2024-2025学年第一学期初二数学12月考模拟卷（2）
（范围：八上第1章-第6章 考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数、、、，、、、中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图，、、、四点共线，，．要使，可添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果点在x轴正半轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知一次函数，经过点和点且，，当，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，边的垂直平分线交于，交于，则的长为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．18
8．若，估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点E是的中点，点P从点E出发，沿移动至终点C，设P点经过的路径长为x，的面积为y，则下列图像能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________．
12．比较大小：3________．（填“”、“”或“”）
13．用四舍五入法将数347825精确到千位，用科学记数法表示为________．
14．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则________．
15．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是________．
16．如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的周长为，则为________．
17．如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长________．
18．如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象．
（1）小球P的运动速度为______．
（2）t的值为_______．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（8分）计算下列各题：
(1)； (2)．
20．（8分）解方程：
(1)； (2)．
21．（6分）如图，已知点C，D都在线段上，，
(1)求证：；
(2)求证：．
22．（6分）如图．
(1)在网格中画出关于轴对称的．
(2)写出关于轴对称的的各顶点坐标．
(3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹）
23．（8分）如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点．
(1)求m的值及直线的函数表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解．
24．（10分）【阅读资料】
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
25．（10分）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
【探索求证】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【延伸扩展】
（3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值．
26．（10分）如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求△AOB的面积；
(2)点为轴上一点，直线交直线于点，若，求点的坐标；
(3)如图2，将直线向下平移得到直线：，点，点为直线上的两点，直线与直线交于点，求点的横坐标．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．在实数、、、，、、、中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】解：，，
在实数、、、，、、、中，无理数有、，共2个，
故选：A．
3．以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【详解】解：A、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
4．如图，、、、四点共线，，．要使，可添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
添加条件，结合，不可以证明，故A不符合题意；
添加条件，结合，不可以利用证明，故B不符合题意；
添加条件，结合不可以证明，故C不符合题意；
添加条件，则，即，结合，可以利用证明，故D符合题意；
故选：D．
5．如果点在x轴正半轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】解：∵在x轴正半轴上，
∴，，
解得，
∴，，
∴所在的象限是第四象限．
故选：D．
6．已知一次函数，经过点和点且，，当，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：一次函数中，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，且时，，
∵，
∴，
故选： B．
7．如图，在中，，边的垂直平分线交于，交于，则的长为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．18
【答案】A
【详解】解：，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
8．若，估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，即，
，即，
，
故选：C．
9．《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设门的宽为尺，那么这个门的高为尺，
根据题意得：，
故选：．
10．如图，正方形的边长为4，点E是的中点，点P从点E出发，沿移动至终点C，设P点经过的路径长为x，的面积为y，则下列图像能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：①当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，
∴；
②当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴，
，
，
；
③当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴，
综上所述：与的函数表达式为：．
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．
【答案】
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
12．比较大小：3．（填“”、“”或“”）
【答案】
【详解】解∶，，
，
，
故答案为∶．
13．用四舍五入法将数347825精确到千位，用科学记数法表示为．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
14．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则．
【答案】2
【详解】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是．
【答案】
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
16．如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的周长为，则为．
【答案】
【详解】解：由翻折得，
设，，
则，
，
∴，
∴，
故答案为：．
17．如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长．
【答案】/
【详解】解：设于G，交于H，
∵是等边三角形，
∴，
∵将沿折叠，点与点对应，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
设,
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象．
（1）小球P的运动速度为．
（2）t的值为．
【答案】100 （或）
【详解】解：（l）由图2可知，小球P从点A出发，正好到达点B处时，所用的时间为，
∴小球P的运动速度为．
（2）木块Q的运动速度为．
当时，．
又∵，
∴，解得．
故答案为：100，．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（8分）计算下列各题：
(1)；
(2)．
【详解】（1）
............................................................4分
（2）
............................................................8分
20．（8分）解方程：
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
方程整理得：，
开方得：，
∴或；............................................................4分
（2）解：
方程整理得：，
开方得：，
∴．............................................................8分
21．（6分）如图，已知点C，D都在线段上，，
(1)求证：；
(2)求证：．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；............................................................4分
（2）解：∵，
∴，
∴．............................................................6分
22．（6分）如图．
(1)在网格中画出关于轴对称的．
(2)写出关于轴对称的的各顶点坐标．
(3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹）
【详解】（1）解：根据题意得，，，，
∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，
∴，，，如图所示，连接，
∴即为所求图形．............................................................2分
（2）解：由（1）可知，，，，
∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，
∴，，．............................................................4分
（3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点，
∴根据对称可得，，
∴，
∵点两点之间线段最短，
∴最短，即的值最小，
∴如图所示，点的位置即为所求点的位置．............................................................6分
23．（8分）如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点．
(1)求m的值及直线的函数表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解．
【详解】（1）解：把代入直线得，
解得；
把，代入直线得，
解得，，
直线的函数表达式为；............................................................4分
（2）当时，，
关于的不等式的解集为．............................................................8分
24．（10分）【阅读资料】
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
【详解】（1）解：，即，
的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5，；............................................................2分
（2）解：，
即，
的小数部分，
，
即，
的整数部分，
；............................................................6分
（3）解：，
，
即，
的整数部分是10，小数部分是，
是整数，且，
，
，
的相反数是．............................................................10分
25．（10分）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
【探索求证】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【延伸扩展】
（3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值．
【详解】解：（1），
，
∴，
即；............................................................2分
（2）设千米，则千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即千米，
∴（千米），
∴新路比原路少5千米；............................................................6分
（3）设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
即，
解得：．............................................................10分
26．（10分）如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求△AOB的面积；
(2)点为轴上一点，直线交直线于点，若，求点的坐标；
(3)如图2，将直线向下平移得到直线：，点，点为直线上的两点，直线与直线交于点，求点的横坐标
【详解】（1）∵与轴交于点，与轴交于点
∴，
解得，
∴，
∴，
∴
∴；............................................................2分
（2）过点作直线交直线于点，过点C作直线轴于点E，作轴于点F，
设点C的坐标为，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴，
∵
∴
∴，
∴点D的坐标是，
∵点D在直线l上，
∴，
∴，
∴点C的坐标是，
∵，
∴点D也为所求，
∴点C的坐标为或；............................................................6分
（3）∵点、在直线：上
∴
两式相减得：，
∵，
∴，
∵点、在直线上，
∴设直线为：，
∴把，代入，
得，
解得，
∴直线的函数为：
∵点、在直线上
∴设直线为：
把，代入中
得，
解得，
∴直线的函数为：，
联立直线和
两式相减得：
将代入消元，得
∴
即点的横坐标为．............................................................10分
1
