2024-2025学年第一学期初三数学12月考模拟卷（2）
（范围：九年级第1章-7章 考试时间：120分钟 满分：130分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（ ）．
A． B． C． D．
3．若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是圆的内接锐角三角形，是圆的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
第6题 第8题 第9题
7．若a是方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
A．22 B．21 C．20 D．19
9．在中，，是的中点，平分交于点，连接交于点．若，，则的长为（ ）米．
A． B． C． D．
10．二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．抛物线的顶点坐标是_________．
12．在中，，，，则的值为_________．
13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近，可以增加视觉美感．如果雕像的高为，那么它的下部应设计为_________m．（结果保留两位小数）
14．已知t为实数，关于的方程有两个非负实数根，且，则的值是_________．
15．如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为_________．
16．如图，在纸板中，，，，点P在上，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，若有3种不同的剪法，则长的取值范围是_________．
17．如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为_________．
第15题 第16题 第17题
18．如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标_________．
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（8分）求值：
(1)；
(2)．
20．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值．
22．（10分）年月日是第十六个世界海洋日．世界海洋日的设立是为了提醒公众对海洋环境的认识，呼吁全球行动保护海洋环境，为此，我校举行了海洋知识竞赛．竞赛结束后，随机在八年级抽取名学生的成绩，并将他们的成绩（满分分）进行整理、描述和分析，按成绩分为如下组，组：，组：，组：，组：，组：，下面给出了部分信息．
信息：随机抽取的八年级学生竞赛成绩频数分布直方图如下图所示：
信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是：
．
信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是：.
信息：八年级成绩的平均分、中位数、众数（注：众数在这一组里）如表：
平均分 中位数 众数
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)表中________，_________；
(3)请计算八年级学生在这一组的位同学竞赛成绩的方差；
(4)已知该校参加知识竞赛的学生共有人，试估计该校成绩在组的人数．
23．（10分）随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
24．（10分）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，交于点F．连接并延长交于点E，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，则的半径是．
25．（10分）已知：中，．
(1)如图1，若，，，且，求的长；
(2)如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段上找一点F，使得点F到边BC的距离等于（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．
26．（10分）今年双十一期间，某淘宝店铺《水浒传》一书的销售日益火爆，进价40元，规定销售单件不低于44元，且不高于52元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销量减少10本．现商家决定提价销售，设每天销售量为本，销售单价为元．
(1)当售价定为50元时，求此时每天的销量和每本书的利润？
(2)请你求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(3)当《水浒传》的销售单价定为多少元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大？最大利润是多少元？
27．（10分）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值；
(3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标．
28．（10分）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”．
(1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点重合；
②点A的横坐标的最小值为___________；
(2)的半径为2，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，其中，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的值等于（）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，中，，，则，，
∴，
故选：C．
2．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设在地图上图距是的两地，实际距离是，
根据题意得，解得，
故选：C．
3．若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
，
，，
方程的另一个根是，
故选：A．
4．二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，
所得到的函数关系式是，
即，
故选A．
5．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵圆锥的底面直径为，母线长为，
∴圆锥的侧面积是，
故选：C．
6．如图，是圆的内接锐角三角形，是圆的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，如图，
是圆的直径，
，
，
．
故选：C．
7．若a是方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：若a是方程的一个解，
∴，
∴，
∴
．
故选：A．
8．如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
A．22 B．21 C．20 D．19
【答案】C
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，米，
斜坡的坡度，
，
设米，则米，
在中，（米，
米，
，
解得：，
米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
（米，
这棵木棉树的高度约为20米，
故选：C．
9．在中，，是的中点，平分交于点，连接交于点．若，，则的长为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由勾股定理得：，
过作于，
平分，，
，
，，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即，
在△中，由勾股定理得：，
过作，交于，交于，
为的中点，，
为的中点，为的中点，
，，
，
△△，
，
，
解得：，
故选：B．
10．二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴当时，二次函数有最大值9，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，
当时，，当时，，
∴当时，，
∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∴．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．抛物线的顶点坐标是．
【答案】
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12．在中，，，，则的值为．
【答案】
【详解】解：在中，,
∴．
故答案为：．
13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近，可以增加视觉美感．如果雕像的高为，那么它的下部应设计为m．（结果保留两位小数）
【答案】
【详解】解：∵雕像的下部(腰以下)与全部(全身)的高度比值接近0.618，
∴雕像的下部(腰以下)的长．
故答案为：．
14．已知t为实数，关于的方程有两个非负实数根，且，则的值是．
【答案】5
【详解】∵方程有两个非负数实数根a，b，
∴，，
解得．
由，
得，
即，
∴，
整理，得，
解得．
∵，
∴．
故答案为：5．
15．如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为．
【答案】9
【详解】解：的周长为21，，
，
设与的三边、、的切点为、、，切为，
，，，，
，
的周长
，
故答案为9．
16．如图，在纸板中，，，，点P在上，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，若有3种不同的剪法，则长的取值范围是．
【答案】
【详解】如图所示，过作交于D或交于E，则或△，
此时；
如图所示，过P作交于F，则，
此时；
如图所示，过P作交于G，则，
当点G与点B重合时，，即，
∴，，
∴当时，此种情况成立，
∵只有3种不同的剪法，
∴当时，不能剪出此种情况，
综上所述，长的取值范围是，
故答案为：．
17．如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为．
【答案】/
【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，
∴，
∵点E恰好是翻折后的的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图所示，连接，在上截取，连接，
∴，
∵的度数为，
∴
∴，
∵，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标．
【答案】或
【详解】解：设抛物线与轴的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，，
把代入得，，
∴，
∴，
∵将线段绕点旋转，得到线段，点在抛物线上，横坐标，
∴当点与点重合时，点与点重合，
此时，点的坐标为；
当时，过点作轴于，过点作轴于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵点恰好落在直线上，
∴，
解得（不合舍去），，
∴；
综上，点的坐标为或，
故答案为：或．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（8分）求值：
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：原式
；...........................................................4分
（2）解：原式
．...........................................................8分
20．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
移项得，，
因式分解得，，
，
或，
．...........................................................4分
（2）解：
．...........................................................8分
21．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值
【详解】（1）解：由题意得
当时，原方程有实数根，即；
...........................................................4分
（2）解：根据题意得：，，
，
，
，
，
解得，（舍去），
实数的值是1．...........................................................8分
22．（10分）年月日是第十六个世界海洋日．世界海洋日的设立是为了提醒公众对海洋环境的认识，呼吁全球行动保护海洋环境，为此，我校举行了海洋知识竞赛．竞赛结束后，随机在八年级抽取名学生的成绩，并将他们的成绩（满分分）进行整理、描述和分析，按成绩分为如下组，组：，组：，组：，组：，组：，下面给出了部分信息．
信息：随机抽取的八年级学生竞赛成绩频数分布直方图如下图所示：
信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是：
．
信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是：.
信息：八年级成绩的平均分、中位数、众数（注：众数在这一组里）如表：
平均分 中位数 众数
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)表中，；
(3)请计算八年级学生在这一组的位同学竞赛成绩的方差；
(4)已知该校参加知识竞赛的学生共有人，试估计该校成绩在组的人数．
【详解】（1）解：组：人数为：（人），
补全频数分布直方图，
...........................................................2分
（2）解：中位数为第个和第个同学成绩的平均数，
根据题意可知中位数为组，第个和第个同学成绩的平均数，
∴，
∵众数在这一组里，
∴出现次，次数最多，
∴，
故答案为：，；...........................................................4分
（3）八年级学生在这一组的位同学竞赛成绩为，，，，，，
平均数为，
∴方差为：
；...........................................................8分
（4）解：估计该校成绩在组的人数有（人）
答：估计该校成绩在组的人数有人．...........................................................10分
23．（10分）随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
【详解】（1）解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是；
...........................................................4分
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种，
∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为．
...........................................................10分
24．（10分）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，交于点F．连接并延长交于点E，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，则的半径是．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；...........................................................6分
（2）解：，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，即的半径是2............................................................10分
25．（10分）已知：中，．
(1)如图1，若，，，且，求的长；
(2)如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段上找一点F，使得点F到边BC的距离等于（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；...........................................................5分
（2）作的角平分线交于，作的垂直平分线交于，交于，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
则，，
∴，
∴，
∴，即，
∵
∴点到边的距离等于，即点即为所求．...........................................................10分
26．（10分）今年双十一期间，某淘宝店铺《水浒传》一书的销售日益火爆，进价40元，规定销售单件不低于44元，且不高于52元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销量减少10本．现商家决定提价销售，设每天销售量为本，销售单价为元．
(1)当售价定为50元时，求此时每天的销量和每本书的利润？
(2)请你求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(3)当《水浒传》的销售单价定为多少元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大？最大利润是多少元？
【详解】（1）解：根据题意，当售价定为50元时，
每天的销量为：（本，
每本书的利润为：（元，
当售价定为50元时，每天的销量为240本，每本书的利润为10元；
...........................................................3分
（2）解：根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
销售单件不低于44元，且不高于52元，
自变量的取值范围为；...........................................................6分
（3）由题意得：
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为2640，
当《水浒传》的销售单价定为52元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大，最大利润是2640元．...........................................................10分
27．（10分）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值；
(3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标．
【详解】（1）解：根据题意，把点，对称轴为直线代入抛物线得，
，
解得，，
∴抛物线解析式为：；...........................................................2分
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为，
∴令，则，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
∵点是抛物线上一线，且在直线下方，
∴设，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴点的横坐标为，代入直线的解析式得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，有最大值，最大值为：；...........................................................6分
（3）解：将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，
则，
设点，
，
，
，，
，
整理得：，即，
解得：，
M点横坐标为或．...........................................................10分
28．（10分）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”．
(1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点_______重合；
②点A的横坐标的最小值为___________；
(2)的半径为2，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，其中，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
【详解】（1）解：如图1，
当点A在y轴右侧时，过点C作的切线，连接，则，，
∴，
过点A作轴于H，则，
∴，
∴，
当点A在y轴左侧时，由对称性得，，
综上所述，且；
①∵点的横坐标为，而，
∴点A不能与点重合，
∵点的横坐标为，而，
∴点A能与点重合，
故答案为：；
②由前面所求可知点A的横坐标的最小值为，
故答案为：；...........................................................3分
（2）解：如图2，
∵为的“点A关联三角形”，
∴线段和除点A外不能与有交点，
当线段除点A外不与有交点，且当与相切时，
∴轴，此时，
∵点A的横坐标为2，
∴点C的横坐标为2，即，
∴时，线段除点A外不与有交点，
当点B在处时，记作点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
在中，，
∴，
过点作轴于G，
∴，，
∴，
在上取一点M，连接，使得，
∴，
在中，则，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴或（舍去），
∴，
∴时，线段除点A外不与有交点，
综上所述，可知当时，为的“点A关联三角形”；
...........................................................6分
（3）解：①当点C在圆内时，当时，即，
∵直线与在第一象限的交点为A，
∴可设，
∴，
∴，
∴，
如图，过点A作轴于E，过点B作交延长线于D，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点B此时一定在圆外，
∴此时与圆只有一个交点，
∴时，符合题意；
②当点C在圆外时，当时，
如图4，
过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点A在直线上，
∴点A到x，y轴的距离相等是，
∴R在y轴上，点B也在y轴负半轴上，
∴，
当点B在上时，，，
∴，
∴，
③当与相切时，则，
∵，
∴点B与点O重合，此时，
∴，
综上所述，r的取值范围是：或．...................................................10分
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