第三章圆锥曲线的方程单元检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
3．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
5．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（ ）
A． B． C． D．2
6．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
8．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（ ）
A．
B．的最大值为25
C．的最小值为9
D．若，则的面积为
三、填空题
9．已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是 .
10．请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： .
11．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 .
12．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
四、解答题
13．设椭圆的离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点.
①若直线与轴相交于点，且，求的值；
②已知椭圆的上 下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？
14．如图，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若两点关于原点对称，求双曲线的离心率.
15．已知动点与点的距离比其到直线的距离小1.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.
16．已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求的余弦值；
(3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B B B ABD AB
1．C
【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及圆的切线长定理可得，再借助两点间距离公式列式求解即得.
【详解】依题意，，设椭圆的半焦距为，点，
令的内切圆切的切点分别为，
，
联立解得，则，消去得：，
所以椭圆的离心率.
故选：C
2．A
【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.
【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点，
于是得 ，解得，
所以所求椭圆方程为.
故选：A
3．C
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，
因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，
在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）.
4．B
【分析】根据条件先确定出双曲线的顶点坐标，然后根据所过点求解出的值，由此可求的值，则离心率可求.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以顶点在轴上，
因为椭圆的左右顶点为，所以，
因为双曲线过点，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
5．B
【分析】先由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果.
【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，
设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形，
有，又，所以，
联立，得，
设，则，
由抛物线的定义，.
故选：B.
6．B
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于的等式，即可得解.
【详解】对于抛物线，，可得，，故该抛物线的焦点为，
由题意可知，椭圆的右焦点为，则，解得，
故选：B.
7．ABD
【分析】根据椭圆、双曲线、圆的标准方程得出相应的的取值范围，可得ABD正确，再根据抛物线标准方程可C错误.
【详解】由椭圆标准方程可知当且时，
即且，也即时，曲线是椭圆，即A正确；
由双曲线标准方程可知当时，即时，曲线是双曲线，即B正确；
由抛物线标准方程可知，曲线不可能是抛物线，即C错误；
根据圆的标准方程可知，当，可得，此时曲线是圆，即D正确.
故选：ABD
8．AB
【分析】利用椭圆的方程和椭圆的定义结合性质逐一考查每个选项即可.
【详解】设，则，.
对于A，有，
，故A正确；
对于B，有，
且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，有
，故C错误；
对于D，此时
，所以.
从而，故D错误.
故选：AB.
9．2
【分析】对进行分类讨论，和分开讨论，将表示为的函数，通过转化结合基本不等式求解.
【详解】由题意知，，
当时，切线的方程为，点A，的坐标分别为，，
此时；
当时，同理可得；
当时，设切线方程为，
由得，
设A，两点两点坐标分别为，，则
，，
又由于圆相切，得，即，
所以，
由于当时，，
所以，，
，当且仅当时，，
综上，的最大值为2．
故答案为：2
10．（答案不唯一）
【分析】设所求双曲线的方程为，再根据焦点在y轴上，可得，即可得解.
【详解】设所求双曲线的方程为，
因为所求双曲线的焦点在y轴上，所以，
则可取，
所以所求双曲线的方程为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
11．/
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，
设切线方程为，，
所以，解得：，
由解得：或，即，
所以，解得：．
故答案为：.
12．/
【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造中点坐标与的关系，结合离心率公式即可求解.
【详解】设直线与椭圆相交于，
由，
直线的斜率，
由，得，
整理得，
所以，
故椭圆的离心率为.
故答案为：.
13．(1);
(2)①，②不存在.
【分析】（1）利用椭圆方程的知识，即可求解；
（2）①利用直线与椭圆联立方程组，把转为坐标关系，再结合韦达定理，即可求解；
②先假设存在平行关系，再利用斜率关系转化为坐标关系，同样结合韦达定理，求解判断.
【详解】（1）由题意，有，，，
解得，
故椭圆的方程为.
（2）根据题意可知直线，与联立，
得，
其中，
设，，.
①由，则
有，即，
有，解得.
②由椭圆方程可知上下顶点，
假设存在直线平行于直线，
有，有，又，
有，得，
有，
代入，得，
则有，代入，
有，
整理，得，有，显然矛盾，
故不存在实数，使直线平行于直线.
14．
【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.
【详解】设左焦点为，连接，依题意，是以为顶点的等腰直角三角形，
两点关于原点对称，
结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，
所以，
设，则
，
由，
即，
整理得
故双曲线的离心率为：
15．(1)
(2)最小值为，或
【分析】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）设，求出即得解.
【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等，
所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，
因此动点的轨迹方程为.
（2）设，
由两点间的距离公式得：，
当，即时，，
即当或时，点与点的距离最小，最小值为.
16．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知；
（2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出；
（3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在.
【详解】（1）由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为：；
（2）因为，所以，且，
所以,
所以的余弦值为.
（3）假设存在满足要求，
当的斜率不存在时，，由解得，
所以，所以不垂直，故不满足要求；
当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即，
设，，
联立可得，
且，即，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算.
