专题02 有理数及运算
有理数及其分类
1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如果支出200元记作元，那么元表示( )
A．支出150元 B．支出50元 C．收入50元 D．收入150元
2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如果“向北走”记作，那么“向南走”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年级上·陕西延安·期末）有理数，0，，中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（20-21七年级上·陕西西安·期末）在下列各数中，正数的个数有______个．（ ）
－6，0.1234，，，0，，15
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（22-23七年级上·陕西汉中·期末）对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（21-22七年级上·陕西延安·期末）有下列各数：（1）；（2）；（3）的绝对值；（4）；（5）；（6）的相反数．其中，正数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．（22-23七年级上·陕西安康·期末）把下列各数填在相应的集合里：
，，，，，，，，，，．
负数集合：{__________…}；
整数集合：{__________…}．
相反数、绝对值
1．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）的相反数是（ ）
A．5 B． C． D．
2．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）的相反数是（ ）
A． B．- C． D．-
3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）绝对值小于4.01的整数有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
4．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知与互为相反数，则的值为 ．
数轴及有理数大小比较
1．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）在，，，0中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有（ ）个．
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
3．（21-22七年级上·陕西安康·期末）在数轴上，点A分别与、7的点的距离相等，则点A代表的数是（ ）
A．3 B．原点 C． D．2
4．（22-23七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21七年级上·陕西西安·期末）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上三点所表示的数分别为．若两点相距3个单位长度，两点相距2个单位长度，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
7．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a、b、-a、-b 的大小关系是 （用“＜”把它们连接起来）．
8．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”）
9．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）比较大小： 0．（填“>”、“=”或“<”）
10．（23-24七年级上·陕西西安·期末）比较大小： ．
11．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）若，则 ．（填“>”“<”或“=”）
12．（18-19七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是
13．（21-22七年级上·陕西汉中·期末）画一条数轴，在数轴上标出下列各数，并比较他们的大小．
，，，0
14．（20-21七年级上·陕西安康·期末）在数轴上表示下列各数:，并将它们按从小到大的顺序排列．
数轴上的距离问题
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．
2．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，数轴上摆放着边长分别是1和2的正方形，将小正方形沿着数轴水平移动，当两个正方形首次重叠部分的面积是大正方形面积的时，小正方形移动的距离是 .
3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．
(1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______．
(2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？
(3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数．
4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数；
（2）在数轴上标出表示的点和表示的点；
（3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？
5．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知数轴上三点 A、O、B 对应的数分别为、0、2，点 M 为数轴上任意一点．
(1)求A、B两点间的距离；
(2)若点 M到A、B 两点的距离相等，求点 M 在数轴上所表示的数．
6．（21-22七年级上·陕西咸阳·期末）点A在数轴上距离原点5个单位长度，且位于原点右侧，若将点A向左移动7个单位长度到点B，求点B表示的数．
有理数加减运算
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）、、这三个数的和比这三个数绝对值的和小（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．若一个数与2022的和为0，则这个数是（ ）
A．2022 B． C． D．
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）计算：（ ）
A． B． C．7 D．
4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．10
5．（21-22七年级上·陕西西安·期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让分拣效率大大提升．某分拣仓库采用智能分拣系统计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天分拣量与计划相比有出入，超过计划量记为正，未达计划量记为负，下面是该仓库10月份第一周分拣包裹的情况（单位：万件）：+5，﹣1，﹣3，+6，﹣1，+4，﹣8，该仓库本周实际分拣包裹一共是（ ）
A．138万件 B．140万件 C．141万件 D．142万件
6．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是 ．
7．（20-21七年级上·陕西安康·期末）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ．
8．（23-24七年级上·陕西西安·期末）当等式成立时有理数a、b满足 条件．
9．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）在数轴上，点表示，点与点分别位于原点的两侧，且
点到原点的距离是点到原点的距离的倍．则点表示的数与点表示的数的和为 ．
10．（21-22七年级上·陕西商洛·期末）有三个数，它们的绝对值分别为1，2，4，其中绝对值最小的数最大，绝对值最大的数最小，则这三个数的和是 ．
11．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）不改变原式的值，把写成省略括号和加号的和的形式为 ．
12．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某路公交车从起点出发依次经过A，B，C，D四站，各站上下车的人数按如下方式表示：（上车人数，下车人数），其中上车为正，下车为负．已知起点有10人上车，，，，，从D站驶出后，车上有乘客 人．
13．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）体育课上练习折返跑，小明从位置出发向前记为正，返回记为负，他的折返跑记录如下（单位：米）：，，，，，．
(1)小明是否回到原来的位置？
(2)小明离开点的位置最远是多少米？
14．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
15．（20-21七年级上·陕西西安·期末）计算
（1）；
（2）．
倒数及有理数乘除法
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）的倒数是（ ）
A．9 B． C． D．
2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）已知关于的一元一次方程的解是2的倒数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知x的倒数是，则的值为 ．
4．（22-23七年级上·陕西汉中·期末）计算： ．
5．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）若，那么的取值可能是
6．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数．
7．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）已知m是的倒数，n的绝对值是3．
(1)___________；___________；
(2)当时，比较与的大小．
9．（22-23七年级下·陕西西安·期末）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
10．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）．
11．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）数学老师布置了一道计算题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．小明的解法如下：原式的倒数为，所以．请你根据小明的解法计算的值．
乘方运算及有理数混合运算
1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（ ）
A．10 B．16 C． D．
2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）在，，，中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
4．（22-23七年级上·陕西西安·期末）下列四组数相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．（22-23七年级上·陕西西安·期末）计算的结果的个位数字是（ ）
A．9 B．5 C．1 D．7
6．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各数：中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）将改写成幂的形式为 ．
9．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）比较下面两算式结果的大小： ．
10．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若a、b互为相反数，c、a互为倒数，则 ．
11．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：．
12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
13．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）计算：．
14．（23-24七年级上·陕西安康·期末）计算：．
15．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
16．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
17．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
18．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）计算：
(1)
(2)
(3)；
19．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
20．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）计算：．
21．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）计算：
22．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：．
23．（23-24七年级上·陕西延安·期末）计算：．
24．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：
25．（22-23七年级上·陕西西安·期末）计算：．
绝对值、偶次方非负性应用
1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．无法计算
2．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知，那么的值为 .
流程图与有理数计算
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）按如图所示的程序分别输入进行计算，请写出输出结果（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入的数为，则计算结果为 ．
3．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）按图中的程序运算：当输入的数据为10时，则输出的数据是 ．
4．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ．
5．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ．
6．（22-23七年级上·陕西西安·期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ．
有理数运算与实际问题
1．（23-24七年级上·陕西安康·期末）某自行车厂计划平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周（7天）的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划平均每天生 产数量的差值（单位：辆）
(1)前三天共生产了多少辆自行车？
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆自行车？
(3)该厂实行每周（生产1400辆自行车）计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆再另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少心？
2．（22-23七年级上·陕西延安·期末）为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．
(1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度；
(2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演动作过程中，一共消耗了多少升燃油？
3．（23-24七年级上·陕西安康·期末）“十一”国庆期间，由于双节假期恰逢亚运会，杭州亚运会主题旅游火热，杭州共推出100条亚运会主题旅游线路．下表是本次国庆期间杭州每天的客流情况，以客流量80万人次为标准，请根据表格当中的数据回答下列问题．（比80万人次多的人数记为正，比80万人次少的人数记为负）
日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日
与标准客流量的差值（万人）
(1)10月1日杭州客流量为________万人次；
(2)国庆期间杭州客流量最多的一天比客流量最少的一天多多少万人次？
(3)若来杭州旅游的人们平均每人每天消费300元，那么整个国庆期间来杭州旅游的消费总额是多少
万元？
4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）科技改变世界，快递分拣机器人成为物流小帮手.据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应、避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电.某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库11月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
分拣情况/万件 0
(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期_________；最少的一天是星期_________；最多的一天比最少的一天多分拣__________万件包裹.
(2)该仓库本周实际分拣多少万件包裹？
5．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）佳县是中国红枣名乡，国家林业局授予佳县“中国枣乡”称号，某油枣线上店销售20箱佳县油枣，以每箱10千克为标准，超过10千克的部分记为正数，不足10千克的部分记为负数，称重记录如下：
与标准质量的差（千克） 0
箱数（箱） 2 1 5 2 3 3 4
(1)求这20箱佳县油枣的总质量；
(2)若这批佳县油枣的成本是7元/千克，售价是15元/千克．求销售这20箱佳县油枣能盈利多少元？
6．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）洗衣粉厂生产某种规格的洗衣粉，每袋标准质量为450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，超过或不足标准质量的部分分别用“＋”和“－”表示，记录如下：
超过或不足（克） 0
袋数 1 1 1 6 5 2 4
(1)这20袋洗衣粉的平均质量是多少克？
(2)厂家规定每袋质量超过或不足的部分大于5克时为不合格，不能出厂销售．若每袋洗衣粉的定价为5.6元，则抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为多少元？
7．（23-24七年级上·陕西西安·期末）“双减”政策实施后，同学们作业负担大大减少，下面是小明记录的本周写家庭作业的用时情况（以分钟为标准，时间多于分钟的部分用正数表示，时间少于分钟的部分用负数表示）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与标准时间的差（分钟）
(1)小明这一周内写家庭作业用时最少的是星期_____________；
(2)小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多多少分钟
(3)求小明这一周每天写家庭作业的平均时间．
8．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）面（汉语拼音：Biáng biáng miàn，Biáng字是一个合字“”，常被代替写为BiángBiáng面、奋奤面或面）是陕西关中地区的汉族传统风味面食，因为制作过程中有biang、biang的声音而得名．某面店计划每天卖出200碗面，每天的实际销售量与计划相比有出入，如表是某星期的销售情况（超出计划销售量的部分记为正，不足计划销售量的部分记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
实际销售量与计划量的差值/碗
(1)求该面店前五天面的实际销售总量；
(2)该面店本星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量？请说明理由；
(3)若每碗面的售价为14元，成本为4元，求该面店本星期的利润．
9．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）某校七年级六个班组织举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5千克为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，一班到五班收集的废纸质量分别是，，，0，（单位：千克），六个班共收集了33千克的废纸．
(1)求六班收集的废纸的质量；
(2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量．
10．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）在橙子上市的季节，某商家以每箱60元的进价购入200箱橙子，然后分批全部卖出，售价以每箱85元为标准，超出85元的部分记作“”，低于85元的部分记作“”，记录如下表所示：
超出标准的部分（元） 0
卖出数量（箱） 50 20 40 30 30 30
(1)求每箱橙子的平均售价；
(2)该商家卖完所有橙子所获总利润为多少？
11．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）女娲茶外形匀齐，色泽翠绿，汤色清亮，香气高长，滋味醇厚，耐冲泡，叶底匀整嫩绿明亮，内含物丰富，富含硒、锌元素，某茶商包装20盒女娲茶，以每盒200克为标准，超过200克的部分记为正数，不足200克的部分记为负数，称重记录如下：
与标准质量的差（克） 0
盒数（盒） 2 1 5 2 4 2 4
(1)求这20盒女娲茶的总质量；
(2)若这批女娲茶的进价是1.5元/克，售价是2.5元/克．求出售完这20盒女娲茶能盈利多少元？
12．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况：（实际每天的销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，单位：箱）
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值（单位：箱）
(1)本周销售最多的一天比最少的一天多卖出多少箱？
(2)请通过计算说明本周实际销售总量是否达到了计划销售总量？
(3)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元？
13．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）流感是冬季最常见的传染病之一．它由流感病毒引起，通过空气飞沫传播，做好个人防护的最佳措施就是出门佩戴口罩，使得医用口罩销量大增加．某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产10000个，但由于各种原因实际每天生产量与计划相比有出入，下表是十二月份某一周的生产情况（超产的部分为正，减产的部分为负，单位：个）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)该口罩加工厂产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？
(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？
利用数轴判断式子的符号
1．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22七年级上·陕西宝鸡·期末）已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22七年级上·陕西西安·期末）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 ．
4．（21-22七年级上·陕西安康·期末）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号）
绝对值的几何意义
1．（22-23七年级上·陕西延安·期末）已知数轴上有A，B，C三点，其中A点表示的数为，B点表示的数为4，C点表示的数是7，数轴上有另一动点D，当的值最小时，的最小值
为 ．
2．（22-23七年级上·陕西西安·期末）若有理数，满足，则的最大值为 .
3．（22-23七年级上·陕西西安·期末）实数a，b满足，则的最小值为 ．
4．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期末）同学们，我们都知道：表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)（ ）；（ ）；
(2)写出使得成立的所有整数 ；
(3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值．
数轴综合探究题
1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）基础回顾：数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是_______；表示有理数和5两点之间的距离是_______．
（2）新定义：一般的，在数轴上有一个点A，另一个点B到这个点的距离叫做栋梁距离，则点B叫做点A在该栋梁距离时的求知点，点B对应的数叫做求知数．例如．数轴上表示2的点，在栋梁距离为3时对应的求知数为和5，在栋梁距离为1时对应的求知数为1和3，在栋梁距离为0时对应的求知数是2．
请根据定义回答下列问题：
①数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是_______．
②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是_______；
学以致用：
③在数轴上，点A是点C在栋梁距离为m时的求知点，有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由．
④若将③中的语句改成：在数轴上，点A与点C的距离为m，点B与有理数m对应的点的距离为6，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由．请问，③的结论___________（填一定成立或不一定成立或一定不成立）
2．（21-22七年级上·陕西铜川·期末）如图，已知数轴上两点、表示的数分别为、12，用表示点和点之间的距离．
(1)______；
(2)若在数轴上存在一点，使，求点表示的数；
(3)在（2）的条件下，点位于，两点之间.点以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动；4秒后点以每秒2个单位长度的速度也沿着数轴的正方向运动，到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点到达点，两个点同时停止运动，设点运动的时间为，则当为何值时，？
3．（20-21七年级上·陕西榆林·期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm；
(2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ；
(3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
填幻方
1．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，是由3×3的方格构成的幻方，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，称为“幻方”．则的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为 ．
0
3
1
3．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是 ．
4．（21-22七年级上·陕西汉中·期末）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都等于15．请将下图的幻方补充完整．
4
3
6
新定义与有理数
1．（21-22七年级上·陕西安康·期末）现规定一种新运算“*”：．则的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
2．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）现定义一种新运算“*”，规定，则的值等
于（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）定义一种新的运算：，则的值为（ ）
A．-5 B．-7 C．5 D．7
4．（22-23七年级上·陕西商洛·期末）现对整数，定义一种新的运算，运算符号记为☆，其运算法则如下：，则 ．
5．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值．
6．（21-22七年级上·陕西安康·期末）对于有理数a、b规定一种新运算：．求的值．
7．（21-22七年级上·陕西西安·期末）现在定义两种运算“”和“”，对于有理数，，有，．求．
8．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）规定《a》的值指分数a的分子、分母中数值较大的一个数，如，又如：．请你按这样的规定求出下面各题对应的结果．
(1)？；
(2)，括号内最大填？
9．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题：
(1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______；
(2)计算______；
(3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可）
10．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”； 若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”．
(1)若点A表示的数为，则A的幸福点 F所表示的数应该是 ；
(2)如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点 F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和是多少？专题02 有理数及运算
有理数及其分类
1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如果支出200元记作元，那么元表示( )
A．支出150元 B．支出50元 C．收入50元 D．收入150元
【答案】D
【知识点】正负数的定义、相反意义的量
【分析】本题考查了正数和负数的应用，用正数和负数表示一对相反的量是解题关键．用正数和负数可以表示一对相反的量，如果收入记作正，则支出则记作负．
【详解】解：支出200元记作元，那么元表示收入150元，
故选：D．
2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如果“向北走”记作，那么“向南走”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反意义的量、正负数的定义
【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量．
【详解】解：∵向北走与向南走是一对意义相反的量，
如果向北走，记作，
∴向南走可表示为，
故选：．
3．（22-23七年级上·陕西延安·期末）有理数，0，，中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】正负数的定义
【分析】根据负数的定义判断即可．
【详解】解：有理数，0，，3.14中，是负数，
故选：A．
【点睛】题目主要考查负数的定义，理解负数的定义是解题关键．
4．（20-21七年级上·陕西西安·期末）在下列各数中，正数的个数有______个．（ ）
－6，0.1234，，，0，，15
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】有理数的定义、有理数的分类
【分析】根据大于0的数是正数可得结果．
【详解】解：在-6，0.1234，，，0，，15中，
正数有：0.1234，，，15共4个，
故选C．
【点睛】本题考查了正数的定义，熟记概念是解题的关键，要注意0既不是正数也不是负数．
5．（22-23七年级上·陕西汉中·期末）对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的分类、绝对值的意义
【分析】根据正负数的定义、非负数的性质来一一判断即可．
【详解】A.，当时，，故此选项不符合题意；
B.在中，无论a取何值，为非正数，非正数加一个负数仍为负数，故此选项符合题意；
C.在中，当时，，故此选项不符合题意；
D.在中，当时，，不是负数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的分类和绝对值的意义，掌握这些定义与性质是解决问题的关键．
6．（21-22七年级上·陕西延安·期末）有下列各数：（1）；（2）；（3）的绝对值；（4）；（5）；（6）的相反数．其中，正数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】有理数的分类、相反数的定义、求一个数的绝对值
【分析】先求出的绝对值，的相反数，然后根据正数定义得出答案．
【详解】解：的绝对值为，的相反数为，
在中，正数有：，共个．
故选：C．
【点睛】本题考查了对正数，绝对值，相反数等知识点的理解和应用，关键是会求出一个数得绝对值和相反数；理解正数的意义．
7．（22-23七年级上·陕西安康·期末）把下列各数填在相应的集合里：
，，，，，，，，，，．
负数集合：{__________…}；
整数集合：{__________…}．
【答案】负数集合：；整数集合：．
【知识点】有理数的分类
【分析】根据题目中的数据，可以将数据填入相应的集合中即可．
【详解】负数集合：；
整数集合：；
【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是明确题意，正确理解有理数的分类．
相反数、绝对值
1．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）的相反数是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相反数的定义
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是，
故选C．
2．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）的相反数是（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】D
【知识点】相反数的定义、判断是否互为相反数、求一个数的绝对值
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：因为=
而 与只有符号不同，
所以 的相反数是-，
故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键．
3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）绝对值小于4.01的整数有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】D
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】此题主要考查对绝对值和整数的认识，根据绝对值和整数的意义，找出符合题意的数即可．
【详解】解：，，，，，
∴绝对值小于的整数有9个，
故选：D．
4．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知与互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义
【分析】根据相反数的意义及绝对值的意义可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相反数的意义及绝对值的意义，熟练掌握相反数的意义及绝对值的意义是解题的关键．
数轴及有理数大小比较
1．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）在，，，0中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、相反数的定义
【分析】本题考查了相反数和绝对值，有理数大小比较．先计算相反数和绝对值，再根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．依此即可求解．
【详解】解：，，
因为，，，
所以，
所以其中最小的数是．
故选：D．
2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有（ ）个．
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】B
【知识点】用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查的是数轴，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键．根据数轴的单位长度，即可判断墨迹盖住部分的整数．
【详解】解：由图可知，左边盖住的整数数值是；
右边盖住的整数数值是2，3；
墨迹盖住部分的整数共有个．
故选：B．
3．（21-22七年级上·陕西安康·期末）在数轴上，点A分别与、7的点的距离相等，则点A代表的数是（ ）
A．3 B．原点 C． D．2
【答案】A
【知识点】用数轴上的点表示有理数
【分析】根据数轴上点的特点，求出、7的中点，即点A表示的数．
【详解】解：∵点A分别与、7的点的距离相等，
∴点A代表的数是，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上求两个点中点所表示的数的方法．
4．（22-23七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值的意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小
【分析】由数轴可知，，得到，，，，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，，，，
故选项B正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法计算法则，有理数的大小比较法则，正确理解利用数轴表示的数的大小关系的确定方法是解题的关键．
5．（20-21七年级上·陕西西安·期末）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】由数轴可知：a＜0＜b＜c，结合有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置进行求解即可．
【详解】解：由数轴观察到a＜0＜b＜c，，，
A：a+b<0，故不符合题意；
B：a+c＞0，故不符合题意；
C：b-a＞0，故符合题意；
D：c-b＞0，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，解答本题的关键在于结合有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置进行判断求解．
6．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上三点所表示的数分别为．若两点相距3个单位长度，两点相距2个单位长度，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据距离列式解方程计算即可．
【详解】∵数轴上三点所表示的数分别为．若两点相距3个单位长度，两点相距2个单位长度，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
7．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a、b、-a、-b 的大小关系是 （用“＜”把它们连接起来）．
【答案】
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的应用
【分析】利用相反数的含义：互为相反数的两个数所对应的点与原点的距离相等，再在数轴上描出．从而可得答案．
【详解】解：如图，在数轴上描出对应的点的位置如下，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，掌握相反数的特点是解本题的关键．
8．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【详解】解：∵，，且，
∴，
故答案为：．
9．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）比较大小： 0．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】
【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值
【分析】本题考查的是求解绝对值，有理数的大小比较，根据正数大于0即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10．（23-24七年级上·陕西西安·期末）比较大小： ．
【答案】>
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握并正确运用有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小求银即可．
【详解】解：∵，，而，
∴，
故答案为：＞．
11．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）若，则 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【知识点】有理数大小比较
【分析】先求出的取值范围，再比较即可．
【详解】∵，
∴，
∴>，
故答案为>．
【点睛】本题考查了有理数大小比较的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法．
12．（18-19七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是
【答案】1
【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义
【分析】此题可借助数形结合的方法求解，由于A、B两点表示的数互为相反数，因此A、B一定是关于原点对称的，从而确定原点的位置，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出C点表示的数．
【详解】解：由于A、B两点表示的数互为相反数，因此A、B一定关于原点对称，
∴原点O与各点的位置如图所示：
将单位长度视为1，
因此C所表示的数为1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了数轴与相反数的有关内容，相反数在数轴的体现是关于原点对称，利用这个性质作为突破口．
13．（21-22七年级上·陕西汉中·期末）画一条数轴，在数轴上标出下列各数，并比较他们的大小．
，，，0
【答案】图见解析，
【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小
【分析】在数轴上表示出各数，自右向左用 “”连接即可．
【详解】解：如图，
∴．
【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握有理数大小比较、数轴的性质，从而完成求解．
14．（20-21七年级上·陕西安康·期末）在数轴上表示下列各数:，并将它们按从小到大的顺序排列．
【答案】图见解析，
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的意义、求一个数的绝对值
【分析】在数轴上表示出各数，再按照从左到右的顺序用“＜”号把它们连接起来即可．
【详解】解:
如图所示:
故:．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．
数轴上的距离问题
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．
【答案】
【知识点】数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键．
由数轴上表示数5的点到和的距离相等得到，解得或，由点在点的左边可以得到．
【详解】解：数轴上表示数5的点到和的距离相等，
，
整理得：，
或，
解得：或，
点在点的左边，
，
故答案为：．
2．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，数轴上摆放着边长分别是1和2的正方形，将小正方形沿着数轴水平移动，当两个正方形首次重叠部分的面积是大正方形面积的时，小正方形移动的距离是 .
【答案】
【知识点】数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴上两点距离；根据题意分类讨论，即可求解．
【详解】解：由题意可知：重叠部分的面积是，重叠部分的边长是1，另一边长是，
所以小正方形移动的距离是
故答案为：．
3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．
(1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______．
(2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？
(3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数．
【答案】(1)，C
(2)B和D，A和E，
(3)或
【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了数轴，两点间的距离公式，解题的关键是采用数形结合的数学思想．
（1）根据，可知图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，则后边的点表示的数总是比前边相邻的点表示的数大2，据此即可判断；
（2）根据相反数的几何意义可知，原点两旁到原点距离相等的点互为相反数，即可解答；
（3）根据两点间的距离公式，设M表示的数是x，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：，
图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，
则B表示：，C表示，是原点．
故答案为：，C；
（2）解：由（1）可知C为原点，且相邻两点之间的距离都相等，
B和D，A和E，分别互为相反数；
故答案为：B和D，A和E，
（3）解：，
M不在线段上，设M表示的数是x，
当M在A的左边时：，解得；
当M在G的右侧时：，解得，
则M点表示：或．
故答案为：或．
4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数；
（2）在数轴上标出表示的点和表示的点；
（3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？
【答案】（1）点表示的数是点表示的数是；（2）图见解析；（3）或．
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性
【分析】本题主要考查数轴的特点，有理数与数轴的性质，两点之间距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）根据数轴特点，图形结合即可求解；
（2）将有理数在数轴上表示即可；
（3）根据两点之间距离的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）根据题意可得，点表示的数是点表示的数是；
（2）如图所示，点表示和点表示．
（3）设点表示的数为，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴点对应的数是或．
5．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知数轴上三点 A、O、B 对应的数分别为、0、2，点 M 为数轴上任意一点．
(1)求A、B两点间的距离；
(2)若点 M到A、B 两点的距离相等，求点 M 在数轴上所表示的数．
【答案】(1)6
(2)
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离
【分析】此题考查了数轴，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可．
（2）根据题意得M为A、B 两点的中点，进一步求解即可．
【详解】（1）解：A、B两点间的距离为．
（2）解：∵点 M到A、B两点的距离相等，
∴，
∴点 M 在数轴上所表示的数为 ．
6．（21-22七年级上·陕西咸阳·期末）点A在数轴上距离原点5个单位长度，且位于原点右侧，若将点A向左移动7个单位长度到点B，求点B表示的数．
【答案】点B表示的数为-2
【知识点】数轴上两点之间的距离
【分析】根据条件确定点A表示的数为5，再将点A向左移动7个单位也即5-7即可．
【详解】解：因为点A在数轴上距离原点5个单位长度，且位于原点右侧．
所以点A表示的数是5
因为将点A向左移动7个单位长度到点B．
所以点B表示的数为5-7=-2．
【点睛】本题考查了数轴，通过数轴上点得平移（向左减，向右加）进行计算是关键．
有理数加减运算
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）、、这三个数的和比这三个数绝对值的和小（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值的意义、有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的加减法，绝对值，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键．根据题意列出式子，然后根据绝对值、有理数的加减法分别计算即可．
【详解】解：
，
故选：D．
2．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．若一个数与2022的和为0，则这个数是（ ）
A．2022 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数加法运算、相反数的定义
【分析】由相反数的含义，结合有理数的加法运算可得答案．
【详解】解：∵一个数与2022的和为0，
∴这个数是，
故选B
【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，相反数的含义，熟记和为0的两个数互为相反数是解本题的关键．
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）计算：（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算法则，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，求解即可．
【详解】解：，故D正确．
故选：D．
4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．10
【答案】A
【知识点】相反数的定义、有理数的加减混合运算、正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体相对面上的文字，先得出每个相对面，再由相对面上的两个数互为相反数可得出，，的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：“”与“3”相对，“”与“2”相对，“”与“”相对，
相对面上的两个数互为相反数，
，，，
．
故选：．
5．（21-22七年级上·陕西西安·期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让分拣效率大大提升．某分拣仓库采用智能分拣系统计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天分拣量与计划相比有出入，超过计划量记为正，未达计划量记为负，下面是该仓库10月份第一周分拣包裹的情况（单位：万件）：+5，﹣1，﹣3，+6，﹣1，+4，﹣8，该仓库本周实际分拣包裹一共是（ ）
A．138万件 B．140万件 C．141万件 D．142万件
【答案】D
【知识点】有理数加减混合运算的应用
【分析】把每天的分拣包裹数相加即可．
【详解】解：+5+（-1）+（-3）+（+6）+（-1）+（+4）+（-8）=2（万件），
20×7+2=142（万件），
∴该仓库本周实际分拣包裹一共142万件．
故选：D．
【点睛】本题考查正数与负数；理解题意，利用正数与负数的加减法解决实际问题是关键．
6．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是 ．
【答案】9
【知识点】有理数加法在生活中的应用
【分析】本题考查了有理数加法的应用，用早晨的气温+升高的气温即可．
【详解】解：．
故答案为：9．
7．（20-21七年级上·陕西安康·期末）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ．
【答案】
【知识点】有理数的减法运算
【分析】用减去得出结果．
【详解】解：．
故答案是：6．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间距离的计算方法．
8．（23-24七年级上·陕西西安·期末）当等式成立时有理数a、b满足 条件．
【答案】
【知识点】绝对值的意义、有理数加法运算
【分析】本题主要考查绝对值的意义，首先由题意得，得，，再根据绝对值的意义进行判断，从而可得出结论．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∵当时，，当时，，
∴，
同理可得：
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
9．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）在数轴上，点表示，点与点分别位于原点的两侧，且点到原点的距离是点到原点的距离的倍．则点表示的数与点表示的数的和为 ．
【答案】
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算
【分析】本题考查了数轴上表示有理数，有理数的加法，根据题意得出点表示，进而即可求解．
【详解】解：∵，点表示，点与点分别位于原点的两侧，且点到原点的距离是点到原点的距离的倍．
∴点表示，
点表示的数与点表示的数的和为，
故答案为：．
10．（21-22七年级上·陕西商洛·期末）有三个数，它们的绝对值分别为1，2，4，其中绝对值最小的数最大，绝对值最大的数最小，则这三个数的和是 ．
【答案】或/或
【知识点】绝对值的意义、有理数的加减混合运算
【分析】由绝对值的意义可知，这三个数可能是，，，再根据绝对值最小的数最大，绝对
值最大的数最小，分类讨论即可得出结果．
【详解】解：∵三个数的绝对值分别为1，2，4，
∴这三个数可能是，，，
∵绝对值最小的数最大，绝对值最大的数最小，
∴最大的数是1或，最小的数是，
当最大的数是时，，
∴另一个数是，
∴这三个数的和为：，
当最大的数是1时，，
∴另一个数也是，
∴这三个数的和为：，
∴这三个数的和是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加减运算，掌握绝对值的意义是解决问题的关键．
11．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）不改变原式的值，把写成省略括号和加号的和的形式为 ．
【答案】
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】先将加减混合运算统一成加法，再去掉括号即可．
【详解】
=-7+（-5）+6+（-1）
=-7-5+6-1
故答案为：
【点睛】此题考查了将有理数加减混合运算改写成代数和形式的能力，关键是能将加减混合运算统一成加法，再去掉括号进行改写．
12．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某路公交车从起点出发依次经过A，B，C，D四站，各站上下车的人数按如下方式表示：（上车人数，下车人数），其中上车为正，下车为负．已知起点有10人上车，，，，，从D站驶出后，车上有乘客 人．
【答案】8
【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算的实际应用，根据正负数的意义结合题意列式计算即可．
【详解】解：（人），
∴从D站驶出后，车上有乘客8人，
故答案为：8．
13．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）体育课上练习折返跑，小明从位置出发向前记为正，返回记为负，他的折返跑记录如下（单位：米）：，，，，，．
(1)小明是否回到原来的位置？
(2)小明离开点的位置最远是多少米？
【答案】(1)小明回到原来的位置
(2)小明离开点的位置最远是10米
【知识点】正负数的实际应用、绝对值的意义、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加法在生活中的应用，以及绝对值的意义．
（1）将所有记录相加后即可知小明是否回到原来的位置；
（2）分别求出每次离开点的距离，从而可以得到小明离开点最远的距离．
【详解】（1）解：（米）．
答：小明回到原来的位置．
（2）第1次：（米），
第2次：（米），
第3次：（米），
第4次：（米），
第5次：（米），
第6次：（米）．
答：小明离开点的位置最远是10米．
14．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键；
根据有理数的加减运算法则计算即可；
【详解】
15．（20-21七年级上·陕西西安·期末）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】（1）先将有理数减法转化为加法，再按加法进行计算即可；
（2）先将有理数减法转化为加法，然后利用加法的结合律先将整数与整数相加，分数与分数相加．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的加减法混合运算，掌握有理数加减法的计算方法是得出正确答案的前
提．
倒数及有理数乘除法
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）的倒数是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【知识点】倒数
【分析】本题主要考查了倒数的定义，掌握互为倒数的两个数的积为1是解题的关键．
根据互为倒数的两个数的积为1即可解答．
【详解】解：∵，
∴的倒数是．
故选C．
2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）已知关于的一元一次方程的解是2的倒数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】倒数、方程的解、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解方程，转化为m的方程求解即可．
【详解】∵关于的一元一次方程的解是2的倒数,
∴，
解得，
故选B．
3．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知x的倒数是，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】倒数、求一个数的绝对值
【分析】由倒数的含义求解，再求解绝对值即可．
【详解】解：由x的倒数是，可得：，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题考查的是倒数的含义，求解一个数的绝对值，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”是解本题的关键．
4．（22-23七年级上·陕西汉中·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】按照有理数乘除混合运算法则逐步计算即可
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算的法则是解决问题的关键
5．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）若，那么的取值可能是
【答案】或3/3或
【知识点】化简绝对值、有理数的除法运算
【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分四种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当时，，
；
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
；
故答案为：或3
6．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数．
【答案】的相反数是
【知识点】相反数的定义、绝对值的意义、倒数
【分析】本题主要考查了倒数、绝对值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出，，再结合得出，从而求得的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：的倒数是，的绝对值是最小的正整数，
，，
，
，
，
的相反数是．
7．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）已知m是的倒数，n的绝对值是3．
(1)___________；___________；
(2)当时，比较与的大小．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】绝对值的意义、倒数、整式的加减运算
【分析】本题考查了倒数，绝对值的意义，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据倒数和绝对值的意义求解即可；
（2）用作差法求解即可．
【详解】（1）∵m是的倒数，
∴；
∵n的绝对值是3，
∴．
故答案为：；；
（2），
∵，
∴，
∴．
8．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）用简便方法计算：．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数乘法的运算律．先利用乘法的交换律和结合律，再利用乘法的分配律计算即可求解．
【详解】解：
．
9．（22-23七年级下·陕西西安·期末）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)4
【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律等运算法则较为简便．
（1）根据有理数的乘法的结合律进行简算即可；
（2）根据有理数的乘法的交换律与结合律计算即可；
（3）利用乘法分配律进行简便计算即可；
（4）逆用乘法分配律计算较为简便．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
．
10．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】本题考查的是乘法分配律的应用，掌握运算顺序是解本题的关键；
先把除法化为乘法，利用乘法的分配律进行简便运算，最后计算加减运算即可．
【详解】解：原式．
11．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）数学老师布置了一道计算题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．小明的解法如下：原式的倒数为，所以．请你根据小明的解法计算的值．
【答案】
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
原式的倒数为，将除法变成乘法，利用乘法分配律进行计算，然后可得答案．
【详解】解：原式的倒数为，
，
所以．
乘方运算及有理数混合运算
1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（ ）
A．10 B．16 C． D．
【答案】B
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题意计算出“”表示的数，然后再进行有理数的混合运算即可；解题的关键是准确计算出“”表示的数．
【详解】解：由题意得：，
故选：B．
2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）在，，，中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】化简多重符号、有理数大小比较、有理数的乘方运算、求一个数的绝对值
【分析】本题主要考查比较有理数的大小，先化简每个数，再比较即可得出结论．
【详解】解：；；；；
∵，
∴，
∴最小的数是，
故选：A
3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义．利用乘方运算法则计算后判断即可．
【详解】解：A、，，故相等，符合题意；
B、，，故不相等，不符合题意；
C、，，故不相等，不符合题意；
D、，，故不相等，不符合题意；
故选：A．
4．（22-23七年级上·陕西西安·期末）下列四组数相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】根据乘方的意义对各选项进行判断．
【详解】解：A．，，故不相等，不符合题意；
B．，，故相等，符合题意；
C．，，故不相等，不符合题意；
D．，，故不相等，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方；正确地计算是解题的关键．
5．（22-23七年级上·陕西西安·期末）计算的结果的个位数字是（ ）
A．9 B．5 C．1 D．7
【答案】A
【知识点】数字类规律探索、有理数的乘方运算
【分析】找到和的个位数字的规律，再进行计算即可．
【详解】解：，
∴的个位数分别为：，每四个循环一次，
∵
∴的个位数字为：7；
，
∴的个位数分别为：，每四个循环一次，
∵，
∴的个位数字为：8；
又∵为负数，
∴，
∴的结果的个位数字是：；
故选A．
【点睛】本题考查数字规律探究．解题的关键是：抽象概括出相应的数字规律．
6．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各数：中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】根据有理数的乘方法则进行计算，然后根据负数的概念作出判断．
【详解】解：＜0，是负数；＜0，是负数；＞0，是正数；
＜0，是负数；＜0，是负数；＜0，是负数；
负数共有5个
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的乘方计算及绝对值的化简，掌握计算法则正确化简计算是解题关键．
7．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）将改写成幂的形式为 ．
【答案】
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题考查有理数的乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，表示为．
【详解】解：用幂的形式可表示为．
故答案为．
9．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）比较下面两算式结果的大小： ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、多个有理数的乘法运算、有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数混合运算．只要分别计算出两边的值，再根据比较有理数大小的法则进行比较即可解决问题．
先通过计算出每个式子的结果，再比较其结果的大小即可求解．
【详解】解：，，
，
．
故答案是：．
10．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若a、b互为相反数，c、a互为倒数，则 ．
【答案】0
【知识点】相反数的定义、倒数、有理数的乘方运算
【分析】本题考查倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方．熟练掌握倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方是解题的关键．
由题意知，，然后代值求解即可．
【详解】a、b互为相反数，c、a互为倒数，
，即
，即
故答案为：0．
11．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可.
【详解】解：
；
12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
13．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）计算：．
【答案】11
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
【详解】解：
．
14．（23-24七年级上·陕西安康·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确化简及有理数的混合运算法则是解题关键．先去绝对值、乘方，再乘除，最后加减即可求解．
【详解】解：
．
15．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算， 先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
16．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方和绝对值，再计算除法，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
17．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】3
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了含有指数的有理数混合运算，解题的关键是注意运算顺序和运算结果的符号．
先进行绝对值、乘方运算，再进行乘除法运算，最后进行加法运算．
【详解】
．
18．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）计算：
(1)
(2)
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)5
【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了含有乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值：
（1）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数，即可求得结果；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，两个负数相乘结果为正，即可得到结果；
（3）先将含有乘方的化简，然后求出数的绝对值，然后进行计算；
正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
19．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】1
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方、化简绝对值，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算加法即可得．
【详解】解：原式
．
20．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）计算：．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，绝对值，再用有理数乘法运算律计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：
．
21．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）计算：
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的按括号指明的运算顺序进行计算”，据此进行计算即可求解．
【详解】解：
．
22．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算乘方及绝对值，再算除法，最后算加减法即可．
【详解】原式
．
23．（23-24七年级上·陕西延安·期末）计算：．
【答案】0
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘方，再算乘法，后算加减即可．
【详解】原式．
24．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
【详解】解：
．
25．（22-23七年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，按照混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后再算加减，进行计算即可．
【详解】解：
．
绝对值、偶次方非负性应用
1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．无法计算
【答案】A
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了了绝对值和平方的非负性，乘方运算等知识．“两个非负数相加得0，则这两个数都等于0”，据此得到，解得，代入即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得，
所以．
故选：A
2．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知，那么的值为 .
【答案】
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次幂的非负性，根据非负数的性质求得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
流程图与有理数计算
1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）按如图所示的程序分别输入进行计算，请写出输出结果（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】有理数的加减混合运算、程序流程图与有理数计算
【分析】把代入程序中计算得到结果，判断大于2输出即可．
【详解】解：把代入程序中得：，
把0代入程序中得：，
把2代入程序中得：，
则输出结果为4，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入的数为，则计算结果
为 ．
【答案】
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题目所给运算程序进行计算即可．
【详解】根据题意，得
．
故答案为：
3．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）按图中的程序运算：当输入的数据为10时，则输出的数据是 ．
【答案】4
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】把10代入程序中计算，判断结果是否大于0，依次计算，输出结果大于0即可．
【详解】解：把10代入，得，
把代入，得，
输出的数据是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查运算程序，解题的关键是熟知有理数的运算法则．
4．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ．
【答案】//
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据图示的计算过程进行计算，代入x的值一步一步
计算可得出最终结果．
【详解】解：输入，，
此时输入，，
此时输入，，输出，
故答案为：．
5．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ．
【答案】
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】先将代入，根据程序进行计算得出结果为，再把代入计算程序中得到，即可求解．
【详解】解：把代入计算程序中得：，
把代入计算程序中得：，
则最后输出的结果是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据程序列出算式进行计算是解题的关键．
6．（22-23七年级上·陕西西安·期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ．
【答案】4
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】把x=1代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴输出y的值为4．
故答案为：4
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
有理数运算与实际问题
1．（23-24七年级上·陕西安康·期末）某自行车厂计划平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周（7天）的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划平均每天生 产数量的差值（单位：辆）
(1)前三天共生产了多少辆自行车？
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆自行车？
(3)该厂实行每周（生产1400辆自行车）计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆再另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少心？
【答案】(1)599辆
(2)26辆
(3)84675元
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、有理数减法的实际应用
【分析】（1）本题考查有理数的加法运算的应用，根据有理数的加法法则计算即可．
（2）本题考查有理数的减法运算的应用，根据有理数的减法法则计算即可．
（3）本题考查有理数的加减混合运算的应用，根据单价乘以数量，可得工资，根据超产的量乘以超产的奖励单价，可得奖励，根据工资奖励工资总额，即可解题．
【详解】（1）解： （辆）．
答：前三天共生产了599辆自行车．
（2）解：（辆）．
答；产量最多的一天比产量最少的一天多生产了26辆自行车．
（3）解： （辆），
（元）．
答：该厂工人这一周的工资总额是84675元．
2．（22-23七年级上·陕西延安·期末）为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．
(1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度；
(2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演动作过程中，一共消耗了多少升燃油？
【答案】(1)1.5km
(2)25.8升
【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用
【分析】（1）利用有理数的加法计算再判断离地面的高度；
（2）分别求出上升的总高度，下降的总高度，再计算油耗量．
【详解】（1）解：（千米）；
答：飞机完成这四个表演动作后离地面的高度1.5千米；
（2）解：
（升，
答：一共消耗了25.8升燃油．
【点睛】本题考查了有理数的加法，正数负数的意义，解题的关键是掌握有理数的加法，正数负数的意义．
3．（23-24七年级上·陕西安康·期末）“十一”国庆期间，由于双节假期恰逢亚运会，杭州亚运会主题旅游火热，杭州共推出100条亚运会主题旅游线路．下表是本次国庆期间杭州每天的客流情况，以客流量80万人次为标准，请根据表格当中的数据回答下列问题．（比80万人次多的人数记为正，比80万人次少的人数记为负）
日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日
与标准客流量的差值（万人）
(1)10月1日杭州客流量为________万人次；
(2)国庆期间杭州客流量最多的一天比客流量最少的一天多多少万人次？
(3)若来杭州旅游的人们平均每人每天消费300元，那么整个国庆期间来杭州旅游的消费总额是多少万元？
【答案】(1)140
(2)135万人次
(3)232500万元
【知识点】有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确
列出算式求解．
（1）用9月29日的客流量加上9月30日和10月1日的客流量变化，即可求解；
（2）根据表格中的数据即可解答；
（3）先计算国庆期间来杭州旅游的总人数，再乘以每人每天消费金额，即可解答．
【详解】（1）解：（万人），
故答案为：140；
（2）解：9月30日：（万人），
10月1日：（万人），
10月2日：（万人），
10月3日：（万人），
10月4日：（万人），
10月5日：（万人），
10月6日：（万人），
∴国庆期间杭州客流量最多的一天比客流量最少的一天多：
（万人）．
答：国庆期间杭州客流量最多的一天比客流量最少的一天多135万次；
（3）解： （万元），
答：来杭州旅游消费总额为232500万元．
4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）科技改变世界，快递分拣机器人成为物流小帮手.据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应、避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电.某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库11月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
分拣情况/万件 0
(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期_________；最少的一天是星期_________；最多的一天比最少的一天多分拣__________万件包裹.
(2)该仓库本周实际分拣多少万件包裹？
【答案】(1)六；三；14
(2)该仓库本周实际分拣154万件包裹
【知识点】有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题考查的是正负数的实际应用，减法运算的应用，混合运算的实际应用；
（1）由超出最多的与不足最多的可得分拣包裹数量最多的一天，最少的一天，再利用超出最多的数量减去不足的数量可得答案；
（2）由分拣包裹总量除以时间可得平均数．
【详解】（1）∵，
∴该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六；最少的一天是星期三；最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹；
故答案为：四，三，14；
（2）（万件），
即该仓库本周实际分拣154万件包裹．
5．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）佳县是中国红枣名乡，国家林业局授予佳县“中国枣乡”称号，某油枣线上店销售20箱佳县油枣，以每箱10千克为标准，超过10千克的部分记为正数，不足10千克的部分记为负数，称重记录如下：
与标准质量的差（千克） 0
箱数（箱） 2 1 5 2 3 3 4
(1)求这20箱佳县油枣的总质量；
(2)若这批佳县油枣的成本是7元/千克，售价是15元/千克．求销售这20箱佳县油枣能盈利多少元？
【答案】(1)这20箱佳县油枣的总质量为千克；
(2)销售这20箱佳县油枣能盈利元．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用
【分析】本题考查了正数和负数的应用及有理数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）求出记录数据的总和，再加200即得答案；
（2）每千克的利润乘以总质量，即得答案．
【详解】（1）根据题意得：
（千克），
答：这20箱佳县油枣的总质量为千克；
（2）根据题意得
（元），
答：销售这20箱佳县油枣能盈利元．
6．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）洗衣粉厂生产某种规格的洗衣粉，每袋标准质量为450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，超过或不足标准质量的部分分别用“＋”和“－”表示，记录如下：
超过或不足（克） 0
袋数 1 1 1 6 5 2 4
(1)这20袋洗衣粉的平均质量是多少克？
(2)厂家规定每袋质量超过或不足的部分大于5克时为不合格，不能出厂销售．若每袋洗衣粉的定价为5.6元，则抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为多少元？
【答案】(1)这20袋洗衣粉的平均质量是克
(2)抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为元
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，
（1）根据超过或不足的部分分别用正、负数来表示，可得每袋的质量，根据有理数的加法可得总质量，再根据总质量除以袋数可得平均质量；
（2）先求出合格的袋数，再根据销售金额=单价×数量即可得出答案．
【详解】（1）解：
（克）
答：这20袋洗衣粉的平均质量是克；
（2）解：根据题意知，合格的袋数为袋
（元）
答：抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为元．
7．（23-24七年级上·陕西西安·期末）“双减”政策实施后，同学们作业负担大大减少，下面是小明记录的本周写家庭作业的用时情况（以分钟为标准，时间多于分钟的部分用正数表示，时间少于分钟的部分用负数表示）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与标准时间的差（分钟）
(1)小明这一周内写家庭作业用时最少的是星期_____________；
(2)小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多多少分钟
(3)求小明这一周每天写家庭作业的平均时间．
【答案】(1)五
(2)小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多分钟
(3)小明这一周每天写家庭作业的平均时间为分钟
【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】（1）由，判断作答即可；
（2）根据，计算求解即可；
（3）根据计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：正数越大，所用时间越多，负数越小，所用时间越小，
∵，
∴用时最少的是周五．
故答案为：五；
（2）解：由题意知，（分钟），
∴小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多分钟；
（3）解：由题意知，（分钟），
∴小明这一周每天写家庭作业的平均时间为分钟．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，正负数的实际应用，有理数的减法运算的应用，有理数混合运算的应用．熟练掌握有理数的大小比较，正负数的实际应用，有理数的减法运算的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键．
8．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）面（汉语拼音：Biáng biáng miàn，Biáng字是一个合字“”，常被代替写为BiángBiáng面、奋奤面或面）是陕西关中地区的汉族传统风味面食，因为制作过程中有biang、biang的声音而得名．某面店计划每天卖出200碗面，每天的实际销售量与计划相比有出入，如表是某星期的销售情况（超出计划销售量的部分记为正，不足计划销售量的部分记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
实际销售量与计划量的差值/碗
(1)求该面店前五天面的实际销售总量；
(2)该面店本星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量？请说明理由；
(3)若每碗面的售价为14元，成本为4元，求该面店本星期的利润．
【答案】(1)答：前五天共卖出碗奋奤面；
(2)达到了，理由见解析
(3)该面店本星期的利润14010元．
【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查正数和负数的应用、有理数的混合运算等知识点，掌握正数和负数的意义以及有理数混合运算法则是解题的关键．
（1）计算前5天的销售量，可先求出前五天实际超出标准数量的和再加上计划卖出的量即可；
（2）先求出本星期实际超出标准数量，然后根据超出量的正负进行判断即可；
（3）先求出本星期销售面的数量，然后求出利润即可．
【详解】（1）解：前5天超出标准数量的数据和为：，
所以前五天的实际销售总量为：碗．
答：前五天共卖出碗奋奤面．
（2）解：达到了，理由如下：
本周超出标准数量的数据和为：，
所以本星期的实际销售总量达到了计划销售总量．
（3）解：本星期的实际销售总量为：，
该面店本星期的利润为：（元），
答：该面店本星期的利润14010元．
9．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）某校七年级六个班组织举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5千克为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，一班到五班收集的废纸质量分别是，，，0，（单位：千克），六个班共收集了33千克的废纸．
(1)求六班收集的废纸的质量；
(2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量．
【答案】(1)千克
(2)千克
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查的是正负数的含义，有理数的加减混合运算的实际应用，理解题意是解本题的关键；
（1）根据题意求出一班到五班收集的废纸质量，即可得六班收集废纸的质量；
（2）由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准，可得本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，即可得获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量．
【详解】（1）解：∵一班到五班收集的废纸质量和为：
，
∴（千克）；
（2），，，，
∴获得荣誉称号的班级为：一班，二班，六班，
获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：（千克）；
10．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）在橙子上市的季节，某商家以每箱60元的进价购入200箱橙子，然后分批全部卖出，售价以每箱85元为标准，超出85元的部分记作“”，低于85元的部分记作“”，记录如下表所示：
超出标准的部分（元） 0
卖出数量（箱） 50 20 40 30 30 30
(1)求每箱橙子的平均售价；
(2)该商家卖完所有橙子所获总利润为多少？
【答案】(1)每箱橙子的平均售价为90元
(2)该商家卖完所有橙子所获总利润为6000元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意，列出算式准确计算．
（1）根据表格中的数据列出算式进行计算即可；
（2）用总收入减去总进价即可得出总利润．
【详解】（1）解：
（元），
答：每箱橙子的平均售价为90元．
（2）解：（元），
答：该商家卖完所有橙子所获总利润为6000元．
11．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）女娲茶外形匀齐，色泽翠绿，汤色清亮，香气高长，滋味醇厚，耐冲泡，叶底匀整嫩绿明亮，内含物丰富，富含硒、锌元素，某茶商包装20盒女娲茶，以每盒200克为标准，超过200克的部分记为正数，不足200克的部分记为负数，称重记录如下：
与标准质量的差（克） 0
盒数（盒） 2 1 5 2 4 2 4
(1)求这20盒女娲茶的总质量；
(2)若这批女娲茶的进价是1.5元/克，售价是2.5元/克．求出售完这20盒女娲茶能盈利多少元？
【答案】(1)这20盒女娲茶的总质量为克
(2)出售完这20盒女娲茶能盈利元
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，正确列出算式，是解题的关键．
（1）根据题意及正负数的意义，正确列出算式，再根据有理数的混合运算法则计算即可；
（2）用总售价减去总进价即可列出算式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：（克）；
答：这20盒女娲茶的总质量为克；
（2）（元）；
答：出售完这20盒女娲茶能盈利元．
12．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况：（实际每天的销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，单位：箱）
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值（单位：箱）
(1)本周销售最多的一天比最少的一天多卖出多少箱？
(2)请通过计算说明本周实际销售总量是否达到了计划销售总量？
(3)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元？
【答案】(1)本周销售最多的一天比最少的一天多卖出箱；
(2)本周实际销售总量达到了计划销售总量；
(3)该果农本周共收入元．
【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数四则运算应用，解题的关键是理解题意，正确列出式子进行计算．
（1）根据正负数的意义，确定最多和最少的一天，从而求解；
（2）求得本周实际销售总量与计划销售总量，进行比较即可；
（3）求得销售总量，根据售价以及运费，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，销售最多的一天为周六，（箱）；
销售最少的一天为周五，为（箱），
（箱）
答：本周销售最多的一天比最少的一天多卖出箱；
（2）（箱）
即本周实际销售量为箱，
计划销售量为箱，
∵
∴本周实际销售总量达到了计划销售总量；
（3）由（2）可得本周销售量为箱，
（元）
答：该果农本周共收入元．
13．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）流感是冬季最常见的传染病之一．它由流感病毒引起，通过空气飞沫传播，做好个人防护的最佳措施就是出门佩戴口罩，使得医用口罩销量大增加．某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产10000个，但由于各种原因实际每天生产量与计划相比有出入，下表是十二月份某一周的生产情况（超产的部分为正，减产的部分为负，单位：个）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)该口罩加工厂产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？
(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？
【答案】(1)500个
(2)14100元
【知识点】有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】（1）观察表格发现星期三的产量最多，星期二的产量最低，求出它们的差即可．
（2）根据工资总额=总产量单价进行计算即可．
本题考查了有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是根据题意列出算式．
【详解】（1）该口罩加工厂产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）．
（2）（元）．
答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是14100元．
利用数轴判断式子的符号
1．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算
【分析】直接利用数轴的性质得出，且，，进而得出答案．
【详解】由数轴可得：，且，，
A：，故此选项正确；
B：，故此选项错误；
C：，故此选项错误；
D：，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，正确得出各式的符号是解题的关键．
2．（21-22七年级上·陕西宝鸡·期末）已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】化简绝对值、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】由数轴可知b<-1<1
【详解】解：由数轴可知，b<-1<1
∴
=a+b-b-1
=a-1，
故选：A．
【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，判断式子的正负，化简绝对值，正确理解数轴上数的大小关系是解题的关键．
3．（21-22七年级上·陕西西安·期末）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 ．
【答案】/
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值
【分析】由数轴可知，进而可得出再根据绝对值的性质化简即可得出结果．
【详解】解：由数轴可知，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了整式的加减，数轴，绝对值，能根据数轴以及有理数的加法和减法法则判断绝对值里面的正负是解此题的关键．
4．（21-22七年级上·陕西安康·期末）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算
【分析】先根据数轴上的位置判断a，b的大小，及绝对值的大小，再根据有理数的加减（乘）法法则判断即可．
【详解】根据数轴可知，且，
所以，，，．
正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了有理数的计算，根据数轴判断两个数的大小，及绝对值的大小是解题的关键．
绝对值的几何意义
1．（22-23七年级上·陕西延安·期末）已知数轴上有A，B，C三点，其中A点表示的数为，B点表示的数为4，C点表示的数是7，数轴上有另一动点D，当的值最小时，的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义
【分析】设点D表示的数为x，则，利用绝对值的几何意义求出当时，有最小值，进而得到当点D表示的数为4时，的最小值为．
【详解】解：设点D表示的数为x，
∴，，
∴，
如图1所示，当点D在点A左侧时，；
如图2所示，当点D在点A和点B之间时，；
如图3所示，当点D在点B右侧时，，
∴由绝对值的几何意义可知，当时，有最小值，
∵C点表示的数是7，
∴当点D表示的数为4时，的最小值为，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，正确根据绝对值的几何意义推出当时，有最小值是解题的关键．
2．（22-23七年级上·陕西西安·期末）若有理数，满足，则的最大值为 .
【答案】11
【知识点】绝对值的意义、数轴上两点之间的距离
【分析】根据绝对值的几何意义进行综合分析即可得到答案．
【详解】解：表示数轴上表示x的点与表示和3的点的距离和，
表示数轴上表示y的点与表示和4的点的距离和，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大值为11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．
3．（22-23七年级上·陕西西安·期末）实数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】化简绝对值
【分析】利用绝对值的定义：“绝对值代表与原点的距离”可知答案．
【详解】解：∵，
∴，
表示a到，2的距离与b到的距离之和为8，
∵时，
时，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．
4．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期末）同学们，我们都知道：表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)（ ）；（ ）；
(2)写出使得成立的所有整数 ；
(3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，，，；
(3)．
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义
【分析】（1）直接根据绝对值的意义求解即可；
（2）根据绝对值的意义，表示：数轴上表示的数到与两点的距离之和为，因为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，所以在与之间可求解；
（3）根据绝对值的意义可知，表示的数到与两点的距离之和为与之间的距离为，可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，表示：
与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
因为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，
同理
故答案为：，；
（2）结合题意可知，表示：
数轴上表示的数到与两点的距离之和为，
因为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，
所以在与之间，
即
故答案为：，，，
（3）结合题意，表示：
数轴上表示的数到与两点的距离之和，因为的点位于与之间，
所以表示的数到与两点的距离之和为与之间的距离为，
即：．
【点睛】本题考查了绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
数轴综合探究题
1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）基础回顾：数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是_______；表示有理数和5两点之间的距离是_______．
（2）新定义：一般的，在数轴上有一个点A，另一个点B到这个点的距离叫做栋梁距离，则点B叫做点A在该栋梁距离时的求知点，点B对应的数叫做求知数．例如．数轴上表示2的点，在栋梁距离为3时对应的求知数为和5，在栋梁距离为1时对应的求知数为1和3，在栋梁距离为0时对应的求知数是2．
请根据定义回答下列问题：
①数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是_______．
②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是_______；
学以致用：
③在数轴上，点A是点C在栋梁距离为m时的求知点，有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由．
④若将③中的语句改成：在数轴上，点A与点C的距离为m，点B与有理数m对应的点的距离为6，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由．请问，③的结论___________（填一定成立或不一定成立或一定不成立）
【答案】（1）4；8；（2）①2或4；②；③是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6；④是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6
【知识点】绝对值的意义、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了新定义，数轴上两点间的距离：
（1）根据数轴上两点间的距离，即可求解；
（2）①根据新定义，即可求解；②根据新定义，即可求解；③设点C表示的数为x，则点A表示的数为或，设点B表示的数为y，根据新定义，可得或，从而得到点A表示的数为或或或，然后根据对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，可得点A表示的数的4种情况中，有2个相同，然后分类讨论，即可求解；④设点C表示的数为a，则点A表示的数为或，设点B表示的数为b，根据数轴上两点间的距离，可得点B与有理数m对应的点的距离为6，从而得到或，
进而得到点A表示的数为或或或，再由对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，可得点A表示的数的4种情况中，有2个相同，然后分类讨论，即可求解．
【详解】解：（1）数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是；
表示有理数和5两点之间的距离是；
故答案为：4；8
（2）①∵到数轴上表示有理数3的点的距离为1的点表示的数为2或4，
∴数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是2或4；
故答案为：2或4
②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是；
故答案为：
③设点C表示的数为x，则点A表示的数为或，
设点B表示的数为y，
∵有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点，
∴或，
即或，
∴或，
或，
即点A表示的数为或或或，
∵对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，
∴点A表示的数的4种情况中，有2个相同，
∵与不相等，与不相等，
当时，；
当时，，此时不符合题意，舍去；
当时，，此时不符合题意，舍去；
当时，，此时，不符合题意，舍去；
综上所述，是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6；
④设点C表示的数为a，则点A表示的数为或，
设点B表示的数为b，
∵点B与有理数m对应的点的距离为6，
∴或，
即或，
∴或，
或，
即点A表示的数为或或或，
∵对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，
∴点A表示的数的4种情况中，有2个相同，
∵与不相等，与不相等，
当时，；
当时，，此时不符合题意，舍去；
当时，，此时不符合题意，舍去；
当时，，此时，不符合题意，舍去；
综上所述，是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6．
2．（21-22七年级上·陕西铜川·期末）如图，已知数轴上两点、表示的数分别为、12，用表示点和点之间的距离．
(1)______；
(2)若在数轴上存在一点，使，求点表示的数；
(3)在（2）的条件下，点位于，两点之间.点以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动；4秒后点以每秒2个单位长度的速度也沿着数轴的正方向运动，到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点到达点，两个点同时停止运动，设点运动的时间为，则当为何值时，？
【答案】(1)16
(2)点C表示的数为20或8
(3)或；
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题
【分析】（1）根据数轴的性质即可得；
（2）设点C表示的数为x，根据建立方程，解方程即可得；
（3）点位于，两点之间，分两种情况来讨论：点C到达点B之前，即时，点C到达点B之后，即时，列方程并．解方程，然后结合问题的实际意义加以取舍．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：设点C表示的数为x，
由题意知，，
即，
解得：或8，
∴点C表示的数为20或8；
（3）解：∵点位于，两点之间，
∴点C表示的数为8，点A运动t秒后表示的数为，
点C到达点B之前，即时，点C表示的数为，
∴，
由题意知，
解得：
点C到达点B之后，即时，点C表示的数为
∴，
由题意知，
解得：或 ，
∵时点C未到达点B，不符合题意舍去，
∴t的值为或；
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（20-21七年级上·陕西榆林·期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm；
(2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ；
(3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
【答案】(1)8
(2)14，22
(3)37岁
【知识点】数轴上的动点问题
【分析】（1）根据图象可知3倍的长为（cm），这样长就可以求出来了．
（2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值．
（3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄．
【详解】（1）观察数轴可知三根木棒长为（cm），则这根木棒的长为（cm）；
故答案为8．
（2），
．
所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14，22．
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为：（岁），
所以奶奶现在的年龄为（岁）．
【点睛】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄．
填幻方
1．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，是由3×3的方格构成的幻方，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，称为“幻方”．则的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数加法运算
【分析】先求出对角线上三个数的和为3，进而计算出、的值，代入计算即可．
【详解】∵每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，
∴， ，
∴，，
∴
故选：B
【点睛】本题考查有理数加法的计算方法，掌握计算法则是正确计算的前提．
2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为 ．
0
3
1
【答案】9
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题主要考查了有理数减法计算、加减混合运算法则等知识点，求出的值是解题的关键．
先根据题意列方程组，求得的值，然后代入式子计算即可．
【详解】解：由题意解答：，即；
∴，即：，解得：；
，即，解得：；
，解得：；
，即，解得：；
所以．
故答案为9．
3．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是 ．
【答案】-3
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】先计算和：-7+1+9=3；再计算-5+9+□=3，-5+1+□=3，最后根据☆+□+□=3计算即可．
【详解】解：根据题意，得这个和为：-7+1+9=3；
∴-5+9+□=3，-5+1+□=3，
∴-5+9+□-5+1+□=6，
∴-5+9+□-5+1+□=6，
∴□+□=6，
∵☆+□+□=3，
∴☆=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，正确理解题意，列式计算是解题的关键．
4．（21-22七年级上·陕西汉中·期末）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都等于15．请将下图的幻方补充完整．
4
3
6
【答案】见解析
【知识点】有理数的减法运算
【分析】根据每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都等于15列式求解即可．
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都等于15
∴第一列第三个数为：，
第二列第三个数为：，
第二列第二个数为：，
第二列第一个数为：，
第三列第一个数为：，
第三列第二个数为：，
∴填表如下：
4 9 2
3 5 7
8 1 6
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，正确理解题意，列式计算是解题的关键．
新定义与有理数
1．（21-22七年级上·陕西安康·期末）现规定一种新运算“*”：．则的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-3 D．3
【答案】A
【知识点】化简绝对值、有理数的减法运算
【分析】根据新定义把转化为常规绝对值计算，再按有理数的绝对值规则计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查新定义运算法则，掌握新定义运算法则的实质，把新定义下的运算转化为常规运算是解题关键．
2．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）现定义一种新运算“*”，规定，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】根据题目所给的定义代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，正确理解新定义是解题的关键．
3．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）定义一种新的运算：，则的值为（ ）
A．-5 B．-7 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】根据题目的定义即可求解．
【详解】解：由题意得：
故选：A
【点睛】本题考查新定义运算．根据题意掌握运算规则即可．
4．（22-23七年级上·陕西商洛·期末）现对整数，定义一种新的运算，运算符号记为☆，其运算法则如下：，则 ．
【答案】
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】根据定义的新运算直接代入计算即可．
【详解】由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确计算是解题的关键．
5．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值．
【答案】
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查定义新运算．根据新运算的法则，列出算式，进行计算，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：
，
∴．
6．（21-22七年级上·陕西安康·期末）对于有理数a、b规定一种新运算：．求的值．
【答案】
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】根据题目给出的信息列出算式进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题目信息列出算式．
7．（21-22七年级上·陕西西安·期末）现在定义两种运算“”和“”，对于有理数，，有，．求．
【答案】25
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】根据题目给出的信息，列式计算即可．
【详解】解：
=25．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，列出算式．
8．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）规定《a》的值指分数a的分子、分母中数值较大的一个数，如，又如：．请你按这样的规定求出下面各题对应的结果．
(1)？；
(2)，括号内最大填？
【答案】(1)
(2)括号内最大填80
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】根据规定《a》表示分数a的分子、分母中数值小的一个数，解答即可．
【详解】（1）∵，
∴
（2）∵，
∴括号内最大填80
【点睛】此题考查了新定义题型解决有理数运算方面的能力，关键是能对有理数进行准确计算后，按照新定义进行结果做出正确处理．
9．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题：
(1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______；
(2)计算______；
(3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算
【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键；
（1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可；
（2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可；
（3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值；
（2）；
（3）当同号时，，，
∴，
当异号时，，
∴，
当有1个为0，或两个都为0也满足，
∴新运算“”具有交换律；
如，．
10．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”； 若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”．
(1)若点A表示的数为，则A的幸福点 F所表示的数应该是 ；
(2)如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点 F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和是多少？
【答案】(1)和1
(2)7
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数、绝对值的意义
【分析】本题考查了数轴上两有理数的距离，有理数的加法，绝对值的意义，分类讨论是解答本题的关键．
（1）根据“幸福点”定义可得A的幸福点F所表示的数即可；
（2）根据题意列出绝对值方程，分类讨论符合条件的m值，最后相加即可．
【详解】（1）解：根据幸福点的定义可知：A的幸福点F所表示的数应该是：和1；
故答案为：和1．
（2）设点F表示的数为m，由题意得：，
，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴当时，，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中整数有：，，0，1，2，3，4．
∴满足条件的整数m之和为：．
