第十三章 轴对称
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 平面内点A（－1，2）和点B（－1，6）的对称轴是（ ）
A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝－1
3. 如图，在△ABC中，已知AC＝50，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若BE的长为27，则EC的长是（ ）
第3题图
A.50 B.27 C.23 D.25
4. 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A'，D'.若∠2＝α，则∠1的度数为（ ）
第4题图
A.2α B.90°－α C.90°－α D.90°－α
5. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（1，2），则经过第2 024次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A.（1，－2） B.（－1，－2） C.（－1，2） D.（1，2）
6. 小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8 cm，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2 cm，则OM的长为（ ）
第7题图
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.1 cm
8. 如图，△ABC的面积为10 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
第8题图
A.3 cm2 B.4 cm2 C.5 cm2 D.6 cm2
9. 在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
第9题图
A.A点处 B.D点处
C.AD的中点处 D.△ABC三条高的交点处
10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看成是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： .
第11题图
12. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将球M射向桌面的一边，反弹一次后击中球N，则A，B，C，D这4个点中，可以反弹击中球N的是点 .
第12题图
13. 等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是 .
14. 如图，△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝12 cm，则△OMN的周长为 .
第14题图
15. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 .
第15题图
三、解答题（本大题共7个小题，共75分）
16. （10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1），B（1，－2），C（3，－3）.
（1）将△ABC向上平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1.
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2.
（3）请写出点C1，B2的坐标.
17. （10分）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D.为方便群众用水，该地决定在∠AOB内部再启动一个水塔P，要求同时满足：
（1）到两条公路OA，OB的距离相等.
（2）到两村庄C，D的距离相等.
请你用直尺和圆规作出水塔P的位置（保留作图痕迹）.
18. （10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数.
（2）求证：CD＝CF.
19. （10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形.
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形.
20. （11分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC，交CD于点F，延长AB，DC交于点E.
（1）求证：AC平分∠EAF.
（2）求证：∠FAD＝∠E.
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长.
21. （12分）
下面是用折纸的方法作角平分线.
探究：
仿照下图，通过折纸作角平分线.
如图，将纸片折叠，使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线.
（1）如图1，点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连接PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B分别落在PQ上的点A'，点B'处，点C落在C'处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 .
（2）如图2，将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A'，B'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.
①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；
②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）.
（3）将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3.若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）.
22. （12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠BCE＝β.
（1）如图1，当点D在线段BC上移动时，
①写出α与β之间的数量关系，并说明理由；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE的面积是 .
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上移动时，写出线段BC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由.第十三章 轴对称
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，其中是轴对称图形的是（ D ）
A. B. C. D.
2. 平面内点A（－1，2）和点B（－1，6）的对称轴是（ C ）
A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝－1
3. 如图，在△ABC中，已知AC＝50，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若BE的长为27，则EC的长是（ C ）
第3题图
A.50 B.27 C.23 D.25
4. 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A'，D'.若∠2＝α，则∠1的度数为（ D ）
第4题图
A.2α B.90°－α C.90°－α D.90°－α
5. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（1，2），则经过第2 024次变换后点A的对应点的坐标为（ D ）
A.（1，－2） B.（－1，－2） C.（－1，2） D.（1，2）
6. 小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（ C ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8 cm，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2 cm，则OM的长为（ B ）
第7题图
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.1 cm
8. 如图，△ABC的面积为10 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为（ C ）
第8题图
A.3 cm2 B.4 cm2 C.5 cm2 D.6 cm2
9. 在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ D ）
第9题图
A.A点处 B.D点处
C.AD的中点处 D.△ABC三条高的交点处
10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ A ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看成是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： 将△ABC沿y轴翻折，再将得到的三角形向下平移3个单位长度（答案不唯一） .
第11题图
12. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将球M射向桌面的一边，反弹一次后击中球N，则A，B，C，D这4个点中，可以反弹击中球N的是点 D .
第12题图
13. 等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是 50°或80° .
14. 如图，△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝12 cm，则△OMN的周长为 12cm .
第14题图
15. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 80° .
第15题图
三、解答题（本大题共7个小题，共75分）
16. （10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1），B（1，－2），C（3，－3）.
（1）将△ABC向上平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1.
如下图.
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2.
如下图.
（3）请写出点C1，B2的坐标.
C1（3，1），B2（－1，－2）.
17. （10分）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D.为方便群众用水，该地决定在∠AOB内部再启动一个水塔P，要求同时满足：
（1）到两条公路OA，OB的距离相等.
（2）到两村庄C，D的距离相等.
请你用直尺和圆规作出水塔P的位置（保留作图痕迹）.
解：如图，点P即为所求.
18. （10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－60°＝30°.
（2）求证：CD＝CF.
解：（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝60°，∠EDC＝∠B＝60°.
∴CE＝CD.
∵∠ACB＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°.
∴CE＝CF.
∴CD＝CF.
19. （10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形.
解：（1）根据题意可得AD＝t，CD＝6－t，CE＝2t.
∵∠B＝30°，AC＝6cm，
∴BC＝2AC＝12cm.
∵∠C＝90°－∠B＝60°，
∴CD＝CE时，△DEC为等边三角形.
∴6－t＝2t，解得t＝2.
∴当t为2时，△DEC为等边三角形.
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形.
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°，
∴CE＝DC.∴2t＝（6－t），
解得t＝.
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°，
∴CD＝CE.∴6－t＝×2t，解得t＝3.
∴当t为或3时，△DEC为直角三角形.
20. （11分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC，交CD于点F，延长AB，DC交于点E.
（1）求证：AC平分∠EAF.
证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC.∴∠BAC＝∠BCA.
∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA.
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF.
（2）求证：∠FAD＝∠E.
证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC.
∴∠DAC＝∠DCA.
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E＋∠EAC.
∴∠E＋∠EAC＝∠FAD＋∠CAF.
∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E.
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长.
解：如图，过点C作CM⊥AE，垂足为M.
∵∠EAD＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°.
∵∠FAD＝∠E，∴∠FAD＋∠ADE＝90°.
∴∠AFD＝90°.∴CF⊥AF.
∵△AEC的面积为.∴AE·CM＝.
∵AE＝5，∴CM＝.∵AC平分∠EAF，
CM⊥AE，CF⊥AF，∴CF＝CM＝.
21. （12分）
下面是用折纸的方法作角平分线.
探究：
仿照下图，通过折纸作角平分线.
如图，将纸片折叠，使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线.
（1）如图1，点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连接PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B分别落在PQ上的点A'，点B'处，点C落在C'处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 90° .
（2）如图2，将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A'，B'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.
①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；
解：（2）①由折叠可知，∠APA'＝2∠APN＝2∠A'PN＝60°，∠BPB'＝2∠BPM＝2∠B'PM.
∵∠A'PB'＝20°，
∴∠BPB'＝180°－∠APA'－∠A'PB'＝100°.
∴∠BPM＝∠B'PM＝∠BPB'＝50°.
∴∠NPM＝∠A'PN＋∠A'PB'＋∠B'PM＝100°.
②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）.
解：②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），则∠APA'＋∠BPB'＝180°－α，
∴∠A'PN＋∠MPB'＝（∠APA'＋∠BPB'）＝90°－.
∴∠NPM＝∠A'PN＋∠MPB'＋∠A'PB'＝90°－＋α＝90°＋.
（3）将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3.若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）.
解：（3）∠NPM＝90°－.
22. （12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠BCE＝β.
（1）如图1，当点D在线段BC上移动时，
①写出α与β之间的数量关系，并说明理由；
解：（1）①α＋β＝180°.
理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC.
∴∠CAE＝∠BAD.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠BAC＋∠ABD＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝180°.
∴∠BAC＋∠BCE＝180°，即α＋β＝180°.
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE的面积是 3 .
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上移动时，写出线段BC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由.
解：（2）CE＝BC＋CD.
理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD.
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD＝CE.
∵BD＝BC＋CD，
∴CE＝BC＋CD.
