第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，如果与为共线向量，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A． B． C． D．或
3．棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（ ）
A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上
B．总存在实数x，y，使得
C．总存在实数x，y，z，使得
D．总存在实数x，y，z，使得
5．在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则线段AB中点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．如图，平面，，则（ ）
A．
B．平面
C．二面角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
8．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．
B．
C．直线与所成角的余弦值为
D．Q到平面的距离为
三、填空题
9．已知空间向量，．若与平行，则 ．
10．在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与所成角的正弦值的最小值为 ．
11．已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则 .
12．在正三棱柱中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为 ．
四、解答题
13．已知三棱柱中，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，且P是的中点，求平面和平面所成二面角的正弦值.
14．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且．
Ⅰ求证平面ABCD；
Ⅱ若平面底面ABCD，且，求．
15．如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A D B A BC ABC
1．D
【分析】由与为共线向量则求解即可.
【详解】因为与为共线向量，所以，
即，解得，
故选：D
2．D
【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论.
【详解】因为，
所以，则或.
故选：D
3．A
【分析】的中点为，有，余弦定理求即可；或建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角.
【详解】解法一：连接，取的中点，连接，如图所示，
分别是的中点，，则是异面直线与所成角或其补角.
正方体棱长为2，面对角线长为，由正方体的结构可知，
中，，，则，
同理，在中，，，
由余弦定理可知.
所以异面直线与所成角的余弦值是.
解法二：以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
有，，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：A.
4．D
【分析】根据空间向量的基底与共面向量充要条件逐项判断即可.
【详解】解：对于A，当空间的三个不共面的单位向量，，作为空间直角坐标系的标准正交基底时，
向量，，平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为的正三角形，其外接圆半径满足，即，不是单位圆，故A不正确；
对于B，由三个向量共面的充要条件可知，当向量，，共面时，总存在实数x，y，使得，但向量是空间的任意一个向量，即，，可以不共面，故B错误；
对于C，由于向量，则向量是空间中的一组共面向量，不能作为空间的基底向量，
所以当不与，共面时，则找不到实数x，y，z，使得成立，故C不正确；
对于D，已知空间的三个不共面的单位向量，，，则向量不共面，所以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x，y，z，使得，故D正确.
故选：D.
5．B
【分析】由题意，根据空间向量的数量积的定义计算即可.
【详解】直线与平面所成角的正弦值等于
.
故选：B
6．A
【分析】利用中点坐标公式直接计算即可.
【详解】由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即.
故选：A
7．BC
【分析】建立空间直角坐标系，利用，判断；依题意，是平面的法向量，由，则，判断；分别求出平面的一个法向量，平面的法向量，再求出，，即可判断.
【详解】解：以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，
所以，
所以不垂直，故A错误；
依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线平面，
所以平面，故B正确；
设为平面的一个法向量，则，
即，令，可得，
依题意，，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
所以，故C正确；
因为，故D错误.
故选：BC.
8．ABC
【分析】以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据空间向量的公式计算各选项即可判断.
【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
对于选项A，，，则有，所以，故，所以选项A正确；
对于选项B，，因为，所以，故，所以选项B正确；
对于选项C，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为，故选项C正确；
对于选项D，因为，，设平面的法向量为，
则有，即，令，则，，所以，
又，故Q到平面的距离为，故选项D错误.
故选：ABC.
9．/
【分析】由向量平行列式解得参数，即可求模.
【详解】由，，得．
因为与平行，所以，解得，
所以，所以．
故答案为：.
10．/
【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法、二次函数的基本性质以及同角三角函数的基本关系可求得直线与所成角的正弦值的最小值.
【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，其中，易得、、，
，，
所以，
，
当时，取得最大值，
此时，直线与所成角的正弦值的最小值为.
故答案为：.
11．3
【分析】根据向量的垂直关系计算即可.
【详解】因为直线与平面垂直，为直线的一个方向向量，向量与平面平行，
所以，
即，
解得
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标运算，考查了直线的方向向量，属于容易题.
12．/
【分析】建立空间直角坐标系，运用向量知识进行求解.
【详解】解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
已知，，
故，，，，
，
设平面的法向量为，
即，故，
令，故，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得到，再结合得到平面，根据线面垂直的性质得到，再结合得到平面，最后根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据面面垂直的性质证明平面，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，
而，则四边形是菱形，
连接，如图，则有，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，则，
由得，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在菱形中，，
则为等边三角形，
又因为P是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则,
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
设平面的法向量为，
则有，可取，
故，
所以平面和平面所成二面角的正弦值为.
14．（I）见证明；（II）
【分析】（I）取的中点，连结，，，推导出平面平面，由此能证明平面；（II）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
【详解】（I）取的中点，连结，，
在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，
为的中点，为的中点，点在线段上，且
，
，
平面平面
平面 平面
（II）平面底面，且
平面
取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，，，
平面的法向量
点到平面的距离
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据“由中点找中点”得到，易得平面；
（2）根据题设建系，求出相关点和向量的坐标以及平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）
如图，取的中点F，连结，.
因为E为的中点，所以，.
因为，，所以，.
即四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）
如图，取的中点O，的中点G，连结，，则，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，故.
分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，则，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则令，则
设直线与平面所成角为，则
.
即直线与平面所成角的正弦值为.
16．(1)证明见解析；
(2)为的中点．
【分析】(1)利用等腰三角形三线合一可知AE⊥CD，根据面面垂直的性质定理可得AE⊥平面BCD，从而可得AE⊥CD；再结合EF∥BD，CD⊥BD可得CD⊥EF，结合线面垂直判定定理即可得CD⊥平面AEF；
(2)在平面中，过点作，垂足为，以为正交基底，建立空间直角坐标系，设BC＝4并设G点坐标，利用向量方法表示出平面与平面所成二面角的余弦即可求解．
【详解】（1）∵是正三角形，点是的中点，∴．
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又∵平面，∴．
∵点E、F分别是、的中点，∴，
又∵，∴，
又∵，平面，∴平面；
（2）在平面中，过点作，垂足为，
设，则CD＝2，，，．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，．
设平面的法向量为，
由，得，令，故，
设平面的法向量为，
则，即，令，则．
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
∴，
当时，，此时θ最大，
即当为的中点时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
