第四章 学情评估卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（共8小题，每题3分，共计24分）
1．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是完全平方式，则常数的值为（ ）
A．1或5 B．7或 C．5 D．7
4．对于，，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．①是因式分解，②是乘法运算
B．①是乘法运算，②是因式分解
C．①②都是因式分解
D．①②都是乘法运算
5．[2024榆林期末]一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国
6．[2024西安灞桥区期中]已知，，是的三边长，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，长与宽分别为，的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．2 560 B．490 C．70 D．49
8．对于任何正整数，多项式都能（ ）
A．被9整除 B．被整除
C．被整除 D．被整除
二、填空题（共5小题，每题3分，共计15分）
9．多项式的公因式是________.
10．从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式：________________________________________________.
11．已知，，则的值为____.
12．若，为常数，多项式可因式分解为，则的值为________.
13．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣.”也就是说，图①中直角三角形的三边，，存在的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题.如图②，分别将以为边长的正方形和以为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分的面积等于________（用含字母的代数式表示）；若，则______.
三、解答题（共6小题，计61分）
14．（8分）把下列各式因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
15．[2024榆林期末]（8分）阅读以下材料：
因式分解：.
解：令，则原式，再将“”还原，得原式，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1） ；
（2） .
16．（12分）用简便方法计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
17．（10分）
（1） 如图甲，从边长为的正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的是________________________________.
（2） 根据下面四个算式：
；
；
；
.
请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式.
（3） 用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性.
18．[2024西安临潼区期末]（10分）阅读下列材料：数学研究发现，常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法因式分解，如：，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为.此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1） 因式分解：；
（2） 因式分解：.
19．（13分）阅读下列材料：教科书中这样写道：我们把和这样的式子叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.即将多项式（、为常数）写成（、为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值等问题.
例1：分解因式：.
原式.
例2：求代数式的最小值.
原式， 当时，代数式有最小值，最小值是.请根据上述材料用配方法解决下列问题：
（1） 分解因式：；
（2） 求多项式的最小值；
（3） 已知，求，的值.
【参考答案】
第四章 学情评估卷
一、选择题（共8小题，每题3分，共计24分）
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C
二、填空题（共5小题，每题3分，共计15分）
9．
10．（答案不唯一）
11．2024
12．
13．； 6
三、解答题（共6小题，计61分）
14．（1） 解：原式
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式
15．（1） 解：将“”看成整体，令，则
原式，
再将“”还原，得原式.
（2） 将“”看成整体，令，则
原式，
再将“”还原，得原式.
16．（1） 解：.
（2）
.
（3）
.
（4） .
17．（1）
（2） 解：，.（答案不唯一）
（3） 两个正奇数的平方差一定能被8整除.
证明：设较大的奇数为，较小的奇数为，其中,都是正整数，，
则，
易得是2的倍数，
是8的倍数.是8的倍数.即两个正奇数的平方差一定能被8整除.
18．（1） 解：
.
（2）
.
19．（1） 解：.
（2） 原式，
当时，多项式有最小值，最小值是.
（3） ，
，
即，，，
解得，，的值为，的值为3.
/
