2024-2025学年广东省广州市荔湾区、花都区部分校高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合是( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.已知两个正实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.函数的值域是( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.若函数满足，且，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个选项中，正确的是( )
A. 若集合，集合，则
B. 已知集合，则满足的集合的个数有个
C. 若，，则
D. 设，，则“且”的充要条件是“且”
10.函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，如，，称为高斯函数，记，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的值域为
C. 不等式的解集为
D. 所有满足的点组成的区域的面积和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则的值是______________．
13.恒成立，则实数的取值范围是______________．
14.定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
求集合；
已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围。
16.本小题分
已知函数是奇函数．
求实数的值；
判断并用定义证明在定义域上的单调性；
若，不等式成立，求实数的取值范围；
17.本小题分
我们知道，函数的图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于中心对称的充要条件是为奇函数．
类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴对称的充要条件是为偶函数”的一个推广结论；
直接写出函数的图象的对称中心，并证明你的结论；
已知函数，函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，，，，其中为正整数，求结果用表示．
18.本小题分
中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元．
求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额；
使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由注：年平均盈利额
19.本小题分
已知幂函数，满足．
求函数的解析式．
若函数，，是否存在实数使得的最小值为？
若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.解：不等式的解集为，
故，是方程的两实根，
由韦达定理得即，
所以，
其解集为
“”是“”的充分不必要条件等价于，
分两种情况考虑：当时，方程无解，此时
当时，方程的解，即，
由的图象，数形结合可得或，
综上，实数的取值范围是
16.解：由题设，需，
，，
经验证，为奇函数，
；
在定义域上是减函数，
证明：任取，，且，则，
，
，
，
，
，
，即，
该函数在定义域上是减函数；
由，得，
是奇函数，
，
由知，是减函数，
原问题转化为，
即对任意恒成立，
，解得，
所以实数的取值范围是：．
17.解：“函数的图象关于轴对称的充要条件是为偶函数”的一个推广结论是：函数的图象关于直线轴对称的充要条件是为偶函数
函数的图象的对称中心是．
证明如下：因为，
是奇函数，
故函数的图象的对称中心是
因为，为奇函数，故关于中心对称．
又为奇函数，故也关于中心对称．
故函数与的图象的交点关于于中心对称，
它们两个一组，每组横坐标之和为，共组，
故．
18.解：由题意可得，
即该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额，；
方案二更合理，理由如下：
方案一：总盈利额开口向下，
对称轴为直线，
故当时，单调递增，当时，单调递减，且，
即当或时，取得最大值
此时处理掉设备，则总利额为万元
方案二：平均盈利额为
，
当且仅当，即时，等号成立
即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备：总利润为万元
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适．
19.【解答】解：是幂函数，得，解得：或，
当时，在单调递减，不满足；
当时，在单调递增，满足，
故得，函数的解析式为
由函数，即，
令，，，
记，其开口向上，对称轴为直线，
当，即时，在单调递增，则，解得：
当时，即，在单调递减，在单调递增，则，无解
当时，即时，在单调递减，则，解得：，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，，使函数在上的值域为，则，
可得：，
，
将代入得，，
令，，，即，
，，即，，
得：在单调递减，时，，时，故得实数的取值范围．
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