2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
新课导学
知识点1 直角三角形两个锐角互余
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角①互余.
直角三角形的判定定理：有两个角②互余的三角形是直角三角形.
温馨提示：在直角三角形中或者存在垂直关系时，通常需要考虑这个性质定理.反之，证明三角形中两个角互余也是证明垂直关系的重要方法.
【例1】 如图，在中， ，点，分别在，上，，求证：是直角三角形.
证明：因为， ，所以 ，所以 ,所以 是直角三角形.
对点训练1．在直角三角形中,一个锐角比另一个锐角的三倍还多 ，则较大锐角的度数是________.
【答案】
知识点2 勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的③平方和等于④斜边的平方,即.
勾股定理的逆定理：如果一个三角形⑤两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
温馨提示：在直角三角形中，已知任意两边长，可以用勾股定理求第三边长.已知三角形三边长的情况下，要考虑三边数量关系是否符合勾股定理的逆定理，进而判定直角三角形或者求面积.
【例2】 [2024·海韵学校月考]以下列各组数为边长的三角形，能组成直角三角形的是（ ）.
A. 1，2， B. 2，3，4 C. 1，， D. 6，8，12
【答案】A
对点训练2．[2024·百合外国语学校期中]以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ）.
A. 2,3,4 B. 1,1, C. ,, D. 5,12,13
【答案】A
知识点3 互逆命题
互逆命题:在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为⑥互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的⑦逆命题.
【例3】 写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.
（1） 四边形是多边形；
（2） 两直线平行，同旁内角互补；
（3） 如果，那么，.
【答案】（1） 解：原命题为真命题，逆命题：多边形是四边形（假命题）.
（2） 原命题为真命题，逆命题：同旁内角互补，两直线平行（真命题）.
（3） 原命题为假命题，逆命题：如果，，那么（真命题）.
对点训练3．[2024·福田外国语学校期中]下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·东升学校月考]若的三边长分别为，，，且满足，则是（ ）.
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
2．[2022春·深圳宝安区校级期末]在中，，，则（ ）.
A. 8 B. 16或64 C. 4 D. 4或16
【答案】D
第二关 过能力
3．[2024·深圳市13校联考期中]满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. ，， B.
C. D.
【答案】D
4．如图，在中， ，过点作，平分.若 ，则的度数为________.
【答案】
第三关 过思维
5．[2023·南山实验教育集团期中]如图，在四边形中， ，，，．
（1） 求的度数；
（2） 求四边形的面积．
【答案】
（1） 解：如图，连接， ，,， .，，，，
，是直角三角形，且 ， .
（2） 由题意,得四边形 的面积 的面积 的面积，即四边形 的面积为．
第2课时 直角三角形全等的判定
新课导学
知识点1 直角三角形的作图
已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形.
已知：如图所示，线段,，直角 .
求作：,使 ,,.
作法如下：
（1）作 .
（2）在射线上截取.
（3）以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点.
（4）连接,得到.
温馨提示：用尺规作直角三角形，要求掌握作等角和等线段的方法，但不要求会书写过程.在网格中作直角三角形，要利用勾股定理的逆定理及其他与直角三角形相关的几何性质.
【例1】 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
解：如图1，在 中，，，.因为，所以 ，即 为直角三角形.
如图2，在 中，.在 中，.在 中，.所以，所以 ，即 为直角三角形.
对点训练1．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点，在格点上.若再选择一个格点，使是直角三角形，且每个直角三角形的边长均大于1，则符合条件的格点的个数是（ ）.
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
知识点2 直角三角形全等的判定（HL）
①斜边和②一条直角边分别相等的两个③直角三角形全等.
温馨提示：此定理是直角三角形所特有的，对一般三角形不成立.书写过程中，要注意斜边对应斜边、直角边对应直角边.
【例2】 [2024·南山实验教育集团期中]如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
对点训练2．[2024·可园学校月考]如图，在中，是的中点，,垂足为，,垂足为，且，求证：是等腰三角形．
证明：是 的中点，.
，， .
在 和 中，
，
，，即 是等腰三角形．
课堂通关
第一关 过基础
1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）.
A. 两直角边对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等
C. 两锐角对应相等 D. 一个锐角和斜边对应相等
【答案】C
2．如图，已知点，，，在同一条直线上， ，，若添加一个条件后，能用“”的方法判定，添加的条件可以是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
第二关 过能力
3．[2024·龙岭学校月考]如图， ，,在线段上，与交于点，且，．求证：．
证明：，，即 ，与 都是直角三角形.在 和 中，．
4．[2024·南山第二外国语学校集团月考]如图，在四边形中， ，且，连接,，．
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的长．
【答案】（1） 证明： ，与 都是直角三角形.，.在 和 中，.
（2） 解：， ， ， ， . ，，，．
第三关 过思维
5．[2024·龙岗区外国语学校期中]小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接， ，米，米，米，米．
（1） 求线段的长；
（2） 若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
【答案】（1） 解： ，米，米，（米），即线段 的长为5米.
（2） 米，米，米，,，是直角三角形，且 ，（平方米），（元）.
答：制作这样一块背景板需花费360元．2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
新课导学
知识点1 直角三角形两个锐角互余
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角① .
直角三角形的判定定理：有两个角② 的三角形是直角三角形.
温馨提示：在直角三角形中或者存在垂直关系时，通常需要考虑这个性质定理.反之，证明三角形中两个角互余也是证明垂直关系的重要方法.
【例1】 如图，在中， ，点，分别在，上，，求证：是直角三角形.
对点训练1．在直角三角形中,一个锐角比另一个锐角的三倍还多 ，则较大锐角的度数是________.
知识点2 勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的③ 等于④ ,即.
勾股定理的逆定理：如果一个三角形⑤ ,那么这个三角形是直角三角形.
温馨提示：在直角三角形中，已知任意两边长，可以用勾股定理求第三边长.已知三角形三边长的情况下，要考虑三边数量关系是否符合勾股定理的逆定理，进而判定直角三角形或者求面积.
【例2】 [2024·海韵学校月考]以下列各组数为边长的三角形，能组成直角三角形的是（ ）.
A. 1，2， B. 2，3，4 C. 1，， D. 6，8，12
对点训练2．[2024·百合外国语学校期中]以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ）.
A. 2,3,4 B. 1,1, C. ,, D. 5,12,13
知识点3 互逆命题
互逆命题:在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为⑥ ，其中一个命题称为另一个命题的⑦ .
【例3】 写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.
（1） 四边形是多边形；
（2） 两直线平行，同旁内角互补；
（3） 如果，那么，.
对点训练3．[2024·福田外国语学校期中]下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·东升学校月考]若的三边长分别为，，，且满足，则是（ ）.
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
2．[2022春·深圳宝安区校级期末]在中，，，则（ ）.
A. 8 B. 16或64 C. 4 D. 4或16
第二关 过能力
3．[2024·深圳市13校联考期中]满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. ，， B.
C. D.
4．如图，在中， ，过点作，平分.若 ，则的度数为________.
第三关 过思维
5．[2023·南山实验教育集团期中]如图，在四边形中， ，，，．
（1） 求的度数；
（2） 求四边形的面积．
第2课时 直角三角形全等的判定
新课导学
知识点1 直角三角形的作图
已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形.
已知：如图所示，线段,，直角 .
求作：,使 ,,.
作法如下：
（1）作 .
（2）在射线上截取.
（3）以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点.
（4）连接,得到.
温馨提示：用尺规作直角三角形，要求掌握作等角和等线段的方法，但不要求会书写过程.在网格中作直角三角形，要利用勾股定理的逆定理及其他与直角三角形相关的几何性质.
【例1】 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
对点训练1．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点，在格点上.若再选择一个格点，使是直角三角形，且每个直角三角形的边长均大于1，则符合条件的格点的个数是（ ）.
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
知识点2 直角三角形全等的判定（HL）
① 和② 分别相等的两个③ 全等.
温馨提示：此定理是直角三角形所特有的，对一般三角形不成立.书写过程中，要注意斜边对应斜边、直角边对应直角边.
【例2】 [2024·南山实验教育集团期中]如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ）.
A. B. C. D.
对点训练2．[2024·可园学校月考]如图，在中，是的中点，,垂足为，,垂足为，且，求证：是等腰三角形．
一 条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）.
A. 两直角边对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等
C. 两锐角对应相等 D. 一个锐角和斜边对应相等
2．如图，已知点，，，在同一条直线上， ，，若添加一个条件后，能用“”的方法判定，添加的条件可以是（ ）.
A. B.
C. D.
第二关 过能力
3．[2024·龙岭学校月考]如图， ，,在线段上，与交于点，且，．求证：．
山 考]如图，在四边形中， ，且，连接,，．
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的长．
维 岗区外国语学校期中]小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接， ，米，米，米，米．
（1） 求线段的长；
（2） 若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
