第2章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．2024年6月5日是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四张图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
（第2题）
A．外角和减少 B．外角和增加
C．内角和减少 D．内角和增加
3．如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接.已知，则的长为（ ）
（第3题）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（ ）
（第4题）
A． B．6 C．8 D．10
5．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的丝带（丝带的对边平行），如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
（第5题）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
6．如图，小明从点出发，沿直线前进10米后向左转 ,再沿直线前进10米后向左转 照这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走的路程是（ ）
（第6题）
A．180米 B．110米 C．120米 D．100米
7．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，，固定，逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（ ）
（第7题）
A．甲说的对 B．乙说的对
C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
8．如图，在菱形中， ，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边三角形，连接，则的度数是（ ）
（第8题）
A． B． C． D．无法计算
9．[2024兴化二模]如图，已知为半圆的直径，，点是半圆内任意一点，以为边在半圆下方作矩形，连接，，，，记，，的面积分别为，，，若要求的值，需要添加的条件是（ ）
（第9题）
A．的长度 B．点到的距离
C．点到的距离 D．点到的距离
10．如图，的面积为12，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形的边上的动点，则的最小值是（ ）
（第10题）
A．1 B． C． D．3
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若正边形的一个外角为 ，则______.
12．已知在菱形中，对角线,,则菱形的面积为__________.
13．如图，在中，点为对角线的中点，作交于点.若的周长为20，则的周长为__________.
（第13题）
14．如图,两个完全相同的直角三角板和在直线上滑动.要使四边形为菱形,还需添加的一个条件是____________________________（写出一个即可）.
（第14题）
15．如图，在中，对角线，交于点，，于点，若，，则的长为________.
（第15题）
16．[2024重庆沙坪坝区一模]如图，在矩形中，，，矩形外一点满足，点为对角线的中点，则的长度为________.
（第16题）
17．边长为1的正方形绕点逆时针旋转 得到正方形，两正方形重叠部分是一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个“蝶形风筝”的周长是____________.
（第17题）
18．如图，在矩形中，为的中点，过点，且分别交于,交于,点是的中点，且 .某班学习委员得到四个结论：
（第18题）
;;是等边三角形;.
学习委员得到的结论中正确的是____（填写所有正确结论的序号）.
三、解答题（第19题8分，第20-21题，每题10分，第22-23题，每题12分，第24题14分，共66分）
19．（8分）如图，在中，点，是对角线上的两点，请添加一个条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程.
20．（10分）如图，是位于公路边的电线杆，高为，为了使拉线不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为的水泥撑杆，用于撑起拉线．已知电线杆与撑杆之间的距离为，拉线与水平线的夹角为 ．求拉线的总长，，三点在同一直线上，电线杆、水泥撑杆的大小忽略不计．
21．[2024昆明三中模拟]（10分）如图，在等腰三角形中，，点是的中点，交于点，交于点，且,.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 求四边形的面积.
22．（12分）如图，在正方形中，动点在上，连接，，，垂足为,，连接.
（1） 与有怎样的数量关系？请证明你的结论.
（2） 在其他条件都保持不变的情况下，当点运动到的中点时，四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论.
23．（12分）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形.如图，已知四边形，点，是对角线，的中点，为的中点，连接，，，为等边三角形.
（1） 求证：四边形是“等对边四边形”；
（2） 若 ，求的度数.
24．（14分）已知是菱形的对角线， ，点是直线上的一个动点，连接，以为边作菱形，并且使 ，连接.当点在线段上时，如图①，易证.
（1） 当点在线段的延长线上时（如图②），猜想，，之间的关系并证明；
（2） 当点在线段的延长线上时（如图③），直接写出，，之间的关系.
【参考答案】
第2章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．D
2．D
3．A
4．C
5．C
6．D
7．C
8．C
【点拨】 四边形是菱形，
，.
， .
是等边三角形. .
由题意可知是等边三角形，
， .
.
.
在和中，
.
.
9．C
【点拨】过点作，，分别交的延长线于点，交的延长线于点，作，分别交，于点， 四边形是矩形，
，，，.
, 易得，.
，，，
.
，
.
若要求的值，需要添加的条件是点到的距离，故选C.
10．A
【点拨】先判定四边形为菱形，当垂直于菱形的一边时，的长最小，不妨设点在上，过D点作于点，此时，利用平行四边形的面积求出的长，再利用三角形的中位线定理可求的长，即可求解.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．5
12．
13．
14．（答案不唯一）
15．
16．
17．
【点拨】
设与交于点，连接，如图.
四边形为正方形，且边长为1，
， .
由旋转的性质得 ，， ， ，.
在和中，
.
， .
在中， ，.
由勾股定理得，
即，.
“蝶形风筝”的周长.
18．①③④
【点拨】,点是的中点，
.
, ,
.
是等边三角形，故③正确.
设,则,
由勾股定理得，.
为的中点，.
.
在中，由勾股定理得，.
四边形是矩形，.
,故①正确.
,,
,故②错误.
,
,
,故④正确.
综上所述，正确的结论是①③④.
三、解答题（第19题8分，第20-21题，每题10分，第22-23题，每题12分，第24题14分，共66分）
19．【解】添加条件（答案不唯一），能使四边形是平行四边形，证明如下：
连接交于点，如图所示.
四边形为平行四边形，
，.
，
.
.
又， 四边形是平行四边形.
20．【解】如图，过点作于点， .
,，
四边形是矩形.
,.
,,，
,.
.
， .，解得，故拉线的总长为.
21．（1） 【证明】，，
四边形是平行四边形.
是等腰三角形，点是的中点，
平分.
，.
.
四边形是菱形.
（2） 【解】是等腰三角形，点是的中点，
.
，
， .
由（1）可知，四边形是菱形，.
.
.
22．（1） 【解】.证明如下：
四边形是正方形，
, .
, ，
.
又,,
.
（2） 四边形是正方形.证明如下：
四边形是正方形，是的中点，
易得.
在和中，
.
.
四边形是菱形.
又， 四边形是正方形.
23．（1） 【证明】为等边三角形，.
点，是对角线，的中点，为的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，
四边形是“等对边四边形”.
（2） 【解】如图，过点作交的延长线于点，过点作于点.
， ，
.
又 ，，
，.
，
，.
是的中位线，是的中位线，
，，
，.
， .
是等边三角形， .
，
，
，
.
24．（1） 【解】.证明如下：
四边形是菱形，.
又 ，是等边三角形..
，.
，
即.
又 四边形是菱形，.
在和中，
.
，.
（2） .
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