第二章有理数的运算典型例题与易错题精练-数学七年级上册人教版（2024）
一、单选题
1．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
2．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为，现随机选取4个排球进行质量检测，结果如表所示：
序号 1 2 3 4
质量（） 261 277 282 269
仅从质量的角度考虑，则符合要求的排球有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．计算：（ ）
A． B．10 C． D．
4．已知数轴上有一点．表示的数为.则数轴上与距离为的点表示的数为（ ）
A． B． C． D．或
5．的倒数是（ ）
A． B． C． D．3
6．下列说法中：（1）绝对值最小的有理数是0；（2）是最大的负有理数；（3）零除以任何数都得零；（4）互为相反数的两个有理数的商为，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在，，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低大约，现在地面气温是，则10000米高空的气温大约是 ．
10．一个加数是，和是，则另一个加数是 ．
11．设表示不超过x的最大整数如，计算下列各式的值： ； ．
12．已知，，且，则 ．
13．在数轴上，将表示的点先向左侈动个单位后再向右移动个单位长度，此时这个点表示的数是 ．
14．如图是一数值转换机，若输入的x为，则输出的结果为 ．
15．已知，是有理数，有下列结论：；；；．其中正确的有 （填序号）．
16．对于任意有理数a和b，定义一种新运算“*”，使得，那么 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)；
18．出租车司机王师傅上午在一条南北方向的大道上营运，共连续运载12批乘客，若规定向北为正，向南为负，王师傅营运这12批乘客里程如下（单位：千米）：
，，，，，，，，，，，
(1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在距离第一批乘客出发地的北面还是南面？相距多少千米？
(2)上午，王师傅开车的平均速度是多少？
(3)若出租车的收费标准为：不超过3千米时收费7元，超过3千米时，超过部分每千米1元．则王师傅在上午一共收入多少元？
19．小丽同学做一道计算题的解题过程如下：
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
根据小丽的计算过程，回答下列问题：
(1)她在计算中出现了错误，其中你认为在第________步开始出错了；
(2)请你给出正确的解答过程．
20．定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数：若，则，若，则．例：，．
(1)求的值；
(2)求的值．
21．如图，已知、、、、四个点在一条没有标明原点的数轴上，数轴的单位长度为1．
(1)若点、表示的数互为相反数，则原点是点_____________；
(2)如果点、表示的数互为相反数，请在数轴上标出原点的位置，此时点表示的数是多少？
(3)如果点、表示的数互为相反数，点表示的数为，点表示的数为，求的值．
22．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”，如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．
(1)试计算6的“完美指标”；
(2)试计算7和9的“完美指标”；
(3)试找出16、17、18三个自然数中，最“完美”的数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D C A B B
1．A
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意不是同一类别的量，不能看成是具有相反意义的量．根据规定排球的标准质量得到标准质量范围，再进行判断即可．
【详解】解：因为，规定排球的标准质量为，，，
所以，规定排球的标准质量在之间，
所以，序号、、在标准质量范围内，符合要求，
即符合要求的排球有3个，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则计算即可，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论是解答本题的关键．
分该点在点A的右边和左边两种情况求解即可．
【详解】解：当该点在点A的右边时，点表示的数为，
当该点在点A的左边时，点表示的数为，
综上可知，点表示的数为或．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】乘积是1的两数互为倒数．
解：的倒数是．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的分类，有理数的除法，相反数的定义，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：绝对值最小的有理数是0；故（1）正确；
是最大的负整数；故（2）错误；
零除以任何非零的数都得零；故（3）错误；
互为相反数的两个不是零的有理数的商为；故（4）错误；
故选：A
7．B
【分析】本题考查了有理数的除法运算，有理数的大小比较，掌握除法运算法则是解题关键．根据有理数除法运算法则可知，异号相除为负，即要使所得的商最小必为一正一负相除，再分别计算取最小值即可．
【详解】解：由有理数除法运算法则可知，异号相除为负，
所以要使所得的商最小必为一正一负相除，
若选和，则，；
若选和，则，；
因为，
所以所得的商最小是，
故选：B
8．B
【分析】本题考查了数轴，实数的大小比较，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．由数轴得，，，，，从而作出判断．
【详解】解：由数轴得，，，，，
A．，故A正确，不符合题意；
B．∵，∴，故B错误，符合题意；
C．∵，，，∴，故C正确，不符合题意；
D．，故D正确，不符合题意．
故选：B．
9．
【分析】此题考查了有理数四则运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查有理数的减法，用和减去一个加数可得另一个加数，由此可解．
【详解】解：另一个加数为：，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较、有理数的除法运算、有理数加法运算等知识点，审清题意，分别化简、和成为解题的关键．
根据题目所给的信息分别化简、和的值，然后计算即可．
【详解】解：，则，
由题意得，，
则，．
故答案为；．
12．或
【分析】本题考查绝对值的意义，以及有理数的大小比较和有理数的加法．熟练掌握绝对值的意义，有有理数的加法法则是解题的关键．
根据绝对值的意义和性质以及有理数的大小比较方法则，推出、的值，再按加法法则计算即可．
【详解】解：因为，，
所以，，
又，
所以当，时，；
当，时，．
则的值为：或．
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了数轴上点的平移，根据“左减右加”列式计算即可求解，掌握数轴上点的平移规律是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，这个点表示的数为，
故答案为：．
14．21
【分析】本题考查了有理数的减法和乘法运算，解题的关键是掌握运算法则和读懂题意．根据题意，直接按输入的数字依次计算即可．
【详解】解：根据题意可得，
．
故答案为：21．
15．
【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则逐项判断即可，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，计算正确；
，计算正确；
，计算正确；
，计算正确；
则正确的有，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据新定义可得，据此计算求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)15
(4)0
【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
（1）根据有理数的加减运算法则求解计算即可；
（2）先计算有理数的乘方运算，绝对值，然后计算除法运算，最后计算加减运算即可；
（3）先将原式进行化简，然后运用乘法运算律计算即可
（4）先计算有理数的乘方运算，绝对值，然后计算乘除法运算，最后计算加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．(1)王师傅在距离第一批乘客出发地的北面，距离是4千米
(2)千米/小时
(3)142元
【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数的混合运算的实际应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键．
（1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在北面，结果为负则在南面；
（2）先求出路程和，由速度路程时间可求解；
（3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以1，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：向北为“”，向南为“”，
则将最后一批乘客送到目的地时，王师傅距离第一批乘客出发地的距离为：
（千米），
答：王师傅在距离第一批乘客出发地的北面，距离是4千米；
（2）解：上午王师傅开车的距离是：
（千米），
上午沈师傅开车的时间是：2小时，
∴王师傅开车的平均速度是：（千米/小时）；
（3）解：一共有12批乘客，则起步费为：（元）．
超过3千米的收费总额为：
（元）．
则王师傅在上午一共收入（元）．
19．(1)二
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”．
（1）除法没有分配律，据此可得答案；
（2）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】（1）解： 她在第二步出错了，因为除法没有分配律；
（2）解：
．
20．(1)；
(2)4．
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是理解新定义的运算．
（1）根据新定义的运算，进行计算即可；
（2）根据新定义的运算，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴．
21．(1)D；
(2)图见解析，点表示的数是7；
(3)．
【分析】本题考查了相反数与数轴之间的对应关系，有理数的加法，正确理解题意，数形结合是解题的关键．
（1）根据相反数的定义可求原点；
（2）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点的位置即可；
（3）根据相反数的定义得到原点的位置，再得出，，即可求解．
【详解】（1）解： 若点、表示的数互为相反数，则点到原点的距离点到原点距离，
由图可知，，
∴原点为点，
故答案为：；
（2）解：若点、表示的数互为相反数，则点、到原点的距离相等，
∴原点的位置如图所示：
∴点表示的数是7；
（3）解：、表示的数互为相反数，则点、到原点的距离相等，原点的位置如图：
∴点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴．
22．(1)1
(2)7的“完美指标”为；9的“完美指标”为
(3)最“完美”的数是16．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握完美指标的意义及计算方法是解题的关键．
（1）根据“完美指标”的定义计算即可；
（2）根据“完美指标”的定义计算即可；
（3）先根据“完美指标”的定义分别求出16、17、18“完美指标”，然后再根据“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”即可解答．
【详解】（1）解：6的真因数有：1，2，3，根据“完美指标”的定义，可得6的完美指标：；
（2）解：7的真因数有：1，
根据“完美指标”的定义，可得7的完美指标：；
9的真因数有：1，3，
根据“完美指标”的定义，可得9的完美指标：．
（3）解：16的真因数有：1、2、4、8，
根据“完美指标”的定义，可得16的完美指标：，
17的真因数有：1，
根据“完美指标”的定义，可得17的完美指标：，
18的真因数有：1、2、3、6、9，
据“完美指标”的定义，可得18的完美指标：，
由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1，
所以，16、17、18三个自然数中，最“完美”的数是16．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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