第23章《旋转》
复习题
考试时间:120分钟 满分120分
一、单选题（本大题共12小题，总分36分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ）度．
A．60 B．120 C．180 D．270
4．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4）
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连接BD．若，DE＝1，则线段BD的长为（ ）
A． B． C．3 D．
7．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上，若AB＝5，BC′＝2，则A′C的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）
A．135° B．90° C．60° D．45°
9．将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．CO＝FO B．∠OBC＝∠OEF
C．AB∥EF D．点B与点E是对应点
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，，点P在线段BC上运动（含B，C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，连接EF，P为EF的中点，则下列结论正确的是（ ）
①AE＝AF；②EF＝2EC；③∠DAP＝∠CFE；④∠ADP＝45°；⑤PD∥AF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤
二、填空题（本大题共4小题，总分12分）
13．点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为 ．
14．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1（A、B分别与A1、B1对应），则∠A1OB的度数为 度．
15．如图，在直角坐标系中，点M（﹣2，4）绕着点P（0，1）顺时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 ．
16．如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ ．在点D运动过程中，CE的最小值 ．
三、解答题（本大题共9小题，总分72分）
17．如图，△AOB与△COD成中心对称，点O是它们的对称中心，若∠A＝45°，OD＝3，求∠C的度数和OB的长度．
18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2并写出点C2的坐标．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为点E、F，点E落在BA上，连接AF．若∠BAC＝24°．求∠AFE的度数．
20．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点E在线段AB上，DE的延长线与AC交于点F，连接DA、BF，∠ABC＝60°，BF＝AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想．
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，点O是AB上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD．
（1）求证：四边形ACBD是菱形；
（2）如果∠ABC＝60°，BC＝2，求菱形ACBD的面积．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到△ADE（∠CAB＜m°＜180°）．CE与AB交于点F．
（1）求证：∠AEC＝∠ABD．
（2）设∠ABC＝n°，直接写出当m、n满足什么条件时，△BCF是等腰三角形．
23．如图，点P是正方形ABCD内一点；AP＝1，BP，DP，△ADP绕点A顺时针旋转得到△ABP′，连接PP′，延长AP与BC相交于点Q．
（1）求线段PP′的长；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求正方形ABCD的边长．
24．如图，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AEFG，点E在CD上，连接BE．
（1）求证：BE平分∠AEC；
（2）连接BG交AE于点O，点P是BE的中点，连接OP、AF，若AF＝4，求OP的长．
25．为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了A，B两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，AB⊥MN．连接AB，灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP后立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为t秒．
【初步应用】
①当t＝40时，两条光线夹角（锐角）的度数为 ；
②当t＝70时，求两条光线夹角（锐角）的度数．
【推理验证】
当0＜t＜30时，射线BD与射线AC所在直线交于点E，请画出图形并说明∠AEB＝2∠QAC．
【拓展探究】
当射线AC首次从AQ转至AP的过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD垂直，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（本大题共12小题，总分36分）
1-6．DABCBD．
7-12．BBACDC
二、填空题（本大题共4小题，总分12分）
13．（﹣1，3）．
14．70．
15．（3，3）．
16．4，2．
三、解答题（本大题共9小题，总分72分）
17．解：∵△AOB与△COD成中心对称，点O是它们的对称中心，
∴∠C＝∠A＝45°，OB＝OD＝3．
18．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；C2（4，﹣3）．
19．解：如图：
∵△ACB旋转90°得到△FEB，
∴∠C＝∠BEF，∠CAB＝∠EFB，∠CBA＝∠EBF，AB＝BF，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠CBA＝90°，
∵∠BAC＝24°，
∴∠CBA＝66°，
∴∠BFE＝24°，∠EBF＝66°，
∵AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠ABF＝66°，
∴，
∴∠AFE＝∠BFA﹣∠BFE＝57°﹣24°＝33°．
20．（1）证明：∵AB＝BD，∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴AD∥BC；
（2）解：AD＝2AE．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SSS），
∴∠ADF＝∠BDF＝30°，
∴DF⊥AB，
∴AD＝2AE．
21．（1）证明：∵将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD，
∴AC＝BD，AD＝BC，
∵AC＝BC，
∴AC＝BD＝AD＝BC，
∴四边形ACBD是菱形；
（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠B＝60°，BC＝AC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴，AB＝BC＝2，
∴，
∴．
故菱形ACBD的面积为．
22．（1）证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到△ADE，
∴AE＝AC，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE＝m°，
∴∠AEC＝∠ACE90°，∠ABD90°，
∴∠AEC＝∠ABD；
（2）解：当BF＝CF时，则∠ABC＝∠BCF＝n°，
∵∠ACB＝∠ACE+∠BCF，
∴n°+90°90°，
∴n；
当BF＝CF时，则∠BCF＝90°，
∵∠ACB＝∠ACE+∠BCF，
∴90°90°90°，
∴m+n＝180°；
当BC＝CF时，点F在BA的延长线上，不合题意舍去，
综上所述：当m、n满足n或m+n＝180°时，△BCF是等腰三角形．
23．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴AP＝AP′＝1，PD＝P′B，∠PAP′＝∠DAB＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′；
（2）∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′＝45°，
在△PP′B中，PP′，PB＝2，P′B，
∵（）2+（2）2＝（）2，
∴PP′2+PB2＝P′B2，
∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB＝90°，
∴∠BPQ＝180°﹣∠APP′﹣∠P′PB＝180°﹣45°﹣90°＝45°；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，
∵∠BPQ＝45°，PB＝2，
∴PE＝BE＝2，
∴AE＝2+1＝3，
∴AB．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE，
∵把矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AEFG，点E在CD上，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC，∴BE平分∠AEC；
（2）解：过点B作BH⊥AE 于点H，连接GE，如图，
∵BE平分∠AEC，BH⊥AE，BC⊥CD，
∴BH＝BC，
∵AD＝BC＝AG，
∴BH＝AG，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△HOB（AAS），
∴OG＝OB，
即点O是BG的中点，
∵P是BE的中点，
∴OP是△BEG 的中位线，
∴OPGE，
∵四边形AEFG是矩形，
∴AF＝EG，
∴OPAF4＝2．
25．解：【初步应用】①当t＝40时，∠QAC＝40°，∠MBD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣[120°﹣90°﹣（90°﹣40°）]＝100°，
∴两条光线夹角（锐角）的度数180°﹣100°＝80°；
故答案为：80°；
②当t＝70时，∠QAC＝70°，
∠NBD＝3°×70﹣180°＝210°﹣180°＝30°，
设AC与BD交于点O，
过点O作OS∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴OS∥MN，
∴∠SOB＝∠DBN＝30°，
同理：∠SOA＝∠QAC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOS+∠BOS＝70°+30°＝100°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣100°＝80°，
∴两条光线夹角的度数为80°．
【推理验证】画出图形，如图2，
证明：过点E作EF∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴EF∥MN，
∴∠FEA＝∠QAC＝t°，
同理：∠FEB＝∠MBE＝3t°，
∴∠AEB＝∠FEB﹣∠FEA＝3t°﹣t°＝2t°，
∴∠AEB＝2∠QAC；
【拓展探究】当0≤t＜60时，如图3.1
t+180﹣3t＝90，
t＝45；
当60≤t＜90时，如图3.2，
t+3t﹣180＝90，
t＝67.5，
当90≤t＜120时，
180﹣t+360﹣3t＝90，
t＝112.5，
当120≤t≤180时，
180﹣t+3t﹣360＝90，
t＝135，
综上所述：当t为45，67.5，112.5，135时，射线AC与射线BD互相垂直。
