2024-2025学年广东省肇庆市端州中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是( )
A. B. C. D.
2.在下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
3.若的半径为，的长为，则点与的位置关系是( )
A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定
4.抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是( )
A. B. C. D.
5.函数图象中，函数与自变量的部分对应值如表：二次函数的对称轴是直线( )
A. B. C. D.
6.如图，，，三点在上，，则为( )
A.
B.
C.
D.
7.电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片旋转到叶片的位置时，旋转的角度可以是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10.船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁如图所示的网格是正方形网格，点，，，，，，是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔，间的角度的大小一定无触礁危险那么，对于，，，四个位置，船处于_____时，也一定无触礁危险( )
A. 位置 B. 位置 C. 位置 D. 位置
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的解为______．
12.若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为______．
13.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起将畚箕绕点顺时针旋转后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为______．
14.已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值的范围______．
15.如图，摩天轮的最高处到地面的距离是米，最低处到地面的距离是米若游客从处乘摩天轮绕一周需分钟，则游客从处乘摩天轮到地面的距离是米时至少需______分钟．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：．
17.本小题分
已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式．
18.本小题分
手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长．
19.本小题分
正方形网格中网格中的每个小正方形边长是，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
画出关于点成中心对称的图形；
将沿轴正方向平移个单位得到，画出；
若与绕点旋转重合，则点的坐标为______．
20.本小题分
如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动那么运动几秒后，的面积为？
21.本小题分
习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量个与销售单价元符合一次函数关系：当时，；当时，．
若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式；
若物价部门限定该产品的销售单价不得超过元个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
22.本小题分
如图，在中，，，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接．
求证：点在上．
当点移动到使时，求：的值．
当点到移动到使时，求证：．
23.本小题分
如图是一座圆弧型拱桥侧面示意图水面宽与桥长均为米，桥拱顶部离水面的距离为米，以桥拱顶部为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系．
求圆弧型桥拱所在圆的半径；
如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为米．
求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.，．
12.
13.
14.
15.
16.解：，
则或，
，．
17.解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
所以．
18.解：设半径的长为，
，
弓形高，
，，
，
，
，
在中，，即，
解得．
答：半径的长为．
19.解：如图，为所作；
如图，为所作；
．
20.解：设动点，运动秒后，能使的面积为，
则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得，当时，，不合题意，舍去．
答：动点，运动秒时，能使的面积为．
21.解：设销售量个与销售单价元一次函数关系为，
当时，；当时，．
解得，
，
；
，
，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大，
时，有最大值，最大值为元．
答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元．
22.证明：为的直径，
，
，
点在上．
解：连接．
为的直径，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
：．
证明：连接．
，
由知，
，
，
，
弧等于，
，
，
，
是等边三角形，
，
由知，
，
，
，
，
，
，
．
23.解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图，
由题意得：，米，米，
米，米，
由勾股定理得：，
，
解得：，
答：圆弧型桥拱所在圆的半径为米；
由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得：
，
解得：，
右边钢缆所在抛物线表达式为：；
由题意可知，即为所求彩带的长度，如图，连接圆与，作于点，
则米，米，
米，
米，
米，
答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米．
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