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF，
∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BHBF，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2，
解得AB＝6，
∴ODAB＝3，
∴OE，
∴OE的长为．
60．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：DM＝DB．
【思路点拔】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，根据角平分线的定义得到∠OAD＝∠DAC，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理证明即可；
（2）首先推导出AD⊥BM，ABM是等腰三角形，进而得证．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BM，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴ABM是等腰三角形，
∴DM＝DB．
