2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二）
数学
上册第十一~十四章
注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，嘉嘉书上的三角形被污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上全等的三角形，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
5．下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（ ）
A．5 B．8 C．9 D．12
7．如图，在中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A． B．-3 C．0 D．3
9．在和中，，，．已知，则（ ）
A．30° B． C．或 D．30°或150°
10．如图，在长为5m，宽为3m的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为m的小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ）
A．m2 B．m2
C．m2 D．m2
11．如图，在中，，D，E，F分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A．94° B．96° C．104° D．138°
12．如图，点E在等边的边上，，射线于点C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的和最小时，，则的长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______．
第13题图
14．在中，，，，在的延长线上取一点D，使，则C，D两点之间的距离为______．
15．如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是______．
第15题图
16．已知甲、乙都是长方形，它们的边长如图所示（a为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有2个，则a的值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分7分）
（1）计算：．
（2）分解因式：．
18．（本小题满分8分）
先化简，再求值：，其中．
19．（本小题满分8分）
已知如图所示：
（1）尺规作图：作的角平分线AD（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若，，的面积为16，点E在边上，且，连接，求的面积．
20．（本小题满分8分）
将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）若，，求的值．
（2）若，求x的值．
21．（本小题满分9分）
我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决以下问题．
图1是一个长为4b，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形．
（1）观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系：______．
（2）如图3，正方形的边长为a，正方形的边长b，点E，G分别在，边上．若，，求图中阴影部分的面积．
22．（本小题满分9分）
【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）．
例如：．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：______．
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值
是______．
【拓展应用】
（3）分解因式：．
23．（本小题满分11分）
如图，在中，，E是的中点，交AC于点D，点F在上，，交于点G，若，．
（1）求的长．
（2）求的长．
（3）求证：为等边三角形．
24．（本小题满分12分）
中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
（1）如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线AD的取值范围是______．
（2）如图2，在中，，D为边的中点，求证：．
（3）如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P．
①判断和的数量关系，并说明理由；
②若，，，则的长为______．
2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二）
数学参考答案
1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．B 8．A 9．C 10．A 11．B
12．D 提示：如图，作点E关于直线的对称点G，过点G作，垂足为P，交于点F，交于点H，此时的值最小．
∵，∴，∴，
∴为等边三角形，．
∵，∴，∴，∴．
∵，∴为等边三角形，∴．
∵和都是等边三角形，∴，，∴．
在中，，∴．
∵PF=7，∴FH=4，∴AC=AH+CH=4+6=10．故选D．
13． 14．6 15．100° 16．1012
17．（1）解：原式
．3分
（2）解：原式
．4分
18．解：原式…3分
．…5分
当时，
原式．…8分
19．解：（1）如图1，即所求，…3分
（2）如图2，过点D作，垂足为P，作，垂足为Q．
∵是的角平分线，
∴．…5分
∵，，
∴，
∴．
答：的面积为4．…8分
20．解：（1）∵，，
∴．…4分
（2）∵，…5分
∴，
解得．…8分
21．解：（1）．3分
（2）
．…9分
22．解：（1）．…2分
（2）-2或2或4或8．…6分
（3）
．……9分
23．解：（1）∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴．…3分
（2）如图，连接．
∵，，∴．
∵，，
∴，∴．…5分
∵E是的中点，，∴．
∵，∴，…6分
∵，∴，∴，∴．…7分
（3）证明：由（2）得，∴，．
∵，∴，
∴．…9分
在中，．
∵，∴为等边三角形．…11分
24．解：（1）．2分
（2）证明：如图1，延长到点E，使，连接．
图1
∵D为的中点，∴．
在和中，
∴（SAS），
∴，．
∵，∴，
∴，即．
在和中，，∴（SAS），
∴．
∵，∴．…6分
（3）①．…7分
理由：如图2，延长到点G，使，连接．
图2
∵E为的中点，∴．
在和中，，∴（SAS），
∴，．
∵平分，∴．
∵，∴，，
∴，∴，∴，∴．…10分
②2．……12分
提示：∵，，
∴，∴．
设，
∵，∴，
由①得，∴．
∵，∴，∴，
∴，即．
