贵阳市第二十八中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测
九年级 数学试卷
一、选择题(每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确)
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－＝0 B．z2＋x＝1 C．3x2－8＝0 D．(x－1)(x－2)＝x2
2．将二次函数y＝x2的图象向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是( )
A．y＝(x＋4)2－5 B．y＝(x＋4)2＋5
C．y＝(x－4)2＋5 D．y＝(x－4)2－5
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论不一定成立的是( )
A．∠ABC＝∠A′C′B′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．OC＝OC′
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC＝65°，则∠AOC的度数是( )
A．65° B．130° C．32.5° D．65°或130°
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC的长是( )
A． B． C．2 D．2
6．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13 cm，AB＝24 cm，则CD等于( )
A．8 cm B．12 cm C．5 cm D．6 cm
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连接AC，BC，CD，OD.若∠DOB＝140°，则∠ACD的度数为( )
A．20° B．30° C．40°D．70°
8．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中，正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知圆的内接正三角形的边心距是1，则这个三角形的边长是( )
A．2 B． C．2 D．4
10．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )
A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是( )
A．(－，1) B．(，1) C．(，－1) D．(－1，)
12．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．π
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是______．
14．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为______.
15．将二次函数y＝x2－4x－3的图象向上平移a个单位长度，当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为________．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝__________．
三、解答题(本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，某公园的石拱桥的桥拱是圆弧形(弓形)，其跨度AB＝24 m，拱的半径R＝13 m，求拱高CD.
18．(10分)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B，连接AB.若直径AC＝12 cm，∠P＝60°，求弦AB的长．
19．(10分)如图，A，P，B，C是直径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
20．(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，∠AOC＝60°，OC＝2.
(1)求OE和CD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
21．(10分)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
22．(10分)已知圆锥的底面半径为r＝20 cm，高h＝20cm，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点．
(1)求圆锥的全面积；
(2)求蚂蚁爬行的最短距离．
23．(12分)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.
(1)求证：OM＝AN；
(2)若⊙O的半径r＝3，PA＝9，求OM的长．
24．(12分)已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB.
(1)如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(2)如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
25．(14分)若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为α.
(1)如图①，当α＝60°时，求点C经过的路径弧CC′的长度和线段AC扫过的扇形面积；
(2)如图②，当α＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；
(3)如图③，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．答案：
1.C
2.C
3.A
4.B
5.C
6.A
7.A
8.C
9.A
10.B
11.A
12.B
13.30°
14.5m
15.3或7
16
313-3
17.
解：如答图，设B所在圆的圆心为点O.
由题意，得AD=B=X24=12(m)
OC=0A=0B=13 m.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
0D=/0A2-AD2=V132-122=5(m),
.CD=OC-OD=13-5=8(m).
答：拱高CD为8m.
B
答图
18
解：连接BC
.PA,PB分别与⊙O相切，
.∴.∠PAC=90°，PA=PB.
.∠P=60°，∴.△PAB是等边三角形，
∴.∠PAB=60°，∴.∠BAC=∠PAC-∠PAB=90°-60
=30°.
:AC为⊙0的直径，∴.∠ABC=90°，BC=1AC=
7×12=6cm,
.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2一BC2=
122-62=63(cm).
19.
解：(1)由题意，得∠APC=∠ABC=60°·
.∠BAC=60°，∴.∠ACB=180°-60°-60°=60°
.△ABC是等边三角形；
(2)连接OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D.
.∠BAC=60°，..∠BOC=2∠BAC=120°，
∴.∠B0D-2∠B0C=60°.
'OD⊥BC,∴.∠ODB=90°，
..∠OBD=180°-∠ODB-∠BOD=180°-90°-
60°=30°，
∴在RK△B0D中，oD0B-号X分X8=-2.
20.
解：(1).CD⊥AB,.∠CE0=90°.
又.∠E0C=60°，∴.∠EC0=30°，
EO
:00=2,∴0E=20C=1.
在Rt△CEO中，由勾股定理，得CE=NOC2一OE2=
22-12=3.
.OA⊥CD,∴.CE=DE,.CD=2CE=23:
(2):SMRc-AB-CE-X4X\3=2\3,
S影=S0一S4B0-2X2-2W3=21一23.
21.
解：(1).PD与⊙O相切于点C,
∴.OC⊥PD,即∠OCD=90°，
.∠D=2∠A,∠COD=2∠A,.∠COD=∠D.
.'∠D+∠C0OD+∠OCD=180°，
.2∠D+90°=180°，..∠D=45°；
(2)由(1)可知△0CD是等腰直角三角形，∴.0C=CD=2.
在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD=√OC2+CD=
V22+22=22,
.∴.BD=OD-OB=2N2-2.
22.
解：如图.
(1).'r=20cm,h=20V15cm.
.在Rt△AOE中，由勾股定理，得母线I=V2+h=
V202+(20V15)2=80(cm),
∴.S陶锥全=πr(r+)=T×20X(20+80)=2000r(cm):
