第2章 对称图形——圆
一、单选题
1．点为半径为的上一点，若，则点与的位置关系为（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．都有可能
2．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（ ）
A． B． C．2 D．1
3．如图，是半径为4的上的三点．如果，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，连接，若半圆O的半径为5，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
6．如图，AB是⊙O弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝26°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．26° C．38° D．64°
7．如图，两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD等于弧CB，，则∠CEB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=125°，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
9．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（ ）
A．120° B．144° C．150° D．160°
10．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．正六边形的半径为R，则该正六边形的面积为 ．
12．下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是 填序号．
13．一个圆锥的底面半径5，母线长为10，这个圆锥的侧面积为 ．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，，，则的度数为 ．
15．如图，在中，，，以为直径的交BC于点D，若，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ．
17．如图，在圆中有折线，，，，则弦的长为 ．
18．如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是 ．
三、解答题
19．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长．
20．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，过点D作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为5，，求的长．
21．如图，单行隧道的截面是由拱形和矩形组成，矩形ABCD的长为，宽为，圆拱形的拱高h=1m，
（1）求 所在 的半径R；
（2）现有一辆大型卡车（截面视为矩形），卡车的宽为，车高，问这辆大型卡车从单行隧道正中间MN能否通过？通过计算说明理由．
22．已知：为的直径，，弦，直线与相交于点，弦在上运动且保持长度不变，的切线交于点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，当点运动至与点重合时，试判断与是否相等，并说明理由．
23．如图，是上四点，．
(1)如图1，，是直径，交于点．若，先用含字母的式子直接表示和的长，再比较与之间的大小；
(2)如图2，过点作，垂足为．若，，求的长．
24．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】
（1）如图1，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点E在弧AB上，连结AE、BE、DE．若在DE上截取一点F，使得DF＝BE：连结AF，发现△ADF与△ABE全等，请说明理由．
【变式探究】
（2）如图2，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，若点E在弧AD上，过点A作AG⊥BE，探究线段BE、DE、AG之间是否满足BE﹣DE＝2AG的关系，请说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝2，若一点P满足PD＝2，并且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D B C D B A B
11．
12．①
13．
14．
15．
16．或或
17．10
18．
19．解：如图所示，连接，
∵是的直径，弦于点E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，根据勾股定理得，
，
，
，
，
∴．
20．（1）证明：如图，连接
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴是的切线
（2）解：如图，连接
∵是的直径
∴
∵，
∴
由勾股定理，得
∴
∴
21．解：（1）如图，设所在圆的圆心为O1，连接O1A，O1E与AD交于点F，
由题意得：AD=4m，EF=1m，AD⊥O1E，
∴AF=2m，
在Rt△AO1F中，由勾股定理得：AF2+O1F2= O1A2，
∴22+(R-1)2=R2，
解得：，
即所在圆的半径R为m；
（2）这辆大型卡车能从单行隧道正中间通过，
理由：如图，单行隧道正中间为MN，过M、N作x轴的垂线交于G、H，连接GH，则四边形MNHG是矩形，GH与O1E交于点K，
∵卡车的宽为，
假设MN=GH=3m，则GK=m，
∴m，
∵O1F=R-1=m，AB=2m，
∴OK=O1K+OF－O1F=2+2-=2.5m，
∵2.5m＞2.4m，
∴这辆大型卡车能从单行隧道正中间MN通过.
22．（1）证明：如图1，连接、，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
和是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
是的切线，
，
，
，
，
；
（2）相等；
如图2，点运动至与点重合时，是的切线，
的切线交于点，
，
，
是直径，
，
，
，
．
23．（1）解：∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴在中，；
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴在中，；
∵，，
∴；
（2）在上截取，连接，如下图，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
24．解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD，
∠ABE与∠ADE都对应弧AE，
∴∠ABE＝∠ADE，
在△ADF和△ABE中，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）满足BE﹣DE＝2AG，理由如下：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF，
由（1）△ADE≌△ABF，
∴BF＝DE，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAF＝90°，
∴∠DAE＋∠DAF＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF是等腰直角三角形三角形，
∵AG⊥BE，
∴FG＝GE＝AG，
∴EF＝2AG，
∵EF＝BE BF＝BE DE，
∴BE DE＝2AG；
（3）解：点A到BP的距离是或，
∵PD＝2，
∴点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴点P是这两圆的交点，
当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°，
∴BD＝4．
∵DP＝2，
∴BP＝，
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，
∴△PAE是等腰直角三角形，
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH＋PD，
＝2AH＋2，
∴AH＝；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②，
同理可得：BP＝2AH PD，
＝2AH 2，
∴AH＝，
综上所述：点A到BP的距离为或．
