广东省2024年九年级（上）第二次月考模拟检测卷
数学卷02
时间120分钟 总分：120分 范围：九上全部
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月
2．下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．四叶玫瑰线 B．阿基米德螺线
C．心形线 D．笛卡尔叶形线
3．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．已知抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
5．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（ ）
A．55° B．45° C．40° D．35°
6．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x（2﹣3x）＝5 B．x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣8＝0 D．（x﹣2）（3+x）＝0
7．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
8．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣
9．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+20t（a为常数，a≠0）．有下列结论：
①a值为﹣5；
②小球的飞行高度最高可达到21m；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④x1+x2＝2；x1 x2＜0．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若点A（1﹣3m，2）与点B（5，2n+4）关于原点对称，则m﹣n＝ ．
12．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
13．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 ．
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 ﹣1 0.37 …
则方程ax2+bx+1.37＝0的解为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
17．（7分）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ．
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1（点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A2、B2、C2分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
19．（9分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（1，0），B（0，﹣3）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长．
21．（9分）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种玩偶每天获利w（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（13分）如图，ABCD是正方形，BC是⊙O的直径，点E是⊙O上的一动点（点E不与点B，C重合），连接DE，BE，CE．
（1）若∠EBC＝60°，求∠ECB的度数；
（2）若DE为⊙O的切线，连接DO，DO交CE于点F，求证：DF＝CE；
（3）若AB＝2，过点A作DE的垂线交射线CE于点M，求AM的最小值．
23．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
广东省2024年九年级（上）第二次月考模拟检测卷
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、旭日东升，是必然事件，符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
C、大海捞针，是随机事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
2．下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．四叶玫瑰线 B．阿基米德螺线
C．心形线 D．笛卡尔叶形线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意；
B．该图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故D不符合题意．
故选：A．
3．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP＜5．
故选：D．
4．已知抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：∵y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2，
∴将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7，
故选：A．
5．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（ ）
A．55° B．45° C．40° D．35°
【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠AOC＝80°，而∠AOB＝45°，然后根据图形即可求出∠BOC．
【解答】解：∵△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，
∴∠AOC＝80°，
而∠AOB＝45°，
∴∠BOC＝80°﹣45°＝35°．
故选：D．
6．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x（2﹣3x）＝5 B．x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣8＝0 D．（x﹣2）（3+x）＝0
【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．
【解答】解：A．整理得：3x2﹣2x+5＝0，
由根的判别式可得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×5＝4﹣60＝﹣56＜0，
∴方程没有实数根，
故选项A符合题意；
B．由根的判别式可得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选项B不符合题意；
C．由根的判别式可得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣8）＝1+32＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项C不符合题意；
D．整理得：x2+x﹣6＝0，
由根的判别式可得：Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣6）＝1+24＝25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项D不符合题意；
故选：A．
7．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据垂径定理得到CH＝BH，＝，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴CH＝BH，＝，
∴∠AOB＝2∠CDA＝60°，
∴BH＝OB sin∠AOB＝，
∴BC＝2BH＝2，
故选：D．
8．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
则+＝＝＝﹣．
故选：D．
9．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+20t（a为常数，a≠0）．有下列结论：
①a值为﹣5；
②小球的飞行高度最高可达到21m；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】依据题意，小球在4s时落地，从而可得h＝a×42+20×4＝0，即可求出a，进而可以判断①；依据题意，h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，故当t＝2时，h取得最大值为20，故可判断②；又令h＝﹣5（t﹣2）2+20＝15，从而求出t后即可判断③．
【解答】解：由题意，小球在4s时落地，
∴h＝a×42+20×4＝0．
∴a＝﹣5，故①正确．
∴h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20．
∴当t＝2时，h取得最大值为20，故②错误．
又令h＝﹣5（t﹣2）2+20＝15，
∴t＝1或3．
∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m，故③正确．
综上，①③正确共2个．
故选：C．
10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④x1+x2＝2；x1 x2＜0．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
【分析】依据题意，由二次函数的图象和性质，对称轴、与x轴、y轴的交点坐标，以及二次函数与一元二次方程的关系，逐个进行判断，得出答案．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确．
∵点A到直线x＝1的距离大于1，
∴点B到直线x＝1的距离大于1，
即点B在（2，0）的右侧，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴a+b+c＞0，故②错误．
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，故③正确．
由A（x1，0），B（x2，0），
∴x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有x1+x2＝﹣＝2，x1 x2＝＜0，故④正确．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若点A（1﹣3m，2）与点B（5，2n+4）关于原点对称，则m﹣n＝ 5 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求解即可．
【解答】解：∵点A（1﹣3m，2）与点B（5，2n+4）关于原点对称，
∴1﹣3m+5＝0，2n+4+2＝0，
解得m＝2，n＝﹣3，
∴m﹣n＝2+3＝5．
故答案为：5．
12．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，小明和张华两人恰好选中同一根绳子的结果有3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小明和张华两人恰好选中同一根绳子的结果有3个，
∴小明和张华两人恰好选中同一根绳子的概率为＝，
故答案为：．
13．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 x2﹣x﹣132＝0 ．
【分析】设全班有x人．根据互赠卡片一张，则x人共赠卡片x（x﹣1）张，列方程即可．
【解答】解：根据题意得，
x（x﹣1）＝132，即x2﹣x﹣132＝0，
故答案为：x2﹣x﹣132＝0．
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 3 cm．
【分析】设该圆锥底面圆的半径为r cm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
即该圆锥底面圆的半径为3cm．
故答案为：3．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 ﹣1 0.37 …
则方程ax2+bx+1.37＝0的解为 x1＝，x2＝4﹣ ．
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c＝0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（，﹣1），由于方程ax2+bx+1.37＝0变形为ax2+bx+0.37＝﹣1，则方程ax2+bx+1.37＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．
【解答】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c＝0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线经过点（，﹣1），
所以抛物线经过点（4﹣，﹣1），
所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.37，
方程ax2+bx+1.37＝0变形为ax2+bx+0.37＝﹣1，
所以方程ax2+bx+0.37＝﹣1的根理解为函数值为﹣1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．
故答案为：x1＝，x2＝4﹣．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
【分析】把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5可得．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．
17．（7分）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ．
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于9的结果有4个，
∴抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率为＝．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1（点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A2、B2、C2分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【分析】（1）先找到点A，B，C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接，即可求解；
（2）先找到点A，B，C平移后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接，即可求解．
【解答】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；点C2的坐标为（2，1）．
19．（9分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（1，0），B（0，﹣3）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A（1，0），B（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得到方程组，解方程组后即可得到二次函数的解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴，得到点C的坐标，进一步求得△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）把A（1，0），B（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得．
故这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．
（2）∵该抛物线对称轴为直线，
∴点C的坐标为（2，0），
∴AC＝OC﹣OA＝2﹣1＝1，
∴．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABD，而∠ABD＝∠CBD，则∠ODB＝∠CBD，所以OD∥BC，则∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，即可证明CD与⊙O相切；
（2）由AB是⊙O的直径，且AB＝4，得OA＝2，∠ADB＝90°，由∠C＝90°，∠CDB＝60°，求得∠ABD＝∠CBD＝30°，则∠AOD＝2∠ABD＝60°，即可根据弧长公式求得＝．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，
理由：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝4，
∴OA＝AB＝2，∠ADB＝90°，
∵∠C＝90°，∠CDB＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠CDB＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴＝＝，
∴的长为．
21．（9分）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种玩偶每天获利w（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围；
（3）利用销售该玩偶每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）根据题意得：（﹣5x+150）（x﹣8）＝360，
解得：x1＝12，x2＝26（舍去），
答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元；
（3）根据题意得：w＝y（x﹣8）
＝（﹣5x+150）（x﹣8）
＝﹣5x2+190x﹣1200
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
22．（13分）如图，ABCD是正方形，BC是⊙O的直径，点E是⊙O上的一动点（点E不与点B，C重合），连接DE，BE，CE．
（1）若∠EBC＝60°，求∠ECB的度数；
（2）若DE为⊙O的切线，连接DO，DO交CE于点F，求证：DF＝CE；
（3）若AB＝2，过点A作DE的垂线交射线CE于点M，求AM的最小值．
【分析】（1）先根据圆周角定理可得∠BEC＝90°，然后根据直角三角形的性质即可解答；
（2）如图：连接DO，DO交CE于点F，先证明△OCD≌△OED可得∠CDF＝∠EDF，CD＝DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠DFE＝90°，然后再证明△DFE≌△CEB，最后根据全等三角形的性质即可解答；
（3）如图2：连接AC、BD相交于点T，设AM⊥DE于点N，设DE交AC于点Q，先证明∠ABE＝∠BCE，进一步证明∠DBE＝∠ACM，再根据BD⊥AC和DE⊥AM证明∠BDE＝∠CAM，利用全等三角形的判定与性质可得∠CMD＝∠BEC＝90°，最后根据勾股定理求出，再说明AM≥AH﹣MH（当且仅当点M在线段AH上时等号成立），求出AM的最小值即可．
【解答】（1）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝60°，
∴∠ECB＝90°﹣∠EBC＝30°．
（2）证明：如图：连接DO，DO交CE于点F，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠OED＝90°，
由正方形和圆的性质可得：OC＝OE，∠OCD＝90°．
∴∠OED＝∠OCD＝90°，
∵OD＝OD，
∴△OCD≌△OED（HL），
∴∠CDF＝∠EDF，CD＝DE，
∴DF⊥EC，即∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠CEB＝90°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵∠OED＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠OED﹣∠OEC＝∠BEC﹣∠OEC，即∠OEB＝∠DEF，
∴∠OBE＝∠DEF，
∴△DFE≌△CEB（AAS），
∴DF＝CE．
（3）解：如图2，连接AC、BD相交于点T，设AM⊥DE于点N，设DE交AC于点Q，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CT＝BT，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠ACB＝∠ABD＝45°，CD＝BC＝AD＝AB＝2，
∴点T在⊙O上，
∵∠BCD＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，
∴∠ABD﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠BCE，即∠DBE＝∠ACM；
∵BD⊥AC，DE⊥AM，
∴∠BDE+∠DQT＝90°，∠CAM+∠AQN＝90°，
又∵∠AQN＝∠DQT，
∴∠BDE＝∠CAM，
在△BDE和△CAM中，
，
∴△BDE≌△CAM（ASA），
∴BE＝CM，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ABE＝∠BCE，
∴∠DCM＝∠CBE，
在△DCM和△CBE中，
，
∴△DCM≌△CBE（SAS），
∴∠CMD＝∠BEC＝90°；
点M在以CD为直径的圆上，设圆心为H，
如图3：连接MH、AH，
则：，
∵∠ADC＝90°，
∴，
∵AM≥AH﹣MH，
∴当且仅当点M在线段AH上时等号成立，
∴，
∴AM的最小值为．
23．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x﹣4）2+3，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1），设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，将点A坐标代入上式，即可求解；
（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣4）2+3，
将点B坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣5；
（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1），
设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，
将点A坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2，
故直线AB的表达式为：y＝2x﹣5；
（3）设点Q（4，s）、点P（m，﹣m2+4m﹣5），
①当AM是平行四边形的一条边时，
当点Q在A的下方时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P（m，﹣m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），
即：m﹣2＝4，﹣m2+4m﹣5﹣4＝s，
解得：m＝6，s＝﹣3，
即点P的坐标为（6，1）、点Q的坐标为（4，﹣3），
故当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2，
同理可得点P的坐标为（2，1）、点Q的坐标为（4，5），
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣m2+4m﹣5+s，
解得：m＝2，s＝1，
故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；
综上，P、Q的坐标分别为P（6，1）或（2，1），Q（4，5）或（4，﹣3）或（4，1）．
