北京市回民学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·北京市开学考）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
2．（2024九上·北京市开学考）一元二次方程二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，1 B．3， C．3，1 D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴二次项系数3，一次项系数分别为，
故答案为：B．
【分析】
根据一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是、、为常数，”即可求解．
3．（2024九上·北京市开学考）若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：x1·x2=，
∵a=1，c=-3，x2=1，
∴x1·1=，
∴．
故答案为：A．
【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系“x1·x2=”可得关于x1的方程，解方程即可求解．
4．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，将一次函数y=2x+2的图象沿x轴向右平移m（m>0）个单位后，经过点(4，2)，则m的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数y=2x+4的图象沿x轴沿右平移m（m＞0）个单位后得到的函数解析式为：
y=2（x-m）+2，
由题意，把点（4，2）代入可得：
2=2（4-m）+2，
解得：m=4．
故答案为：A．
【分析】根据直线的平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后一次函数的解析式为y=2（x-m）+2，然后把点（4，2）代入可得关于m的方程，解方程即可求解.
5．（2024九上·北京市开学考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
6．（2024九上·北京市开学考）问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
【答案】A
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：甲：四边形是菱形，
，，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
丙：由甲和乙可知，乙错误．
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故答案为：A．
【分析】甲：由题意，用边角边可证△BAF≌△DAF、△BAF≌△BCE、△DCE≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可得，再根据有四条边都相等的四边形是菱形可得四边形是菱形；乙：连接交于，由菱形的性质得，，，结合已知并根据线段的构成OA+AF=OC=CE可得，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得四边形是菱形；
丙：由甲和乙可知，乙错误．
7．（2024九上·北京市开学考）如图，佳佳设计了一种挖宝游戏，屏幕上正方形是宝藏区（含正方形边界），其中，，沿直线行走，则游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为： ，
把点 代入 得：
，解得： ，
把点 代入 得：
，解得： ，
∴游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为： ，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出点D的坐标，再将点B、D的坐标分别代入求出b的值，即可得到b的取值范围。
8．（2024九上·北京市开学考）已知一次函数 ( 为常数)的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一次函数图象经过一、三象限，
∴k＞0，
∵图像过第二象限，
∴图像与y轴正半轴相交，即b＞0，
∴kb＞0，A选项符合题意，B选项不符合题意；
k-b不确定正负，故C选项不符合题意；
k+b＞0，故D选项不符合题意.
故答案为：A
【分析】若一次函数图象经过一、三象限，则k＞0，若图像过第二象限，则图像与y轴正半轴相交，所以b＞0，依次判断选项结果即可得到符合题意答案.
9．（2024九上·北京市开学考）关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴方程有两个相等的实数根
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再判断b2-4ac与0的大小关系，即可作出判断。
10．（2024九上·北京市开学考）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为（ ）
A．x＞2 B．0＜x＜4
C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式（kx+b）（mx+n）＞0，
∴（kx+b）和（mx+n）同号，∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为：﹣1＜x＜4，
故答案为：C．
【分析】根据不等式（kx+b）（mx+n）＞0可知：（kx+b）和（mx+n）同号，结合图形可得：两函数在x轴下方的x的值符合题意，再结合图象即可求解．
二、填空题（11、13－15题每题4分，12题6分，共22分）
11．（2024九上·北京市开学考）关于x的一元二次方程是一元二次方程，则a满足 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的定义"只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程"并结合题意可得关于a的不等式，解这个不等式即可求解．
12．（2024九上·北京市开学考）用公式法解方程时， ， ， ．
【答案】1；3；
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，，
故答案为：1，3，．
【分析】一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式可通过移项将原方程化为一般形式即可求解.
13．（2024九上·北京市开学考）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为 ．
【答案】（x﹣4）2=17．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
故答案为 ．
【分析】利用配方法的步骤求解即可。
14．（2024九上·北京市开学考）多项式的值等于11，则a的值为 ．
【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵多项式的值等于11，
∴，
，
解得：或，
故答案为：或3．
【分析】由多项式的值等于11可得关于a的一元二次方程，解方程即可求解．
15．（2024九上·北京市开学考）如图，在中，，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，连结BE，DF，已知则 ．
【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，E为AC的中点，
，
分别为AB，BC的中点，
∴DF=AC，
∴DF=BE，
∵BE=5，
∴DF=BE=5．
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得BE=AC；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得DF=AC，由等量代换得DF=BE即可求解．
三、解答题（共38分）
16．（2024九上·北京市开学考）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
∴或，
解得：，．
∴原方程的解为：x1=3，x2=-1.
（2）解：，
移项得：，
开平方得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
∴原方程的解为：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法将原方程的左边分解因式，然后可得关于x的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（2）用直接开平方法即可求解．
（1）解：，
，
，
则或，
解得：，．
（2）解：，
，
，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴方程组的解为：，．
17．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，，
∴把代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式；
（2）解：m的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：由（1）得：一次函数的解析式，
当时，，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
把代入得：，
∴，
解得：．
当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值，
∴综上，m的取值范围为：.
【分析】（1）将点（0，2）及（4，-2）分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，解该方程组求出k、b的值，从而即可得到所求的一次函数解析式；
（2）令（1）所求函数解析式中的x=4算出y=-2，再将x=4代入y=mx+m可得y=5m，然后结合y=kx+b的函数值大于y=mx+m的函数值，分两种情况：①相交时列出关于字母m的不等式求解得出m的取值范围；②平行时，可得m=-1，综上并结合图象的性质即可求解．
18．（2024九上·北京市开学考）如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵，四边形是矩形，
∴
∵，G为中点，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥DE，结合BE∥AC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEC是平行四边形，进而根据平行四边形的对边相等即可得出结论；
（2）根据矩形的对角线相等、四个角都是直角及勾股定理得出AC的长度，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得GF的长．
北京市回民学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·北京市开学考）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·北京市开学考）一元二次方程二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，1 B．3， C．3，1 D．，
3．（2024九上·北京市开学考）若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，将一次函数y=2x+2的图象沿x轴向右平移m（m>0）个单位后，经过点(4，2)，则m的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024九上·北京市开学考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
6．（2024九上·北京市开学考）问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
7．（2024九上·北京市开学考）如图，佳佳设计了一种挖宝游戏，屏幕上正方形是宝藏区（含正方形边界），其中，，沿直线行走，则游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·北京市开学考）已知一次函数 ( 为常数)的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·北京市开学考）关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．（2024九上·北京市开学考）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为（ ）
A．x＞2 B．0＜x＜4
C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
二、填空题（11、13－15题每题4分，12题6分，共22分）
11．（2024九上·北京市开学考）关于x的一元二次方程是一元二次方程，则a满足 ．
12．（2024九上·北京市开学考）用公式法解方程时， ， ， ．
13．（2024九上·北京市开学考）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为 ．
14．（2024九上·北京市开学考）多项式的值等于11，则a的值为 ．
15．（2024九上·北京市开学考）如图，在中，，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，连结BE，DF，已知则 ．
三、解答题（共38分）
16．（2024九上·北京市开学考）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
17．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
18．（2024九上·北京市开学考）如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴二次项系数3，一次项系数分别为，
故答案为：B．
【分析】
根据一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是、、为常数，”即可求解．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：x1·x2=，
∵a=1，c=-3，x2=1，
∴x1·1=，
∴．
故答案为：A．
【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系“x1·x2=”可得关于x1的方程，解方程即可求解．
4．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数y=2x+4的图象沿x轴沿右平移m（m＞0）个单位后得到的函数解析式为：
y=2（x-m）+2，
由题意，把点（4，2）代入可得：
2=2（4-m）+2，
解得：m=4．
故答案为：A．
【分析】根据直线的平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后一次函数的解析式为y=2（x-m）+2，然后把点（4，2）代入可得关于m的方程，解方程即可求解.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：甲：四边形是菱形，
，，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
丙：由甲和乙可知，乙错误．
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故答案为：A．
【分析】甲：由题意，用边角边可证△BAF≌△DAF、△BAF≌△BCE、△DCE≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可得，再根据有四条边都相等的四边形是菱形可得四边形是菱形；乙：连接交于，由菱形的性质得，，，结合已知并根据线段的构成OA+AF=OC=CE可得，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得四边形是菱形；
丙：由甲和乙可知，乙错误．
7．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为： ，
把点 代入 得：
，解得： ，
把点 代入 得：
，解得： ，
∴游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为： ，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出点D的坐标，再将点B、D的坐标分别代入求出b的值，即可得到b的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一次函数图象经过一、三象限，
∴k＞0，
∵图像过第二象限，
∴图像与y轴正半轴相交，即b＞0，
∴kb＞0，A选项符合题意，B选项不符合题意；
k-b不确定正负，故C选项不符合题意；
k+b＞0，故D选项不符合题意.
故答案为：A
【分析】若一次函数图象经过一、三象限，则k＞0，若图像过第二象限，则图像与y轴正半轴相交，所以b＞0，依次判断选项结果即可得到符合题意答案.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴方程有两个相等的实数根
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再判断b2-4ac与0的大小关系，即可作出判断。
10．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式（kx+b）（mx+n）＞0，
∴（kx+b）和（mx+n）同号，∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为：﹣1＜x＜4，
故答案为：C．
【分析】根据不等式（kx+b）（mx+n）＞0可知：（kx+b）和（mx+n）同号，结合图形可得：两函数在x轴下方的x的值符合题意，再结合图象即可求解．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的定义"只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程"并结合题意可得关于a的不等式，解这个不等式即可求解．
12．【答案】1；3；
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，，
故答案为：1，3，．
【分析】一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式可通过移项将原方程化为一般形式即可求解.
13．【答案】（x﹣4）2=17．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
故答案为 ．
【分析】利用配方法的步骤求解即可。
14．【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵多项式的值等于11，
∴，
，
解得：或，
故答案为：或3．
【分析】由多项式的值等于11可得关于a的一元二次方程，解方程即可求解．
15．【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，E为AC的中点，
，
分别为AB，BC的中点，
∴DF=AC，
∴DF=BE，
∵BE=5，
∴DF=BE=5．
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得BE=AC；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得DF=AC，由等量代换得DF=BE即可求解．
16．【答案】（1）解：，
，
，
∴或，
解得：，．
∴原方程的解为：x1=3，x2=-1.
（2）解：，
移项得：，
开平方得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
∴原方程的解为：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法将原方程的左边分解因式，然后可得关于x的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（2）用直接开平方法即可求解．
（1）解：，
，
，
则或，
解得：，．
（2）解：，
，
，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴方程组的解为：，．
17．【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，，
∴把代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式；
（2）解：m的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：由（1）得：一次函数的解析式，
当时，，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
把代入得：，
∴，
解得：．
当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值，
∴综上，m的取值范围为：.
【分析】（1）将点（0，2）及（4，-2）分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，解该方程组求出k、b的值，从而即可得到所求的一次函数解析式；
（2）令（1）所求函数解析式中的x=4算出y=-2，再将x=4代入y=mx+m可得y=5m，然后结合y=kx+b的函数值大于y=mx+m的函数值，分两种情况：①相交时列出关于字母m的不等式求解得出m的取值范围；②平行时，可得m=-1，综上并结合图象的性质即可求解．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵，四边形是矩形，
∴
∵，G为中点，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥DE，结合BE∥AC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEC是平行四边形，进而根据平行四边形的对边相等即可得出结论；
（2）根据矩形的对角线相等、四个角都是直角及勾股定理得出AC的长度，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得GF的长．
