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2025年贵州中考命题探究-
第六章 圆 学生版
第24节 圆的基本性质
2022年版课标重要变化
①*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧（删除）
②知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等（新增）
核心考点 精讲练
考点1 圆的相关概念及性质
例1 如图,已知,,,四点都在上,为的直径,与相交于点,连接,.
例1题图
（1） 图中有________条弦，________个圆周角，________个圆心角（不含平角）;
（2） 若 ,则的度数为____________;
（3） 若中最长的弦是,则的半径是________;
（4） 下列说法一定正确的是____.（填序号）
是劣弧,是优弧;
与是等弧;
是半圆；
是圆周角；
是圆心角.
变式1．[2023江西]如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
变式1图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
知识精讲
1.圆的相关概念
定义 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径
弦 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中） ②经过圆心的弦叫做直径（如图中），直径是圆中最长的弦
弧 ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ②大于半圆的弧叫做优弧（如图中），小于半圆的弧叫做劣弧（如图中） ③在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角（如图中）
圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图中）
2.确定圆的条件：过不在同一直线上的三点确定一个圆
3.圆的性质
（1）对称性
①圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线
②圆是中心对称图形，对称中心是圆心
（2）旋转不变性：圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合
考点2 弧、弦、圆心角的关系
例2 （人教九上P89 T4改编）如图,点,,,在上.若,求证:.
例2题图
知识精讲
1.定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
2.推论
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等
考点3 垂径定理及其推论（重点）
例3 如图,已知是的直径,是的弦,与相交于点.
例3题图
（1） 已知,.
① 若,则________;
② 若,则__________.
（2） 已知点为弦的中点.
① 若,，则的半径为__________;
② 若 ，，则________.
知识精讲
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
3.常用结论
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（2）如图，，，，，是直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立（利用③⑤推导其他结论时，要注意不为直径），即“知二推三”
考点4 圆周角定理及其推论（重点）
例4 如图,已知点,,在上,为的直径，的平分线交于点.
例4题图
（1）
① 若,,则________;
② 若 ,则____________.
（2） 若,则__________；
（3） 点在的延长线上.若 ,则____________.
知识精讲
1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
2.推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等［2022年版课标新增］
（2）直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
【知识拓展】
①一条弧只能对应一个圆心角，但能对应无数个圆周角
②一条弦对应两条弧，这两条弧所对的圆周角互补
考点5 圆内接四边形（重点）
例5 [2024广元改编]如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点， ，则（ ）
例5题图
A. B. C. D.
知识精讲
1.圆内接四边形：所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆
2.性质
（1）圆内接四边形的对角互补，如图
（2）圆内接四边形的任意一个角的外角与它的内对角相等（和它相邻的内角的对角），如图中
考点6 正多边形与圆的相关计算
（人教九上P106 T3改编）求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、中心角和面积.将结果填写在表中:
名称 正三角形 正方形 正六边形
图形
边长
边心距
中心角
面积
知识精讲
图形 正多边形的边长为， 半径为， 边心距为， 中心角为
中心角 正边形的中心角
边心距 正边形的边心距
周长 正边形的周长
面积 正边形的面积
贵州真题 随堂测
（建议用时：25分钟）
命题点1 弧、弦、圆心角的关系
1．[2024遵义市仁怀市模拟]如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，.若， ，则弦的长为（ ）
第1题图
A. 8 B. 10 C. 11 D. 12
命题点2 垂径定理及其推论
2．[2024铜仁模拟]高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面.若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则圆的半径（ ）
第2题图
A. 5米 B. 5.5米 C. 6米 D. 6.5米
命题点3 圆周角定理及其推论
3．[2022铜仁5题]（北师九下P80 T1变式）如图，，是的两条半径，点在上.若 ，则的度数为（ ）
第3题图
A. B. C. D.
4．[2024遵义市红花岗区模拟]如图，是的外接圆，连接，.若的半径为5，，则的值为________.
第4题图
5．[2023贵州模拟23题12分]如图，是的直径，弦与相交于点，.
第5题图
（1） 写出图中一对你认为全等的三角形：____________________；
（2） 求证：；
（3） 若的半径为4，，求的长.
命题点4 圆内接四边形
6．[2024贵州模拟23题12分]如图，已知是四边形的外接圆，为直径，点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接.
第6题图
（1） 写出图中一个与相等的角：____________；
（2） 试判断与的位置关系，并说明理由；
（3） 探究，，之间的数量关系，并说明理由.
命题点5 正多边形与圆的相关计算（贵阳2021.9涉及）
7．[2024黔东南州模拟]如图，正五边形内接于，连接，则的度数是（ ）
第7题图
A. B. C. D.
温馨提示 请完成《课后提升练》P57～58习题
第25节 与圆有关的位置关系
2022年版课标重要变化
①探索并掌握点与圆的位置关系（改动）
②探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线（删除）
核心考点 精讲练
考点1 与圆的位置关系
例1 如图,已知中, ,,,为的中点,以点为圆心,为半径作圆.
例1题图
（1） 若,则点在__,点在__,点在__;
（2） 若,则直线与的位置关系为____;
（3） 若直线与相切,则________；
（4） 若线段与有唯一公共点,则的取值范围为__________________________.
知识精讲
1.点与圆的位置关系
位置关系 与 的关系 图示
点在圆内
点在圆上
点在圆外
2.直线与圆的位置关系
相交 相切 相离
考点2 切线的性质与判定（重点）
例2 [2024贵州23题12分]如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，.
例2题图
（1） 写出图中一个与相等的角：____________________________；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长.
变式2-1．[2024潍坊节选]如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点.求证：是的切线.
变式2-1图
变式2-2．如图，，是的切线，切点分别是点和点，是的直径.若 ，，则的长为__________.
变式2-2图
知识精讲
1.切线：直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
3.切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）
（2）过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线
（3）圆心到直线的距离等于半径长的直线是圆的切线
【点拨】
证明切线的辅助线作法
（1）“连半径，证垂直”
如果已知直线经过圆上一点，那么连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直
（2）“作垂线，证相等”
如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长
4.切线长：过圆外一点画圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长（如图中，）
5. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这点与圆心的连线平分两条切线的夹角（如图中，）
考点3 三角形的外接圆与内切圆（重点）
例3 [2023贵州23题12分]如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
例3题图
（1） 写出图中一个度数为 的角：________________________________________________________________，图中与全等的三角形是____________；
（2） 求证：；
（3） 连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
变式3．（人教九上P100例2改编）如图，的内切圆与,,分别相切于点,,,，,,则的长是________.
变式3图
知识精讲
三角形的外接圆 三角形的内切圆
图形
定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形的三边都相切的圆
圆心 外心：三条边的垂直平分线的交点 内心：三条角平分线的交点
性质 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即
角度关系
画法 作三角形任意两边的垂直平分线，其交点即为圆心，以点到任一顶点的距离为半径作即可 作三角形任意两个内角的平分线，其交点即为圆心，以点到任一边的距离为半径作即可
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 与圆的位置关系
1．如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
第1题图
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行
命题点2 切线的性质与判定（5年4考）
2．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ）
第2题图
A. B. C. D.
3．如图，，分别与相切于点，，连接并延长与交于点，.若，，则的值为（ ）
第3题图
A. B. C. D.
命题点3 三角形的外接圆与内切圆（2023.23，贵阳2020.14）
4．[2024贵州模拟11题3分]如图，等边三角形内接于.若，则的半径的长是（ ）
第4题图
A. B. C. D.
5．[2024贵阳市白云区模拟]如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点.
第5题图
（1） 若 ，则__________ ；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的半径.
提分专题七 圆中最值及隐形圆问题
类型1 点圆最值
已知条件 已知平面内一定点和，点是上一点，当，，三点共线时，线段有最大（小）值（依据：直径是圆中最长的弦），设点与点之间的距离为，的半径为
位置关系 点在内 点在上 点在外
图形
的最大值
此时点 的位置 连接并延长交于点
的最小值 0
此时点 的位置 连接并延长交于点 点与点重合 连接交于点
针对训练
1．如图,在中, ,是边的中点,以点为圆心,长为半径作,是上一点.若,,则线段长的最小值为__________,最大值为__________.
第1题图
2．如图，在中， ，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为____________.
第2题图
类型2 线圆最值
已知条件 已知及直线，的半径为，圆心到直线的距离为，点为上一点
位置关系 直线与相离 直线与相切 直线与相交
图形
点 到直线 的距离最大值
此时点 的位置 过点作直线的垂线，其反向延长线与的交点即为点
点 到直线 的距离最小值 0 0
此时点 的位置 过点作直线的垂线，与的交点即为点 直线与的交点即为点
针对训练
3．如图，在中，，，是边的中点，以为圆心，长为半径作，是上一动点，连接，.若的面积为10，则的面积最小值为________.
第3题图
4．如图，已知是的弦，是上的一个动点，连接，， ，的半径为2，则面积的最大值是__________.
第4题图
类型3 定点定长作隐形圆
类型 一点作圆 三点作圆
已知条件 点为定点，点为动点，且长度固定
图形
结论 点的运动轨迹在以点为圆心，长为半径的圆上 点，，均在上
针对训练
5．如图，已知，， ，则的度数为____________.
第5题图
6．如图，已知四边形是矩形，，.若，且点在矩形的内部，则的取值范围为________________________.
第6题图
7．如图，在等腰中， ，将绕点逆时针旋转 得到.若,则点运动的路径长为________.
第7题图
8．[2024烟台]如图，在中， ，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________________.
第8题图
类型4 定弦定角作隐形圆
已知条件 一条定边所对的角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆弧 如图，在中，为定长，为定角度
图形 为直径
结论 当时,点的运动轨迹为优弧（不与点,重合） 当时,点的运动轨迹为（不与点,重合） 当时,点的运动轨迹为劣弧（不与点,重合）
解题关键 考题常以，，，，来考，核心关键就是画出等腰三角形
针对训练
9．如图，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为________.
第9题图
10．如图，在矩形中，，，是矩形内部一点，且，连接，则线段的最小值为______________.
第10题图
11．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得 ，则线段的最小值为____________.
第11题图
类型5 四点共圆作隐形圆（2023.25，贵阳2021.16）
已知条件 共斜边直角三角形，如图, 对角互补，如图，或
图形 点，在的同侧 点，在的异侧 点，在的同侧
结论 1.点,,,在同一个圆上； 2.圆内接四边形的对角互补
针对训练
12．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接.若 ，则的度数是____________.
第12题图
13．如图，在四边形中， ，连接，.若 ，，，则________.
第13题图
14．如图，在中，，，，为直线上方一点，连接，，且 ，过点作直线的垂线，垂足为，则线段的长度的最大值为__________.
第14题图
15．[2021贵阳16题4分]在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上.小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形，则这两个正三角形的边长分别是________________.
16．如图，在正方形中，为对角线，的交点，以为斜边作,且 .若，求正方形的面积.
第16题图
提分专题八 轨迹问题中的主从联动（瓜豆模型）
类型1 线段（直线）轨迹
已知条件 定点，动点和，,为定值，点在直线上运动
图形 ,,三点共线
,,三点不共线
结论 当点的轨迹在直线上时，点的轨迹在直线上. ,两点轨迹所在直线的夹角等于 ; （2）,两点轨迹长度之比等于
针对训练
1．如图,在中,,点在线段上移动，点为上靠近点的三等分点，当点由点移动到点时，点的运动轨迹长为________.
第1题图
2．如图,在中,,是上一动点,以为直角边向右下方作 , ， ,当点由点运动到点时,点运动的路径长为__________.
第2题图
类型2 圆轨迹
已知条件 定点,动点和，,为定值，点在上运动
图形 ,,三点共线
,,三点不共线
结论 当点的轨迹在圆上时，点的轨迹在圆上. （1）两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即; （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即
针对训练
3．如图,正方形边长为2,点为边上的动点,以直线为对称轴翻折得,连接,取中点,连接,则的最小值为________.
第3题图
4．如图,在中, ,,为的中点,将线段绕点顺时针旋转 得到线段 ,连接,则线段的最大值为____________.
第4题图
第26节 与圆有关的计算
核心考点 精讲练
考点1 弧长与扇形面积的计算（重点）
例1
（1） 已知扇形的半径是,圆心角是 ,则该扇形的弧长为____.
（2） 若扇形的圆心角为 ,半径为,则扇形的面积为__________________.
（3） 若一个扇形的圆心角为 ,弧长为,则此扇形的面积为__________________.
（4） 已知一个扇形的面积是 ,弧长是 ,则这个扇形的半径为__________.
知识精讲
图形 为圆的半径 为弧所对的圆心角的度数 为扇形的弧长
公式 圆的周长 圆的面积
扇形的弧长 扇形的面积
考点2 圆锥的相关计算
例2 如图,已知圆锥的底面直径为,母线为.
例2题图
（1） 若,,则该圆锥的侧面积为________,全面积为__________;
（2） 若该圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍,则该圆锥的侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为____________;
（3） 若,圆锥的侧面积是,则该圆锥的底面圆的半径是________.
变式2．（人教九上P116 T10改编）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，若将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________.
变式2图
知识精讲
图形 为底面圆的半径 为圆锥的高 为圆锥的母线长 为侧面展开扇形的圆心角的度数
公式 底面圆的周长 底面圆的面积 圆锥的侧面积 全面积 体积
特征 ①圆锥的侧面展开图是扇形，母线长是扇形的半径 ②圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长 ③圆锥的轴截面是等腰三角形 ④圆锥的底面圆的半径，圆锥的高，圆锥的母线长之间的数量关系为
考点3 阴影部分的相关计算（重点）
例3 [2022贵阳23题12分]如图，为的直径，是的切线，为切点，连接垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，.
例3题图
（1） 求证：；
（2） 当平分时，求证：；
（3） 在（2）的条件下，，求阴影部分的面积.
变式3-1．[2024重庆A卷改编]如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为______________.
变式3-1图
变式3-2．如图，将矩形绕点逆时针旋转 至矩形，点的旋转路径为.若，，则阴影部分的面积为____________.
变式3-2图
知识精讲
1.公式法
2.直接和差法
3.构造和差法
4.等积转化法
转化前 转化后
5.容斥原理
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 弧长与扇形面积的计算（2024.10）
1．[2024贵州10题3分]如图，在扇形纸扇中，若 ，，则的长为（ ）
第1题图
A. B. C. D.
2．（人教九上P116 T8改编）如图，一件扇形艺术品完全打开后，，夹角为 ，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（ ）
第2题图
A. B. C. D.
命题点2 圆锥的相关计算
3．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是____________度.
第3题图
命题点3 阴影部分的相关计算（贵阳2022、2021.23）
4．如图，在中， ，半径为的是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是__________.（结果用含 的式子表示）
第4题图
5．如图，在中，为的直径，为的弦，点是的中点，过点作的垂线，交于点，交于点，分别连接，.
第5题图
（1） 与的数量关系是________________；
（2） 求证：;
（3） 若，，求阴影部分图形的面积.
2025年贵州中考命题探究-
第六章 圆 教师版
第24节 圆的基本性质
2022年版课标重要变化
①*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧（删除）
②知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等（新增）
核心考点 精讲练
考点1 圆的相关概念及性质
例1 如图,已知,,,四点都在上,为的直径,与相交于点,连接,.
例1题图
（1） 图中有________条弦，________个圆周角，________个圆心角（不含平角）;
（2） 若 ,则的度数为____________;
（3） 若中最长的弦是,则的半径是________;
（4） 下列说法一定正确的是____.（填序号）
是劣弧,是优弧;
与是等弧;
是半圆；
是圆周角；
是圆心角.
【答案】（1） ；；
（2）
（3）
（4） ①③⑤
变式1．[2023江西]如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
变式1图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
知识精讲
1.圆的相关概念
定义 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径
弦 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中） ②经过圆心的弦叫做直径（如图中），直径是圆中最长的弦
弧 ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ②大于半圆的弧叫做优弧（如图中），小于半圆的弧叫做劣弧（如图中） ③在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角（如图中）
圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图中）
2.确定圆的条件：过不在同一直线上的三点确定一个圆
3.圆的性质
（1）对称性
①圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线
②圆是中心对称图形，对称中心是圆心
（2）旋转不变性：圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合
考点2 弧、弦、圆心角的关系
例2 （人教九上P89 T4改编）如图,点,,,在上.若,求证:.
例2题图
证明:,
.
.
即.
.
知识精讲
1.定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
2.推论
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等
考点3 垂径定理及其推论（重点）
例3 如图,已知是的直径,是的弦,与相交于点.
例3题图
（1） 已知,.
① 若,则________;
② 若,则__________.
（2） 已知点为弦的中点.
① 若,，则的半径为__________;
② 若 ，，则________.
【答案】①
②
（2） ①
②
知识精讲
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
3.常用结论
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（2）如图，，，，，是直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立（利用③⑤推导其他结论时，要注意不为直径），即“知二推三”
考点4 圆周角定理及其推论（重点）
例4 如图,已知点,,在上,为的直径，的平分线交于点.
例4题图
（1）
① 若,,则________;
② 若 ,则____________.
（2） 若,则__________；
（3） 点在的延长线上.若 ,则____________.
【答案】①
②
（2）
（3）
知识精讲
1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
2.推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等［2022年版课标新增］
（2）直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
【知识拓展】
①一条弧只能对应一个圆心角，但能对应无数个圆周角
②一条弦对应两条弧，这两条弧所对的圆周角互补
考点5 圆内接四边形（重点）
例5 [2024广元改编]如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点， ，则（ ）
例5题图
A. B. C. D.
【答案】C
知识精讲
1.圆内接四边形：所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆
2.性质
（1）圆内接四边形的对角互补，如图
（2）圆内接四边形的任意一个角的外角与它的内对角相等（和它相邻的内角的对角），如图中
考点6 正多边形与圆的相关计算
（人教九上P106 T3改编）求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、中心角和面积.将结果填写在表中:
名称 正三角形 正方形 正六边形
图形
边长 2
边心距 1
中心角
面积 8
知识精讲
图形 正多边形的边长为， 半径为， 边心距为， 中心角为
中心角 正边形的中心角
边心距 正边形的边心距
周长 正边形的周长
面积 正边形的面积
贵州真题 随堂测
（建议用时：25分钟）
命题点1 弧、弦、圆心角的关系
1．[2024遵义市仁怀市模拟]如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，.若， ，则弦的长为（ ）
第1题图
A. 8 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】A
命题点2 垂径定理及其推论
2．[2024铜仁模拟]高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面.若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则圆的半径（ ）
第2题图
A. 5米 B. 5.5米 C. 6米 D. 6.5米
【答案】A
命题点3 圆周角定理及其推论
3．[2022铜仁5题]（北师九下P80 T1变式）如图，，是的两条半径，点在上.若 ，则的度数为（ ）
第3题图
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024遵义市红花岗区模拟]如图，是的外接圆，连接，.若的半径为5，，则的值为________.
第4题图
【答案】
5．[2023贵州模拟23题12分]如图，是的直径，弦与相交于点，.
第5题图
（1） 写出图中一对你认为全等的三角形：____________________；
（2） 求证：；
（3） 若的半径为4，，求的长.
【答案】（1）
（2） 证明：,,
,.
又是的直径，.
（3） 解：，，
.
，
.
，,
,.
命题点4 圆内接四边形（贵阳2020.23）
6．[2024贵州模拟23题12分]如图，已知是四边形的外接圆，为直径，点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接.
第6题图
（1） 写出图中一个与相等的角：____________；
（2） 试判断与的位置关系，并说明理由；
（3） 探究，，之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）
（2） 解：与相切，理由如下：
如解图，连接,
第6题解图
，.
点为的中点，
,,
，.
，，与相切.
（3） ，理由如下：
如解图，延长，交于点，为直径，
.
在和中，
，
，
，，.
，.
，.
命题点5 正多边形与圆的相关计算（贵阳2021.9涉及）
7．[2024黔东南州模拟]如图，正五边形内接于，连接，则的度数是（ ）
第7题图
A. B. C. D.
【答案】C
温馨提示 请完成《课后提升练》P57～58习题
第25节 与圆有关的位置关系
2022年版课标重要变化
①探索并掌握点与圆的位置关系（改动）
②探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线（删除）
核心考点 精讲练
考点1 与圆的位置关系
例1 如图,已知中, ,,,为的中点,以点为圆心,为半径作圆.
例1题图
（1） 若,则点在__,点在__,点在__;
（2） 若,则直线与的位置关系为____;
（3） 若直线与相切,则________；
（4） 若线段与有唯一公共点,则的取值范围为__________________________.
【答案】（1） 上；外；内
（2） 相离
（3）
（4） 或
知识精讲
1.点与圆的位置关系
位置关系 与 的关系 图示
点在圆内
点在圆上
点在圆外
2.直线与圆的位置关系
相交 相切 相离
考点2 切线的性质与判定（重点）
例2 [2024贵州23题12分]如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，.
例2题图
（1） 写出图中一个与相等的角：____________________________；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长.
【答案】（1） （或）
（2） 证明：如解图，连接.
例2题解图
与半圆相切于点， ，
.
，.
,，
， ，.
（3） 解：设，则，，
，.
，
，解得或（不合题意，舍去），
，，.
，
，
，，，，
，.
变式2-1．[2024潍坊节选]如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点.求证：是的切线.
变式2-1图
证明：如解图，连接.
变式2-1解图
平分，.
，，
,.
， ，
，.
是的半径，
是的切线.
变式2-2．如图，，是的切线，切点分别是点和点，是的直径.若 ，，则的长为__________.
变式2-2图
【答案】
知识精讲
1.切线：直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
3.切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）
（2）过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线
（3）圆心到直线的距离等于半径长的直线是圆的切线
【点拨】
证明切线的辅助线作法
（1）“连半径，证垂直”
如果已知直线经过圆上一点，那么连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直
（2）“作垂线，证相等”
如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长
4.切线长：过圆外一点画圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长（如图中，）
5. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这点与圆心的连线平分两条切线的夹角（如图中，）
考点3 三角形的外接圆与内切圆（重点）
例3 [2023贵州23题12分]如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
例3题图
（1） 写出图中一个度数为 的角：________________________________________________________________，图中与全等的三角形是____________；
（2） 求证：；
（3） 连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1） （,,,任选一个即可）；
（2） 证明： ， ，
.
又 ，.
（3） 解：四边形是菱形，理由如下：
如解图，连接，.
例3题解图
， ，
和是等边三角形，
，
四边形是菱形.
【解析】
（1） 【解法提示】是等边三角形的外接圆， ，是的垂直平分线，是的平分线，,， ，则 的角有：，，，是的垂直平分线， .在与中，，.
变式3．（人教九上P100例2改编）如图，的内切圆与,,分别相切于点,,,，,,则的长是________.
变式3图
【答案】
知识精讲
三角形的外接圆 三角形的内切圆
图形
定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形的三边都相切的圆
圆心 外心：三条边的垂直平分线的交点 内心：三条角平分线的交点
性质 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即
角度关系
画法 作三角形任意两边的垂直平分线，其交点即为圆心，以点到任一顶点的距离为半径作即可 作三角形任意两个内角的平分线，其交点即为圆心，以点到任一边的距离为半径作即可
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 与圆的位置关系
1．[2022六盘水5题]如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
第1题图
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行
【答案】B
命题点2 切线的性质与判定（5年4考）
2．[2021贵阳9题3分]如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ）
第2题图
A. B. C. D.
【答案】A
3．[2022黔东南州8题]如图，，分别与相切于点，，连接并延长与交于点，.若，，则的值为（ ）
第3题图
A. B. C. D.
【答案】A
命题点3 三角形的外接圆与内切圆（2023.23，贵阳2020.14）
4．[2024贵州模拟11题3分]如图，等边三角形内接于.若，则的半径的长是（ ）
第4题图
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024贵阳市白云区模拟]如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点.
第5题图
（1） 若 ，则__________ ；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的半径.
【答案】（1）
（2） 证明：如解图，连接，，
第5题解图
，为直径
， .
是的切线，
，
，
.
，
.
（3） 解：是的切线，
，
在中，，
，
解得，
的半径为.
温馨提示 请完成《课后提升练》P59习题
提分专题七 圆中最值及隐形圆问题
类型1 点圆最值
已知条件 已知平面内一定点和，点是上一点，当，，三点共线时，线段有最大（小）值（依据：直径是圆中最长的弦），设点与点之间的距离为，的半径为
位置关系 点在内 点在上 点在外
图形
的最大值
此时点 的位置 连接并延长交于点
的最小值 0
此时点 的位置 连接并延长交于点 点与点重合 连接交于点
针对训练
1．如图,在中, ,是边的中点,以点为圆心,长为半径作,是上一点.若,,则线段长的最小值为__________,最大值为__________.
第1题图
【答案】；
2．如图，在中， ，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为____________.
第2题图
【答案】
类型2 线圆最值
已知条件 已知及直线，的半径为，圆心到直线的距离为，点为上一点
位置关系 直线与相离 直线与相切 直线与相交
图形
点 到直线 的距离最大值
此时点 的位置 过点作直线的垂线，其反向延长线与的交点即为点
点 到直线 的距离最小值 0 0
此时点 的位置 过点作直线的垂线，与的交点即为点 直线与的交点即为点
针对训练
3．如图，在中，，，是边的中点，以为圆心，长为半径作，是上一动点，连接，.若的面积为10，则的面积最小值为________.
第3题图
【答案】
4．如图，已知是的弦，是上的一个动点，连接，， ，的半径为2，则面积的最大值是__________.
第4题图
【答案】
类型3 定点定长作隐形圆
类型 一点作圆 三点作圆
已知条件 点为定点，点为动点，且长度固定
图形
结论 点的运动轨迹在以点为圆心，长为半径的圆上 点，，均在上
针对训练
5．如图，已知，， ，则的度数为____________.
第5题图
【答案】
6．如图，已知四边形是矩形，，.若，且点在矩形的内部，则的取值范围为________________________.
第6题图
【答案】
7．如图，在等腰中， ，将绕点逆时针旋转 得到.若,则点运动的路径长为________.
第7题图
【答案】
8．[2024烟台]如图，在中， ，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________________.
第8题图
【答案】
类型4 定弦定角作隐形圆
已知条件 一条定边所对的角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆弧 如图，在中，为定长，为定角度
图形 为直径
结论 当时,点的运动轨迹为优弧（不与点,重合） 当时,点的运动轨迹为（不与点,重合） 当时,点的运动轨迹为劣弧（不与点,重合）
解题关键 考题常以，，，，来考，核心关键就是画出等腰三角形
针对训练
9．如图，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为________.
第9题图
【答案】
10．如图，在矩形中，，，是矩形内部一点，且，连接，则线段的最小值为______________.
第10题图
【答案】
11．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得 ，则线段的最小值为____________.
第11题图
【答案】
类型5 四点共圆作隐形圆（2023.25，贵阳2021.16）
已知条件 共斜边直角三角形，如图, 对角互补，如图，或
图形 点，在的同侧 点，在的异侧 点，在的同侧
结论 1.点,,,在同一个圆上； 2.圆内接四边形的对角互补
针对训练
12．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接.若 ，则的度数是____________.
第12题图
【答案】
13．如图，在四边形中， ，连接，.若 ，，，则________.
第13题图
【答案】
14．如图，在中，，，，为直线上方一点，连接，，且 ，过点作直线的垂线，垂足为，则线段的长度的最大值为__________.
第14题图
【答案】
15．[2021贵阳16题4分]在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上.小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形，则这两个正三角形的边长分别是________________.
【答案】,2
16．如图，在正方形中，为对角线，的交点，以为斜边作,且 .若，求正方形的面积.
第16题图
解：如解图，过点分别作于点，交的延长线于点.
第16题解图
，
四边形是矩形， .
四边形是正方形，
， ,
，
.
在和中，，
，，
四边形是正方形.
设正方形的边长为，
则.
， ，
，
.
，
，.
，
，解得，
.
提分专题八 轨迹问题中的主从联动（瓜豆模型）
类型1 线段（直线）轨迹
已知条件 定点，动点和，,为定值，点在直线上运动
图形 ,,三点共线
,,三点不共线
结论 当点的轨迹在直线上时，点的轨迹在直线上. ,两点轨迹所在直线的夹角等于 ; （2）,两点轨迹长度之比等于
针对训练
1．如图,在中,,点在线段上移动，点为上靠近点的三等分点，当点由点移动到点时，点的运动轨迹长为________.
第1题图
【答案】
2．如图,在中,,是上一动点,以为直角边向右下方作 , ， ,当点由点运动到点时,点运动的路径长为__________.
第2题图
【答案】
类型2 圆轨迹
已知条件 定点,动点和，,为定值，点在上运动
图形 ,,三点共线
,,三点不共线
结论 当点的轨迹在圆上时，点的轨迹在圆上. （1）两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即; （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即
针对训练
3．如图,正方形边长为2,点为边上的动点,以直线为对称轴翻折得,连接,取中点,连接,则的最小值为________.
第3题图
【答案】
4．如图,在中, ,,为的中点,将线段绕点顺时针旋转 得到线段 ,连接,则线段的最大值为____________.
第4题图
【答案】
第26节 与圆有关的计算
核心考点 精讲练
考点1 弧长与扇形面积的计算（重点）
例1
（1） 已知扇形的半径是,圆心角是 ,则该扇形的弧长为____.
（2） 若扇形的圆心角为 ,半径为,则扇形的面积为__________________.
（3） 若一个扇形的圆心角为 ,弧长为,则此扇形的面积为__________________.
（4） 已知一个扇形的面积是 ,弧长是 ,则这个扇形的半径为__________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
知识精讲
图形 为圆的半径 为弧所对的圆心角的度数 为扇形的弧长
公式 圆的周长 圆的面积
扇形的弧长 扇形的面积
考点2 圆锥的相关计算
例2 如图,已知圆锥的底面直径为,母线为.
例2题图
（1） 若,,则该圆锥的侧面积为________,全面积为__________;
（2） 若该圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍,则该圆锥的侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为____________;
（3） 若,圆锥的侧面积是,则该圆锥的底面圆的半径是________.
【答案】（1） ；
（2）
（3）
变式2．（人教九上P116 T10改编）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，若将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________.
变式2图
【答案】
知识精讲
图形 为底面圆的半径 为圆锥的高 为圆锥的母线长 为侧面展开扇形的圆心角的度数
公式 底面圆的周长 底面圆的面积 圆锥的侧面积 全面积 体积
特征 ①圆锥的侧面展开图是扇形，母线长是扇形的半径 ②圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长 ③圆锥的轴截面是等腰三角形 ④圆锥的底面圆的半径，圆锥的高，圆锥的母线长之间的数量关系为
考点3 阴影部分的相关计算（重点）
例3 [2022贵阳23题12分]如图，为的直径，是的切线，为切点，连接垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，.
例3题图
（1） 求证：；
（2） 当平分时，求证：；
（3） 在（2）的条件下，，求阴影部分的面积.
【答案】
（1） 证明：如图,连接.
例3题图
是的切线，为切点，
，即 .
， ，
.
，，
，.
（2） 证明：如图,连接垂直平分，.
，，是等边三角形，
，平分，
，，.
（3） 解：由（2）知 ， .
，.， ，是等边三角形，垂直平分，， ，，.
变式3-1．[2024重庆A卷改编]如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为______________.
变式3-1图
【答案】
变式3-2．如图，将矩形绕点逆时针旋转 至矩形，点的旋转路径为.若，，则阴影部分的面积为____________.
变式3-2图
【答案】
知识精讲
1.公式法
2.直接和差法
3.构造和差法
4.等积转化法
转化前 转化后
5.容斥原理
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 弧长与扇形面积的计算（2024.10）
1．[2024贵州10题3分]如图，在扇形纸扇中，若 ，，则的长为（ ）
第1题图
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2022毕节12题]（人教九上P116 T8改编）如图，一件扇形艺术品完全打开后，，夹角为 ，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（ ）
第2题图
A. B. C. D.
【答案】C
命题点2 圆锥的相关计算
3．[2021黔东南州18题]如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是____________度.
第3题图
【答案】
命题点3 阴影部分的相关计算（贵阳2022、2021.23）
4．[2022黔东南州16题]如图，在中， ，半径为的是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是__________.（结果用含 的式子表示）
第4题图
【答案】
5．[2021贵阳23题12分]如图，在中，为的直径，为的弦，点是的中点，过点作的垂线，交于点，交于点，分别连接，.
第5题图
（1） 与的数量关系是________________；
（2） 求证：;
（3） 若，，求阴影部分图形的面积.
【答案】（1）
（2） 证明：如解图，连接.
第5题解图
是的直径，是的中点，
， .
，垂足为， ，
，.
是的中点，,,
，即.
（3） 解：如解图，连接，，.
，垂足为， .
由（2）知 ，，. 在中，，，,， .又，是等边三角形，.，.,，是等边三角形，,，.
温馨提示 请完成《课后提升练》P60习题
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