专项复习提升（三） 轴对称
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024河南焦作·期末）如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2024河南鹤壁·期末）在中，，，，用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024河南开封·期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点的周长为13，则的周长是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
5．（2024河南南阳·期末）如图，在中，垂直平分交于点D，交于点E．若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024河南郑州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为 ．
7．（2024河南商丘·期末）如图，已知锐角．
(1)尺规作图．作AC边的垂直平分线交BC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若与有什么关系 并说明理由．
8．（2024河南新乡·期末）如图，在四边形中，．求证：垂直平分．
9．（2024河南郑州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均为格点，请按下列要求画图（尺规作图或三角尺作图均可，不要求写作法）．
(1)在格点上找一点，使得为的角平分线；
(2)在线段上找一点，使得．
10．（2024河南郑州·期末）晴日暖风生麦气，绿阴幽草胜花时，正是放风筝的好时节，小明想制作一款自己喜欢的风筝．经调查，风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分组成．
(1)如图1，小明制作风筝面时，在网格纸中以直线l为对称轴，请你在图中帮他画出风筝的另一半．
(2)如图2，在制作骨架时，小明的作法：作线段，以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点D，E，在上取点M，连接，、， ，线段所在的直线称为线段的 ，则 ，理由是 ．
(3)如图2， 扎完骨架后，平分吗？ 并说明理由．
考点二 等腰三角形的性质与判定
1．（2024河南焦作·期末）如图，中，是的中点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
2．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，平分，交于点，若，则为（ ）度．
A． B． C． D．
3．（2024河南焦作·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边长为3，则腰的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6
4．（2024河南南阳·期末）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024河南焦作·期末）如图，将一张长方形纸片按图中所示的方式进行折叠，若，，，则重叠部分的面积是（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．20
6．（2024河南郑州河南实验中学·期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
7．（2024河南平顶山·期末）如图，是边AB上的高，且．分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧的交点为M，N，直线恰好经过点D，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024河南焦作·期末）如图，、都是等边三角形，那么以下结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024河南鹤壁·期末）如图，直线，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数为 .
10．（2024河南南阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．
11．（2024河南郑州·期末）如图，在中， 按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则 ．
12．（2024河南平顶山·期末）如图，是边上的高，且，，则的面积为 ．
13．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ．
14．（2024河南南阳·期末）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
15．（2024河南新乡·期末）在等腰三角形 中， 的垂直平分线 交直线 于点E，连接 ，如果 ，那么 的度数为_______．
16．（2024河南平顶山·期末）如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为 ．
17．（2024河南南阳·期末）如图，在中，，．
(1)在线段上找一点，连接，使得；（尺规作图）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
18．（2024河南鹤壁·期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．
(1)在图①中画出一个以为腰的等腰直角三角形；
(2)在图②中画出一个以为底的等腰三角形，其面积为______．
19．（2024河南平顶山·期末）如图，在中，，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别与，交于点，，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)求证：．
20．（2024河南驻马店·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．
21．（2024河南郑州·期末）在△ABC中，，，作等腰三角形．如图1，小智的方法是以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形；小慧的方法是作的垂直平分线，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形．
(1)根据小智的方法，是等腰三角形的依据是 ；
(2)根据小慧的方法，在图2中尺规作图并求出的度数．
22．（2024河南新乡·期末）如图，在等腰三角形中，，请按要求作答：
(1)请用尺规作边的垂直平分线交于点D，交于点E；（保留痕迹，不写作法）
(2)若，求线段的长．
23．（2024河南鹤壁·期末）问题原型：（1）如图1，在锐角中，，于点D，在AD上取点E，连接BE，使．求证：；
问题拓展：（2）如图2，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使，连接CM．判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由；
问题延伸：（3）在上述问题原型和问题拓展条件及结论下，在图②中，若连接AM，则为 三角形．
考点三 最短路径问题
1．（2023河南南阳·期末）已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河南驻马店·期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．（2024河南郑州·期末）如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为9.6，则 的面积为（ ）
A．96 B．48 C．38 D．24
4．（2024河南新乡·期末）如图，在等边三角形 中， 为 的平分线，在 上分别取点 ，且 ，在 上有一动点P，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
5．（2023河南许昌许昌市第一中学·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．11 D．13
6．（2023河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
7．（2024河南焦作·期末）如图，在中，，，，平分交于点，点是上的动点，是上动点，则的最小值为 ．
8．（2024河南洛阳·期末）如图，在锐角三角形中，，．的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
参考答案
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线性质知，，的周长．
【详解】解：∵垂直平分
∴，
∴的周长
故此题答案为D．
2．【答案】C
【分析】先由线段的和差关系得到，由作图方法可知垂直平分，则．
【详解】解：∵在中， ，
∴，
由作图方法可知垂直平分，
∴，
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】此题考查了尺规作图，掌握垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到两端距离相等”，根据得出点D在的垂直平分线上．
【详解】解：A、由作图可知，，不能得到，故A不符合题意；
B、由作图可知，平分，不能得到，故B不符合题意；
C、由作图可知，，不能得到，故C不符合题意；
D、由作图可知，该直线为的垂直平分线，则，故D符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】D
【分析】根据基本作图和线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：根据作图痕迹可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=3即AC=6，
∵的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC=13，
∴的周长＝AB+BC+AC＝13+6=19，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查基本尺规作图-作垂线、线段垂直平分线的性质，判断出直线MN为线段AC的垂直平分线是解答的关键．
5．【答案】B
【分析】此题主要考查线段垂直平分线的性质，由题意可知，因此的周长，据此可解即可，解题关键在于求出．
【详解】解：∵垂直平分交于点D，
∴，
∴的周长
，
故此题答案为B．
6．【答案】/108度
【分析】由线段垂直平分线的性质得，从而，由三角形内角和求出即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，在的两边相交于两点，然后过两交点作直线即可；
（2）如图：连接AD．根据垂直平分线的性质可得，进而得到；然后再说明可得，最后再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：．理由如下：
连接AD．
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【关键点拨】此题主要考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角等知识点，正确作出垂直平分线是解答此题的关键．
8．【答案】见解析
【分析】此题主要考查了直角三角形全等的证明、等腰三角形垂直平分线的判定，解题的关键在于
利用证明，可得，故点C在线段的垂直平分线上，且，故点A在线段的垂直平分线上，即可得是线段的垂直平分线．
【详解】证明：∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点C在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
即是线段的垂直平分线．
9．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，轴对称找到点关于的对称点，连接，则为的角平分线；
（2）根据网格的特点画出的垂直平分线，交于点，则，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求，
二者均对
（2）解：如图所示，点即为所求．
10．【答案】(1)见解析；(2)垂直平分线；；垂直平分线的点到线段两端距离相等；(3)平分；理由见解析
【详解】（1）如图所示，
（2）根据作图可得，线段所在的直线称为线段的垂直平分线，
则，理由是垂直平分线的点到线段两端距离相等；
（3）平分，理由如下：
∵所在的直线称为线段垂直平分线，∴，.
又∵，∴，∴，∴平分．
考点二 等腰三角形的性质与判定
1．【答案】D
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确．
【详解】解：∵中，，D是中点
∴，即平分，
故A、B、C三项正确， D不正确．
故此题答案为D．
2．【答案】B
【分析】题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为求解此题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
把代入等式，得，
解得，
故此题答案为B．
3．【答案】C
【分析】此题考查等腰三角形，三角形的三边关系．分类讨论：或，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵是等腰三角形，底边，
∴．
当时，是“倍长三角形”；
当时，，
根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
∴当等腰是“倍长三角形”，底边，则腰的长为6．
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解：等腰三角形有一个内角为，
∴这个等腰三角形的底角是，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．
5．【答案】C
【分析】此题考查折叠性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，证明即可求解．
【详解】解：由折叠性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴重叠部分的面积是，
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
【详解】解：因为三角形是轴对称图形，
则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形．
故此题答案为C．
7．【答案】A
【分析】由高的定义可得，再根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和可得，，再根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵是边上的高，∴，
由作图可知，是线段的垂直平分线，∴，
∴,
∵，∴,
∴．
故此题答案为A．
8．【答案】D
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，
首先根据等边三角形的性质得，，，再结合角之间的关系可证，然后利用全等三角形的性质和角的和差关系即可逐项判断；
【详解】、都是等边三角形，
，，，
， ，
，
和中
在
，
，故A选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，
故B选项不符合题意；
当D、A、E、在同一条直线时，
在和中
，
，
当D、A、E不在同一条直线时，
，
不一定成立，故此题答案为项D符合题意．
故此题答案为D
9．【答案】/度
【分析】此题考查了等腰三角形的性质三角形的内角和定理，平行线的性质；先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：．
10．【答案】
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
11．【答案】/度
【分析】根据题意得出垂直平分，则，推出，最后根据，即可得出．
【详解】解：由作图可知垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
12．【答案】4
【分析】根据三角形的外角的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∴，
∵是边上的高，∴，
∴，则的面积．
13．【答案】4或2/2或4
【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵将沿翻折，点A的对应点为F，
∴，，
∴，
∴当为直角三角形时，分两种情况：
①当时，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
②当时，如图，
则：，
∴，
∴，
∴；
综上：或
14．【答案】或
【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
∴可分类讨论：①当时，如图1，
∴；
②当时，如图2，
综上可知的度数是或．
故此题答案为：或．
【关键点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答此题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
15．【答案】 或
【分析】分类讨论，当点 在线段 上，当点 在线段 的反向延长线时，根据等腰三角形的性质，内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，设 ，则 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ 是 的外角，且 ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ；
如图所示，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【关键点拨】此题主要考查三角形的内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质，理解等腰三角形的性质，掌握内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
16．【答案】或或
【分析】由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解：当经过顶点时，如图1，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；当时，重合，经过顶点，此时；当经过顶点，时，此时不成立；当重合， 经过顶点，如图3，同理，是等边三角形，则，，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解：
当经过顶点时，如图1，
由旋转的性质可知，，，，，∴是等边三角形，∴，
∴，，∴是等边三角形，
∴，∴；
当时，重合， 经过顶点，如图2，
此时；
当经过顶点时，
当，此时重合，，
当，此时不成立；
当重合， 经过顶点，如图3，
同理，是等边三角形，∴，
∴，
综上所述，的度数为或或．
17．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了作图复杂作图以及等腰三角形的性质．
（1）作的垂直平分线交于点，则点满足条件；
（2）先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后计算即可．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
；
（2）解：，．
，
，
，
．
18．【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析，．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可作图；
（2）根据等腰三角形的性质即可作图，利用矩形面积减去三个小的直角三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：为所求
（2）解：如图所示：为所求
．
【关键点拨】此题考查了三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的知识点．
19．【答案】(1)
(2)图见解析
(3)证明见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，角的平分线，线段垂直平分线的作图，平行线的判定．
(1)根据，，求得度数，再根据是的平分线计算即可．
(2)根据尺规作图的基本步骤画图即可．
(3)根据垂直平分线的性质，结合平行线的判定证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
又是的平分线，
∴．
（2）如图所示
则直线即为所求．
（3）∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴．
又是的平分线，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】(1)证明见解析;
(2)
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
（2）∵，
∴
∴在中，．
∴．
∵，
∴．
∴．
21．【答案】(1)两边相等的三角形是等腰三角形
(2)作图见解析，
【分析】（1）根据等腰三角形的定义判断；
（2）求出，，可得结论．
【详解】（1）解：∵以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴根据小智的方法，是等腰三角形的依据是两边相等的三角形是等腰三角形
（2）如图所示，
∵，，
∴，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴
∴的度数为．
22．【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，进行作图即可；
（2）连接，易得，根据等边对等角，推出，，进而得到，利用含度角的直角三角形的性质，即可求出结果．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵在中，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【关键点拨】此题考查尺规作垂线，中垂线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
23．【答案】（1）答案见解析 （2）AC=CM （3）等腰直角
【分析】（1）由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90 ，又由∠ABC=45°易得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，由HL定理可得RT△BDE≌RT△ADC，即可得答案；
（2）利用SAS判断△BEF≌△CMF，得出BE=CM，即可得出结论；
（3）由（1）和（2）的结论判断出△ACM是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90 ，
∴∠ABC=45°
∴∠BAD=45°
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD，
在RT△BDE和RT△ADC中，
∴△BDE≌△ADC(HL)，
∴DE=CD；
（2）AC=CM，理由：
∵点F是BC中点，
∴BF=CF
在△BEF和△CMF中，
∴△BEF≌△CMF(SAS)，
∴BE=CM；
由(1)知，BE=AC，
∴AC=СM；
（3）如图②
连接AM，由(1)知，△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠ACD，
由(2)知，△BEF≌△CMF，
∴∠EBF=∠BCM，
∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°，
∵AC=CM，
∴△ACM为等腰直角三角形．
【关键点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质，判断三角形全等是解此题的关键．
考点三 最短路径问题
1．【答案】D
【分析】根据轴对称的性质以及线段的性质可得到结论．
【详解】解：根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．
故选：D
【点睛】主要考查轴对称的性质的应用，最短路线的数学模型问题，其次考查作图能力，要求学生能够把实际问题转化为数学模型．
2．【答案】D
【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质结合三角形的面积公式求出AD的长，再根据垂直平分线的性质知点C关于直线EF的对称点为点A，故A，M，D共线时△CDM的周长的最小，由此即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得，AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短，
故此题答案为D．
3．【答案】B
【分析】作，由，得到是等腰三角形，结合是边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，与中垂线的判定性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解
【详解】解：连接，作，垂足为，连接，
∵，
∴是等腰三角形，
∵是边的中线，
∴，，
∴是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∵的最小值为，
∴，
∴，
故此题答案为B．
4．【答案】B
【分析】作点N关于 的对称点 ，连接 交 于P，连接 ， ，此时 的值最小，最小值 ，求出结果即可．
【详解】解：如图，∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为 的平分线，
∴ ， ，
作点N关于 的对称点 ，连接 交 于P，连接 ， ，
根据轴对称可知， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 最小，
即 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵的周长，又是定值，
∴当最小时，的周长最小，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∴当A、G、D三点共线时，最小，最小值为的长，
∴的周长最短．
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
6．【答案】B
【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．
【详解】解：连接，
平分交于点，
，，
，
，
且，
当点在线段上时，的最小值是，
，
的最小值为7．
故此题答案为
7．【答案】
【分析】此题考查轴对称——最短问题，角平分线的定义，含的直角三角形的性质等知识，在射线上取一点，使得，过点A作于，证明，推出，根据垂线段最短即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
【详解】解：在射线上取一点，使得，过点A作于，
在中，∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知，当A，，共线且与重合时，的值最小，最小值为，
故此题答案为：．
8．【答案】5
【分析】此题考查轴对称的性质，的直角三角形的性质， 过作于，作关于的对称点，连接，证明在上，当，，共线，且垂直时，最短，即，在上，即的长，进一步可得答案．
【详解】解：过作于，作关于的对称点，连接，
∵平分，
∴在上，
∴，
当，，共线，且垂直时，最短，
即，在上，即的长，
，，
，
∴的最小值是5．
故此题答案为： 5
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线性质知，，的周长．
【详解】解：∵垂直平分
∴，
∴的周长
故此题答案为D．
2．（2024河南焦作·期末）如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先由线段的和差关系得到，由作图方法可知垂直平分，则．
【详解】解：∵在中， ，
∴，
由作图方法可知垂直平分，
∴，
故此题答案为C．
3．（2024河南鹤壁·期末）在中，，，，用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了尺规作图，掌握垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到两端距离相等”，根据得出点D在的垂直平分线上．
【详解】解：A、由作图可知，，不能得到，故A不符合题意；
B、由作图可知，平分，不能得到，故B不符合题意；
C、由作图可知，，不能得到，故C不符合题意；
D、由作图可知，该直线为的垂直平分线，则，故D符合题意；
故此题答案为D．
4．（2024河南开封·期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点的周长为13，则的周长是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【分析】根据基本作图和线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：根据作图痕迹可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=3即AC=6，
∵的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC=13，
∴的周长＝AB+BC+AC＝13+6=19，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查基本尺规作图-作垂线、线段垂直平分线的性质，判断出直线MN为线段AC的垂直平分线是解答的关键．
5．（2024河南南阳·期末）如图，在中，垂直平分交于点D，交于点E．若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查线段垂直平分线的性质，由题意可知，因此的周长，据此可解即可，解题关键在于求出．
【详解】解：∵垂直平分交于点D，
∴，
∴的周长
，
故此题答案为B．
6．（2024河南郑州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】由线段垂直平分线的性质得，从而，由三角形内角和求出即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
7．（2024河南商丘·期末）如图，已知锐角．
(1)尺规作图．作AC边的垂直平分线交BC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若与有什么关系 并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，在的两边相交于两点，然后过两交点作直线即可；
（2）如图：连接AD．根据垂直平分线的性质可得，进而得到；然后再说明可得，最后再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：．理由如下：
连接AD．
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【关键点拨】此题主要考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角等知识点，正确作出垂直平分线是解答此题的关键．
8．（2024河南新乡·期末）如图，在四边形中，．求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了直角三角形全等的证明、等腰三角形垂直平分线的判定，解题的关键在于
利用证明，可得，故点C在线段的垂直平分线上，且，故点A在线段的垂直平分线上，即可得是线段的垂直平分线．
【详解】证明：∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点C在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
即是线段的垂直平分线．
9．（2024河南郑州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均为格点，请按下列要求画图（尺规作图或三角尺作图均可，不要求写作法）．
(1)在格点上找一点，使得为的角平分线；
(2)在线段上找一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，轴对称找到点关于的对称点，连接，则为的角平分线；
（2）根据网格的特点画出的垂直平分线，交于点，则，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求，
二者均对
（2）解：如图所示，点即为所求．
10．（2024河南郑州·期末）晴日暖风生麦气，绿阴幽草胜花时，正是放风筝的好时节，小明想制作一款自己喜欢的风筝．经调查，风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分组成．
(1)如图1，小明制作风筝面时，在网格纸中以直线l为对称轴，请你在图中帮他画出风筝的另一半．
(2)如图2，在制作骨架时，小明的作法：作线段，以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点D，E，在上取点M，连接，、， ，线段所在的直线称为线段的 ，则 ，理由是 ．
(3)如图2， 扎完骨架后，平分吗？ 并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)垂直平分线；；垂直平分线的点到线段两端距离相等；(3)平分；理由见解析
【详解】（1）如图所示，
（2）根据作图可得，线段所在的直线称为线段的垂直平分线，
则，理由是垂直平分线的点到线段两端距离相等；
（3）平分，理由如下：
∵所在的直线称为线段垂直平分线，∴，.
又∵，∴，∴，∴平分．
考点二 等腰三角形的性质与判定
1．（2024河南焦作·期末）如图，中，是的中点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确．
【详解】解：∵中，，D是中点
∴，即平分，
故A、B、C三项正确， D不正确．
故此题答案为D．
2．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，平分，交于点，若，则为（ ）度．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为求解此题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
把代入等式，得，
解得，
故此题答案为B．
3．（2024河南焦作·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边长为3，则腰的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6
【答案】C
【分析】此题考查等腰三角形，三角形的三边关系．分类讨论：或，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵是等腰三角形，底边，
∴．
当时，是“倍长三角形”；
当时，，
根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
∴当等腰是“倍长三角形”，底边，则腰的长为6．
故此题答案为C．
4．（2024河南南阳·期末）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解：等腰三角形有一个内角为，
∴这个等腰三角形的底角是，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．
5．（2024河南焦作·期末）如图，将一张长方形纸片按图中所示的方式进行折叠，若，，，则重叠部分的面积是（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．20
【答案】C
【分析】此题考查折叠性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，证明即可求解．
【详解】解：由折叠性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴重叠部分的面积是，
故此题答案为C．
6．（2024河南郑州河南实验中学·期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
【答案】C
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
【详解】解：因为三角形是轴对称图形，
则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形．
故此题答案为C．
7．（2024河南平顶山·期末）如图，是边AB上的高，且．分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧的交点为M，N，直线恰好经过点D，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由高的定义可得，再根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和可得，，再根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵是边上的高，∴，
由作图可知，是线段的垂直平分线，∴，
∴,
∵，∴,
∴．
故此题答案为A．
8．（2024河南焦作·期末）如图，、都是等边三角形，那么以下结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，
首先根据等边三角形的性质得，，，再结合角之间的关系可证，然后利用全等三角形的性质和角的和差关系即可逐项判断；
【详解】、都是等边三角形，
，，，
， ，
，
和中
在
，
，故A选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，
故B选项不符合题意；
当D、A、E、在同一条直线时，
在和中
，
，
当D、A、E不在同一条直线时，
，
不一定成立，故此题答案为项D符合题意．
故此题答案为D
9．（2024河南鹤壁·期末）如图，直线，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数为 .
【答案】/度
【分析】此题考查了等腰三角形的性质三角形的内角和定理，平行线的性质；先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：．
10．（2024河南南阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
11．（2024河南郑州·期末）如图，在中， 按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则 ．
【答案】/度
【分析】根据题意得出垂直平分，则，推出，最后根据，即可得出．
【详解】解：由作图可知垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
12．（2024河南平顶山·期末）如图，是边上的高，且，，则的面积为 ．
【答案】4
【分析】根据三角形的外角的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∴，
∵是边上的高，∴，
∴，则的面积．
13．（2024河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】4或2/2或4
【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵将沿翻折，点A的对应点为F，
∴，，
∴，
∴当为直角三角形时，分两种情况：
①当时，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
②当时，如图，
则：，
∴，
∴，
∴；
综上：或
14．（2024河南南阳·期末）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
∴可分类讨论：①当时，如图1，
∴；
②当时，如图2，
综上可知的度数是或．
故此题答案为：或．
【关键点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答此题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
15．（2024河南新乡·期末）在等腰三角形 中， 的垂直平分线 交直线 于点E，连接 ，如果 ，那么 的度数为_______．
【答案】 或
【分析】分类讨论，当点 在线段 上，当点 在线段 的反向延长线时，根据等腰三角形的性质，内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，设 ，则 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ 是 的外角，且 ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ；
如图所示，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【关键点拨】此题主要考查三角形的内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质，理解等腰三角形的性质，掌握内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
16．（2024河南平顶山·期末）如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解：当经过顶点时，如图1，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；当时，重合，经过顶点，此时；当经过顶点，时，此时不成立；当重合， 经过顶点，如图3，同理，是等边三角形，则，，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解：
当经过顶点时，如图1，
由旋转的性质可知，，，，，∴是等边三角形，∴，
∴，，∴是等边三角形，
∴，∴；
当时，重合， 经过顶点，如图2，
此时；
当经过顶点时，
当，此时重合，，
当，此时不成立；
当重合， 经过顶点，如图3，
同理，是等边三角形，∴，
∴，
综上所述，的度数为或或．
17．（2024河南南阳·期末）如图，在中，，．
(1)在线段上找一点，连接，使得；（尺规作图）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了作图复杂作图以及等腰三角形的性质．
（1）作的垂直平分线交于点，则点满足条件；
（2）先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后计算即可．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
；
（2）解：，．
，
，
，
．
18．（2024河南鹤壁·期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．
(1)在图①中画出一个以为腰的等腰直角三角形；
(2)在图②中画出一个以为底的等腰三角形，其面积为______．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析，．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可作图；
（2）根据等腰三角形的性质即可作图，利用矩形面积减去三个小的直角三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：为所求
（2）解：如图所示：为所求
．
【关键点拨】此题考查了三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的知识点．
19．（2024河南平顶山·期末）如图，在中，，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别与，交于点，，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)证明见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，角的平分线，线段垂直平分线的作图，平行线的判定．
(1)根据，，求得度数，再根据是的平分线计算即可．
(2)根据尺规作图的基本步骤画图即可．
(3)根据垂直平分线的性质，结合平行线的判定证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
又是的平分线，
∴．
（2）如图所示
则直线即为所求．
（3）∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴．
又是的平分线，
∴，
∴，
∴．
20．（2024河南驻马店·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
（2）∵，
∴
∴在中，．
∴．
∵，
∴．
∴．
21．（2024河南郑州·期末）在△ABC中，，，作等腰三角形．如图1，小智的方法是以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形；小慧的方法是作的垂直平分线，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形．
(1)根据小智的方法，是等腰三角形的依据是 ；
(2)根据小慧的方法，在图2中尺规作图并求出的度数．
【答案】(1)两边相等的三角形是等腰三角形
(2)作图见解析，
【分析】（1）根据等腰三角形的定义判断；
（2）求出，，可得结论．
【详解】（1）解：∵以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴根据小智的方法，是等腰三角形的依据是两边相等的三角形是等腰三角形
（2）如图所示，
∵，，
∴，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴
∴的度数为．
22．（2024河南新乡·期末）如图，在等腰三角形中，，请按要求作答：
(1)请用尺规作边的垂直平分线交于点D，交于点E；（保留痕迹，不写作法）
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，进行作图即可；
（2）连接，易得，根据等边对等角，推出，，进而得到，利用含度角的直角三角形的性质，即可求出结果．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵在中，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【关键点拨】此题考查尺规作垂线，中垂线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
23．（2024河南鹤壁·期末）问题原型：（1）如图1，在锐角中，，于点D，在AD上取点E，连接BE，使．求证：；
问题拓展：（2）如图2，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使，连接CM．判断线段AC与CM的大小关系，井说明理由；
问题延伸：（3）在上述问题原型和问题拓展条件及结论下，在图②中，若连接AM，则为 三角形．
【答案】（1）答案见解析 （2）AC=CM （3）等腰直角
【分析】（1）由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90 ，又由∠ABC=45°易得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，由HL定理可得RT△BDE≌RT△ADC，即可得答案；
（2）利用SAS判断△BEF≌△CMF，得出BE=CM，即可得出结论；
（3）由（1）和（2）的结论判断出△ACM是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90 ，
∴∠ABC=45°
∴∠BAD=45°
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD，
在RT△BDE和RT△ADC中，
∴△BDE≌△ADC(HL)，
∴DE=CD；
（2）AC=CM，理由：
∵点F是BC中点，
∴BF=CF
在△BEF和△CMF中，
∴△BEF≌△CMF(SAS)，
∴BE=CM；
由(1)知，BE=AC，
∴AC=СM；
（3）如图②
连接AM，由(1)知，△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠ACD，
由(2)知，△BEF≌△CMF，
∴∠EBF=∠BCM，
∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°，
∵AC=CM，
∴△ACM为等腰直角三角形．
【关键点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质，判断三角形全等是解此题的关键．
考点三 最短路径问题
1．（2023河南南阳·期末）已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质以及线段的性质可得到结论．
【详解】解：根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．
故选：D
【点睛】主要考查轴对称的性质的应用，最短路线的数学模型问题，其次考查作图能力，要求学生能够把实际问题转化为数学模型．
2．（2024河南驻马店·期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质结合三角形的面积公式求出AD的长，再根据垂直平分线的性质知点C关于直线EF的对称点为点A，故A，M，D共线时△CDM的周长的最小，由此即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得，AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短，
故此题答案为D．
3．（2024河南郑州·期末）如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为9.6，则 的面积为（ ）
A．96 B．48 C．38 D．24
【答案】B
【分析】作，由，得到是等腰三角形，结合是边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，与中垂线的判定性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解
【详解】解：连接，作，垂足为，连接，
∵，
∴是等腰三角形，
∵是边的中线，
∴，，
∴是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∵的最小值为，
∴，
∴，
故此题答案为B．
4．（2024河南新乡·期末）如图，在等边三角形 中， 为 的平分线，在 上分别取点 ，且 ，在 上有一动点P，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】作点N关于 的对称点 ，连接 交 于P，连接 ， ，此时 的值最小，最小值 ，求出结果即可．
【详解】解：如图，∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为 的平分线，
∴ ， ，
作点N关于 的对称点 ，连接 交 于P，连接 ， ，
根据轴对称可知， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 最小，
即 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故此题答案为B．
5．（2023河南许昌许昌市第一中学·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵的周长，又是定值，
∴当最小时，的周长最小，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∴当A、G、D三点共线时，最小，最小值为的长，
∴的周长最短．
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
6．（2023河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
【答案】B
【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．
【详解】解：连接，
平分交于点，
，，
，
，
且，
当点在线段上时，的最小值是，
，
的最小值为7．
故此题答案为
7．（2024河南焦作·期末）如图，在中，，，，平分交于点，点是上的动点，是上动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题考查轴对称——最短问题，角平分线的定义，含的直角三角形的性质等知识，在射线上取一点，使得，过点A作于，证明，推出，根据垂线段最短即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
【详解】解：在射线上取一点，使得，过点A作于，
在中，∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知，当A，，共线且与重合时，的值最小，最小值为，
故此题答案为：．
8．（2024河南洛阳·期末）如图，在锐角三角形中，，．的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】此题考查轴对称的性质，的直角三角形的性质， 过作于，作关于的对称点，连接，证明在上，当，，共线，且垂直时，最短，即，在上，即的长，进一步可得答案．
【详解】解：过作于，作关于的对称点，连接，
∵平分，
∴在上，
∴，
当，，共线，且垂直时，最短，
即，在上，即的长，
，，
，
∴的最小值是5．
故此题答案为： 5
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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