共同体25届九年级上学期期中练习
数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.
1 ．B 2 ．D 3 ．B 4 ．C 5 ．B 6 ．D
7 ．A 8 ．C 9 ．C 10 ．A 11．D 12 ．B
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.
13.＞ 14.1 15.96
16.3或 17. 18.
三、解答题：本大题共 8 个小题，共 78 分.
19 ．（本小题满分 8 分）
解：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣ ……………………………………4分
=1+-1+2-2……………………………………………………………………6分
=2-．……………………………………………………………………………8分
20 ．（本小题满分 8 分）
解：设，则，，，……………………………2分
依题意有，
解得，…………………………………………………………………………4分
∴，，，………………………………………6分
∴.…………………………………………………8分
21 ．（本小题满分 10 分）
（1）证明：∵EF∥DC，
∴，
∵
∴，
∴且,…………………………………………………3分
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∴；…………………………………………………5分
（2）解：∵EF∥DC，，
∴，
∴，…………………………………………………7分
∵，
∴，
∴，…………………………………………………8分
∵，
∴．…………………………………………………10分
22 ．（本小题满分 10 分）
（1）证明：……………………………………………3分
∵无论取何值，，恒成立，……………………………………………4分
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．…………………………………5分
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，…………………………………………………6分
∴…………………………8分
解得：或．…………………………………………………10分
23 ．（本小题满分 10 分）
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，…………………………………………………2分
解得：（不符合题意，舍去），…………………………4分
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；…………………………………5分
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，………………………………………6分
整理得：，
解得：，…………………………………………………8分
当时，售价元（不符合题意，舍去），9分
答：购买的这种健身器材的套数为200套．…………………………………………10分
24 ．（本小题满分 10 分）
（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，，
，
……………………………………………………………2分
，
，
，
，………………………………………………………………………4分
；…………………………………………………………………………5分
（2）证明：，，
，
由（1）知，，
，
，
，………………………………………………………………6分
，，
，
，
………………………………………………………………8分
，
，………………………………………………………………9分
，
………………………………………………………………10分
25 ．（本小题满分 10 分）
（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；………………………………………………………………3分
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，………………………………………………4分
∴…………………………………………………………5分
；………………………………………………………………6分
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，………………………………7分
∴，，
∵
，………………………………………………………………8分
∴或，
当时，
，
当时，
，………………………………………………9分
综上分析可知，的值为或.………………………………10分
26 ．（本小题满分 12 分）
解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；………………………………………………………………3分
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．……………………………………………………………………………4分
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．………………………………………………………………6分
∴，即，
∴；………………………………………………………………7分
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，………………………………………………………………9分
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，………………………………………………………………10分
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，…………………………………………………………11分
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．………………………………………………………………12分共同体25届九年级上学期期中练习
数学试卷
第I卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．16 B． C．4 D．
3．用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF位似； ②△ABC与△DEF周长比为；③△ABC与△DEF面积比为；④△ABC与△DEF是相似图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
（第4题图） （第6题图）
5．已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
6．如图，在△ABC中，，，，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图1，矩形ABCD中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（第8题图） （第9题图） （第10题图）
10.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
11．已知a，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
12．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点．则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．比较大小： ．（填“”、“”或“”）
14．若是方程的根，则 ．
15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为 ．
（第15题图） （第16题图）
16．如图，在△ABC中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
17．如图，在△ABC中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则的值为 ．
（第17题图） （第18题图）
18．如图，△ABC，，，，点D，E分别在边上，，连接，将△ADE沿翻折，得到△FDE，连接，．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则 ．
解答题（本大题共8小题，共78分）
计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．
已知，，求的值．
21．如图，已知点D、F在△ABC边AC上，点在边AC上，且EF∥DC，．
(1)求证：；
(2)如果，，求S△ABC的值．
22．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
23．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
24．如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
25．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
26．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
