第十三章测试卷
一、选择题
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
2.如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,D为AC边的中点,若BC=6,则BD的长为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
3.如图, 是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则 的周长为( )
A.4 B.30 C.18 D.12
4.如图,△ABC 与 关于y 轴对称，已知 E(2,1),则点 D的坐标为( )
A.(-4,6) B.(4,6) C.(-2,1) D.(6,2)
5.如图, 中， ，垂足为点 Q，延长MN至点G,取 若 的周长为12,MQ=a,则 的周长是( )
B.8+a C.6+a D.6+2a
6.如图，已知直线m是正五边形ABCDE 的对称轴，且直线m过点A，连接 BD交直线m 于点F，连接CF，则∠1的度数为( )
D.不确定
7.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N;
②作直线 MN交AB 于点D,连接CD.
若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为( )
A.90° B.95° C.100° D.105°
8.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D. BD=1,则 BC的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
9.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,直线 EF是线段 BC的垂直平分线，点P 是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3,在直线AC上取一点 P,使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点 P共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将网格中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的涂法共有 种.
如图,∠EAF=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF 的度数是
13.如图,在 中， 为钝角， ,点 P 从点 B出发以 的速度向点 A 运动，点 Q 同时从点 A 出发以 2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当 是以 PQ 为底边的等腰三角形时，运动的时间是 s.
14.如图,在 中，已知点O是边AB，AC垂直平分线的交点，点E是 平分线的交点，若 则 度.
15.如图，直线 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC在直线b上，把 沿 BC 方向平移BC 的一半得到 (如图(1))；继续以上的平移得到图(2)，再继续以上的平移得到图(3)，…，则在第100个图形中等边三角形的个数是 .
三、解答题
16.(9分)如图,已知 ，顶点A、B、C都在正方形网格线的交点上，正方形网格里的每个小正方形的边长为1.
(1)写出A、B、C的坐标;
(2)请在平面直角坐标系中画出 关于x轴对称的，
(3)在y轴上找一点D，使得 的值最小.(在图中标出D点位置即可，保留作图痕迹)
17.(8分)如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从A 到B 的距离最短 保留作图痕迹并说明理由.
18.(9分)如图,在△ABE中,AD⊥BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE 的垂直平分线上.若△ABC的周长为22,求 DE的长.
19.(9分)已知, 是等边三角形，过点C作( 且 连接BD交AC于点O.
(1)如图①,求证:AC垂直平分BD;
(2)如图②,点 M 在BC 的延长线上,点 N 在线段CO 上,且. NM,求证:
20.(9分)如图,在△ABC中,∠C=90°,点A 关于BC边的对称点为A′,点 B关于AC 边的对称点为 ，点C关于AB 边的对称点为C'，求△ABC与 的面积之比.
21.(10分)如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上.当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里
22.(10分)问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在 BD 的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗 说明理由；
(2)如果把以上“问题”中的条件“ 去掉，再将“ 改为“ ，其余条件不变，求 的度数.
23.(11分)在△ABC中,AB=AC,点 D 为线段CB 上一个动点(不与 B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作EF∥BC,交直线AC于点F,连接CE.
(1)如图①,若∠BAC=60°,则按边分类:△CEF是 三角形;
(2)若∠BAC<60°.
(i)如图②，当点 D 在线段CB 上移动时，判断. 的形状，并证明；
( ii)当点D在线段CB 的延长线上移动时， `是什么三角形 请在图③中画出相应的图形，并直接写出结论.
第十三章测试卷
C 2、A 3、D 4、B 5、D 6、C 7、D 8、D 9、B 10、D
11. 3 12、60° 13. 4 14. 36 15. 400
16.解:(1)由题图得A(-4,1),B(--1,-1),C(-3,2).
(2)如图， 即为所求.
(3)如图，点D即为所求.
17.解:如图,作 BB'垂直于河岸GH,使 BB'等于河宽,连接AB′,
与河岸EF 相交于P,作 PD⊥GH,交 GH 于点D,
则. 且PD=BB′.连接BD，利用平移可知
根据“两点之间，线段最短”，可知AB'最短，
即从A到B,路径A→P→D→B最短,故桥应建在PD处.
解:∵BD=DC,AD⊥BE,
∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线,
∴AB=AC.
∵点C 在AE 的垂直平分线上,
∴AC=CE.
∵△ABC的周长是22,
∴AC+AB+BD+CD=22,∴AC+CD=11,∴DE=CD+CE=CD+AC=11.
19.证明:(1)∵△ABC 是 等边三角形，
∴AB = BC =CA,∠ABC=
,且CD=AB,
∴CD=AB=BC,∠ACD=∠A=∠ACB=60°,
∴BO=DO,CO⊥BD,
∴AC 垂直平分BD.
由(1)知AC垂直平分BD,∴NB=ND,∵ND=NM,∴NB=NM.
20.解:连接CC 并反向延长交A'B'于D,交 AB 于E,连接CB',CA'.
∵点A 关于BC 边的对称点为A′,点B 关于AC边的对称点为B′,点C 关于AB边的对称点为C′,
∴AC=A′C,BC=B′C,CE=C′E,∠ACB = ∠A'CB', AB 垂直平分 CC',
∴△ABC≌△A'B'C(SAS),
∴S△ABC=S△ABc,∠A=∠AA'B',
∴AB∥A'B',∴CD⊥A'B',
∴根据全等三角形对应边上的高相等,可得CD=CE
BC 与△A'B'C'的面积之比为
21.解:由题意,知∠CAD=30°,∠CBD=60°.
∵CD⊥DB,∴∠CDB=90°,
∴∠DCB=30°,∴DB= BC.
∵∠BCA=∠CBD-∠CAD= .
由题意,知AB=2×40=80(海里),
∴BC=80海里,∴DB=40海里.故当轮船到达灯塔C 的正东方向 D 处时，又航行了40海里.
22.解:(1)∠DAC 的度数不会改变.
理由:∵EA=EC,∴∠AED=∠EAC+∠C=2∠C.
又∵∠BAE=90°
∴
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠C=45°.
(2)设∠B=m° ,则
∴ .
又∵EA=EC,
∴∠CAE=
23.解:（1）等边三角形
(i)△CEF为等腰三角形.
证明,∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠ACB = ∠ABC,∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,
∴∠EAC=∠DAB,∴△EAC≌△DAB(SAS),
∴∠ECA=∠B,∴∠ACE=∠ACB,
∵EF∥BC,∴∠EFC=∠ACB,∴∠EFC=∠ACE,∴CE=FE,∴△EFC为等腰三角形.
( ii)如图，△EFC为等腰三角形.当点 D 在线段CB 的延长线上时,以AD为一边在AD 的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC 的平行线EF，交线段 AC的延长线于点F，连接CE.证明：
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠ACB=∠ABC,∠BAE+∠EAC=∠DAB+∠BAE,
∴∠EAC=∠DAB,∴△EAC≌△DAB(SAS),
∴∠ECA=∠DBA,∴∠ECF=∠ABC,
∵EF∥BC,∴∠AFE=∠ACB,
又∵∠ABC=∠ACB,∴∠AFE=∠ECF,∴EC=EF,∴△EFC为等腰三角形.
